自適應(yīng)濾波器的算法研究及DSP仿真實(shí)現(xiàn)

摘要：隨著DSP技術(shù)的高建發(fā)展，人們對信號處理的實(shí)時(shí)性、準(zhǔn)確性和靈活性的要求越來越高，DSP技術(shù)在信號處理中的地位也越來越重要。自適應(yīng)濾波器是一種復(fù)雜的算法，設(shè)計(jì)它是為了在均衡信道，抵消回波，增強(qiáng)譜線，抑制噪聲等方面有所應(yīng)用。而自適應(yīng)濾波器的實(shí)現(xiàn)主要采用最小均方誤差算法完成。自適應(yīng)算法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實(shí)現(xiàn)可以更好地跟蹤信號的變化，最終實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波。
關(guān)鍵詞：自適應(yīng)濾波器；數(shù)字信號處理器；最小均方誤差算法；Matlab仿真

0 引 言
    濾波是電子信息處理領(lǐng)域的一種最基本而又極其重要的技術(shù)。在有用信號的傳輸過程中，通常會受到噪聲或干擾的污染。利用濾波技術(shù)可以從復(fù)雜的信號中提取所需要的信號，同時(shí)抑制噪聲或干擾信號，以便更有效地利用原始信號。濾波器實(shí)際上是一種選頻系統(tǒng)，它對某些頻率的信號予以很小的衰減，讓該部分信號順利通過；而對其他不需要的頻率信號則予以很大的衰減，盡可能阻止這些信號通過。在電子系統(tǒng)中濾波器是一種基本的單元電路，使用很多，技術(shù)也較為復(fù)雜，有時(shí)濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的性能，所以很多國家非常重視濾波器的理論研究和產(chǎn)品開發(fā)。

1 自適應(yīng)濾波器簡介
    自適應(yīng)濾波器屬于現(xiàn)代濾波器的范疇，自適應(yīng)濾波器是相對固定濾波器而言的，固定濾波器屬于經(jīng)典濾波器，它濾波的頻率是固定的，自適應(yīng)濾波器濾波的頻率則是自動適應(yīng)輸入信號而變化的，所以其適用范圍更廣。在沒有任何關(guān)于信號和噪聲的先驗(yàn)知識的條件下，自適應(yīng)濾波器利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)來自動調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機(jī)變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。所謂自適應(yīng)濾波，就是利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器實(shí)質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)化的維納濾波器。

2 自適應(yīng)濾波原理
    自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。一般而言，自適應(yīng)濾波器由兩部分組成，一是濾波器結(jié)構(gòu)，二是調(diào)整濾波器系數(shù)的自適應(yīng)算法。自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)采用FIR或IIR結(jié)構(gòu)均可，由于IIR濾波器存在穩(wěn)定性問題，因此一般采用FIR濾波器作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)。圖1給出了自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)。
    圖1為自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)的一般形式，圖中x(n)為輸入信號，通過參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號y(n)，將輸出信號y(n)與標(biāo)準(zhǔn)信號(或者為期望信號)d(n)進(jìn)行比較，得到誤差信號e(n)。e(n)和x(n)通過自適應(yīng)算法對濾波器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的目的使得誤差信號e(n)最小。

    自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)中最常用的是FIR橫向型結(jié)構(gòu)。圖2是橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖。

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    其中：x(n)為自適應(yīng)濾波器的輸入；w(n)為自適應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)：w(n)={w(O)，w(1)，…，w(N-1)}；y(n)為自適應(yīng)

   
3 自適應(yīng)濾波算法
    自適應(yīng)濾波器除了包括一個(gè)按照某種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的濾波器，還有一套自適應(yīng)的算法。自適應(yīng)算法是根據(jù)某種判斷來設(shè)計(jì)的。自適應(yīng)濾波器的算法主要是以各種判據(jù)條件作為推算基礎(chǔ)的。通常有兩種判據(jù)條件：最小均方誤差判據(jù)和最小二乘法判據(jù)。LMS算法是以最小均方誤差為判據(jù)的最典型的算法，也是應(yīng)用最廣泛的一種算法。
    最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)算法是一種易于實(shí)現(xiàn)、性能穩(wěn)健、應(yīng)用廣泛的算法。所有的濾波器系數(shù)調(diào)整算法都是設(shè)法使y(n)接近d(n)，所不同的只是對于這種接近的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不同。LMS算法的目標(biāo)是通過調(diào)整系數(shù)，使輸出誤差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根據(jù)這個(gè)判據(jù)來修改權(quán)系數(shù)，該算法因此而得名。誤差序列的均方值又叫“均方誤差”(Mean Sqluare Error，MSE)。
    理想信號d(n)與濾波器輸出y(n)之差e(n)的期望值最小，并且根據(jù)這個(gè)判據(jù)來修改權(quán)系數(shù)wi(n)。由此產(chǎn)生的算法稱為LMS。均方誤差ε表示為：

