開關(guān)電源的小信號(hào)模型及環(huán)路設(shè)計(jì)

引言

設(shè)計(jì)一個(gè)具有良好動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能的開關(guān)電源時(shí)，控制環(huán)路的設(shè)計(jì)是很重要的一個(gè)部分。而環(huán)路的設(shè)計(jì)與主電路的拓?fù)浜蛥?shù)有極大關(guān)系。為了進(jìn)行穩(wěn)定性分析，有必要建立開關(guān)電源完整的小信號(hào)數(shù)學(xué)模型。在頻域模型下，波特圖提供了一種簡單方便的工程分析方法，可用來進(jìn)行環(huán)路增益的計(jì)算和穩(wěn)定性分析。由于開關(guān)電源本質(zhì)上是一個(gè)非線性的控制對(duì)象，因此，用解析的辦法建模只能近似建立其在穩(wěn)態(tài)時(shí)的小信號(hào)擾動(dòng)模型，而用該模型來解釋大范圍的擾動(dòng)（例如啟動(dòng)過程和負(fù)載劇烈變化過程）并不完全準(zhǔn)確。好在開關(guān)電源一般工作在穩(wěn)態(tài)，實(shí)踐表明，依據(jù)小信號(hào)擾動(dòng)模型設(shè)計(jì)出的控制電路，配合軟啟動(dòng)電路、限流電路、鉗位電路和其他輔助部分后，完全能使開關(guān)電源的性能滿足要求。開關(guān)電源一般采用Buck電路，工作在定頻PWM控制方式，本文以此為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。采用其他拓?fù)涞拈_關(guān)電源分析方法類似。

圖1為典型的Buck電路，為了簡化分析，假定功率開關(guān)管S和D1為理想開關(guān)，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續(xù)電流模式（CCM）下。Re為濾波電容C的等效串聯(lián)電阻，Ro為負(fù)載電阻。各狀態(tài)變量的正方向定義如圖1中所示。

S導(dǎo)通時(shí)，對(duì)電感列狀態(tài)方程有L(dil/dt)=Uin－Uo （1）S斷開，D1續(xù)流導(dǎo)通時(shí)，狀態(tài)方程變?yōu)長(dil/dt)=－Uo ( 2）

占空比為D時(shí)，一個(gè)開關(guān)周期過程中，式（1）及式（2）分別持續(xù)了DTs和（1－D）Ts的時(shí)間（Ts為開關(guān)周期），因此，一個(gè)周期內(nèi)電感的平均狀態(tài)方程為

L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3）

穩(wěn)態(tài)時(shí)，=0，則DUin=Uo。這說明穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出電壓是一個(gè)常數(shù)，其大小與占空比D和輸入電壓Uin成正比。

由于電路各狀態(tài)變量總是圍繞穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)，因此，由式（3）得
L[d(il il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4）

式（4）由式（3）的穩(wěn)態(tài)值加小信號(hào)波動(dòng)值形成。上標(biāo)為波浪符的量為波動(dòng)量，d為D的波動(dòng)量。式（4）減式（3）并略去了兩個(gè)波動(dòng)量的乘積項(xiàng)得

L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5）
由圖1，又有
iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6）
Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7）
式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態(tài)均成立。由式（6）及式（7）可得
iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）

式（8）的推導(dǎo)中假設(shè)Re<
式（9）減式（8）得
iL ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）
將式（10）進(jìn)行拉氏變換得
iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1 sCRo)/(1 sCRe)] (11)
(s)=（11）一般認(rèn)為在開關(guān)頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設(shè)=0并將其代入式（5），將式（5）進(jìn)行拉氏變換得
sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）
由式（11），式（12）得
Uo'(s)/d(s)=Uin[(1 sCRe)/(s2LC s(ReC L/Ro) 1] （13）
iL'(s)/d(s)=[(1 sCRo)/s2LC s(ReC L/Ro) 1]·Uin/Ro （14）
式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續(xù)時(shí)的控制－輸出小信號(hào)傳遞函數(shù)。
式（9）減式（8）得
iL ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）
將式（10）進(jìn)行拉氏變換得
iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1 sCRo)/(1 sCRe)] (11)
(s)=（11）一般認(rèn)為在開關(guān)頻率的頻帶范圍內(nèi)輸入電壓是恒定的，即可假設(shè)=0并將其代入式（5），將式（5）進(jìn)行拉氏變換得
sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）
由式（11），式（12）得
Uo'(s)/d(s)=Uin[(1 sCRe)/(s2LC s(ReC L/Ro) 1] （13）
iL'(s)/d(s)=[(1 sCRo)/s2LC s(ReC L/Ro) 1]·Uin/Ro （14）
式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續(xù)時(shí)的控制－輸出小信號(hào)傳遞函數(shù)。

2 電壓模式控制（VMC）

電壓模式控制方法僅采用單電壓環(huán)進(jìn)行校正，比較簡單，容易實(shí)現(xiàn)，可以滿足大多數(shù)情況下的性能要求，如圖2所示。

圖2中，當(dāng)電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時(shí)，Vc波形近似直流電平，并有

D=Vc/Vs （15）
d=Vc'/Vs （16）

式（16）為式（15）的小信號(hào)波動(dòng)方程。整個(gè)電路的環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設(shè)Uin=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號(hào)波動(dòng)；

KFB=UREF/Uo，為反饋系數(shù)；誤差e為輸出采樣值偏離穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的波動(dòng)值，經(jīng)電壓誤差放大器KEA放大后，得；KMOD為脈沖寬度調(diào)制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR為主電路增益，KPWR=/d=Uin；KLC為輸出濾波器傳遞函數(shù)，KLC=(1 sCRe)/[S2LC s(ReC L/Ro) 1]。

在已知環(huán)路其他部分的傳遞函數(shù)表達(dá)式后，即可設(shè)計(jì)電壓誤差放大器了。由于KLC提供了一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)諧振極點(diǎn)，因此，一般將E/A設(shè)計(jì)成PI調(diào)節(jié)器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般取為KLC零極點(diǎn)的1/10以下；KP用于使剪切頻率處的開環(huán)增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺點(diǎn)：

1）沒有可預(yù)測(cè)輸入電壓影響的電壓前饋機(jī)制，對(duì)瞬變的輸入電壓響應(yīng)較慢，需要很高的環(huán)路增益；
2）對(duì)由L和C產(chǎn)生的二階極點(diǎn)（產(chǎn)生180°的相移）沒有構(gòu)成補(bǔ)償，動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢。
VMC的缺點(diǎn)可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3 平均電流模式控制（AverageCMC）

平均電流模式控制含有電壓外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)兩個(gè)環(huán)路，如圖4所示。電壓環(huán)提供電感電流的給定，電流環(huán)采用誤差放大器對(duì)送入的電感電流給定（Vcv）和反饋信號(hào)（iLRs）之差進(jìn)行比較、放大，得到的誤差放大器輸出Vc再和三角波Vs進(jìn)行比較，最后即得控制占空比的開關(guān)信號(hào)。圖4中Rs為采樣電阻。對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)良好的電流誤差放大器，Vc不會(huì)是一個(gè)直流量，當(dāng)開關(guān)導(dǎo)通時(shí)，電感電流上升，會(huì)導(dǎo)致Vc下降；開關(guān)關(guān)斷，電感電流下降時(shí)，會(huì)導(dǎo)致Vc上升。電流環(huán)的設(shè)計(jì)原則是，不能使Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時(shí)就是最優(yōu)。原因是：如果Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，會(huì)導(dǎo)致Vc峰值超過Vs的峰值，在下個(gè)周波時(shí)Vc和Vs就可能不會(huì)相交，造成次諧波振蕩。

采用斜坡匹配的方法進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)后，PWM控制器的增益會(huì)隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

當(dāng)D很大時(shí)，較小的Vc會(huì)引起D較大的改變，而D較小時(shí)，即使Vc變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

d=DV'/Vs （17）
不妨設(shè)電壓環(huán)帶寬遠(yuǎn)低于電流環(huán)，則在分析電流環(huán)時(shí)Vcv為常數(shù)。當(dāng)Vc的上升斜率等于三角波斜率時(shí)，在開關(guān)頻率fs處,電流誤差放大器的增益GCA為
GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs （18）
GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs) （19）
高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項(xiàng)忽略，并化簡，得
iL'(s)=[d(s)Uin]/sL （20）
由式（17）及式（20）有
(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs) （21）
將式（19）與式（21）相乘，得整個(gè)電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為
(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s （22）

圖7

將s=2πfc代入上式，并令上式等于1時(shí)，可得環(huán)路的剪切頻率fc=fs/(2π)。因此，可將電流環(huán)等效為延時(shí)時(shí)間常數(shù)為一個(gè)開關(guān)周期的純慣性環(huán)節(jié)，如圖6所示。顯然，當(dāng)電流誤差放大器的增益GCA小于最優(yōu)值時(shí)，電流響應(yīng)的延時(shí)將會(huì)更長。

GCA中一般要在fs處或更高頻處形成一個(gè)高頻極點(diǎn)，以使fs以后的電流環(huán)開環(huán)增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環(huán)的抗干擾能力。低頻下一般要加一個(gè)零點(diǎn)，使電流環(huán)開環(huán)增益變大，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

整個(gè)環(huán)路的結(jié)構(gòu)如圖7所示。其中KEA，KFB定義如前?？梢娤鄬?duì)VMC而言（參見圖3），平均CMC消除了原來由濾波電感引起的極點(diǎn)（新增極點(diǎn)fs很大，對(duì)電壓環(huán)影響很?。?，將環(huán)路校正成了一階系統(tǒng),電壓環(huán)增益可以保持恒定，不隨輸入電壓Vin而變，外環(huán)設(shè)計(jì)變得更加容易。

4 峰值電流模式控制（PeakCMC）

平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時(shí)顯得不太方便，因此，實(shí)踐中經(jīng)常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環(huán)輸出控制量（Vc）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通過電壓比較器進(jìn)行比較后，直接得到開關(guān)管的關(guān)斷信號(hào)（開通信號(hào)由時(shí)鐘自動(dòng)給出），因此，電壓環(huán)的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經(jīng)濾波后即負(fù)載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時(shí)電感電流在導(dǎo)通期間的電流增量設(shè)計(jì)為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負(fù)載越輕誤差越大，特別是進(jìn)入不連續(xù)電流（DCM）工作區(qū)后誤差將超過100％，系統(tǒng)有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。在剪切頻率fc以下，由圖6可知平均CMC的電流環(huán)開環(huán)增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環(huán)開環(huán)增益只能保持在10以內(nèi)不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場(chǎng)合。

峰值CMC的缺點(diǎn)還包括對(duì)噪音敏感，需要進(jìn)行斜坡補(bǔ)償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優(yōu)點(diǎn)，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復(fù)現(xiàn)電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應(yīng)用。

5 結(jié)語

采用平均狀態(tài)方程的方法可以得到Buck電路的小信號(hào)頻域模型，并可依此進(jìn)行環(huán)路設(shè)計(jì)。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進(jìn)行環(huán)路設(shè)計(jì)，各有其優(yōu)缺點(diǎn)，適用的范圍也不盡相同。