    對于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器，代入y(n)的表達(dá)式：

    其中：R=E[X(n)XT(n)]為N×N的自相關(guān)矩陣，它是輸入信號采樣值間的相關(guān)性矩陣。P=E[d(n)X(n)]為N×1互相關(guān)矢量，代表理想信號d(n)與輸入矢量的相關(guān)性。在均方誤差ε達(dá)到最小時(shí)，得到最佳權(quán)系數(shù)它應(yīng)滿足下式：

    這是一個(gè)線形方程組，如果R矩陣為滿秩的，R-1存在，可得到權(quán)系數(shù)的最佳值滿足：W*=R-1p。用完整的矩陣表示為：

   
    顯然φx(m)=E[x(n)x(n-m)]為x(n)的自相關(guān)值，φxd(R)=E[x(n)d(n一k)]為x(n)與d(n)互相關(guān)值。在有些應(yīng)用中，把輸入信號的采樣值分成相同的一段(每段稱為一幀)，再求出R，P的估計(jì)值得到每幀的最佳權(quán)系數(shù)。這種方法稱為塊對塊自適應(yīng)算法。如語音信號的線性預(yù)測編碼LPC就是把語音信號分成幀進(jìn)行處理的。R，P的計(jì)算，要求出期望值E，在現(xiàn)實(shí)運(yùn)算中不容易實(shí)現(xiàn)，為此可通過下式進(jìn)行估計(jì)：

    用以上方法獲得最佳W*的運(yùn)算量很大，對于一些在線或?qū)崟r(shí)應(yīng)用的場合，無法滿足其時(shí)間要求。大多數(shù)場合使用迭代算法，對每次采樣值就求出較佳權(quán)系數(shù)，稱為采樣值對采樣值迭代算法。迭代算法可以避免復(fù)雜的R-1和P的運(yùn)算，又能實(shí)時(shí)求得近似解，因而切實(shí)可行。LMS算法是以最快下降法為原則的迭代算法，即W(n+1)矢量是W(n)矢量按均方誤差性能平面的負(fù)斜率大小調(diào)節(jié)相應(yīng)一個(gè)增量：W(n+1)=W(n)-μ▽(n)，這個(gè)“是由系統(tǒng)穩(wěn)定性和迭代運(yùn)算收斂速度決定的自適應(yīng)步長。▽(n)為n次迭代的梯度。對于LMS算法▽(n)為下式E[e2(n)]的斜率：

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    由上式產(chǎn)生了求解最佳權(quán)系數(shù)W*的兩種方法，一種是最陡梯度法。其思路為：設(shè)計(jì)初始權(quán)系數(shù)W(0)，用W(n+1)=W(n)一μ▽(n)迭代公式計(jì)算，到W(n+1)與W(n)誤差小于規(guī)定范圍。其中▽(n)計(jì)算可用估計(jì)值表達(dá)式：

   
    上式K取值應(yīng)足夠大。如果用瞬時(shí)一2e(n)X(n)來代替上面對-2E[e(n)X(n)]的估計(jì)運(yùn)算，就產(chǎn)生了另一種算法——隨機(jī)梯度法，即Widrow-Hoft的LMS算法。此時(shí)迭代公式為：

    W(n+1)=W(n)+2ue(n)X(n)
    以后討論的LMS算法都是基于WidrOW-Hoff的LMS算法。上式的迭代公式假定濾波器結(jié)構(gòu)為橫向結(jié)構(gòu)。對于對稱橫向型結(jié)構(gòu)也可推出類似的迭代公式：
    W(n+1)=W(n)+2ue(n)[X(n)+X(n一N+1)]
4 自適應(yīng)濾波算法的理論仿真
    使用Matlab編程，采用自適應(yīng)濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)信噪分離，也就是去噪。程序如下：

   
    程序運(yùn)行的結(jié)果如圖3所示。

    通過CCS軟件環(huán)境，把濾波程序燒錄到DSP芯片中，在CCS DSK C5000環(huán)境下輸出仿真結(jié)果：輸入信號為余弦信號和隨機(jī)噪聲的疊加。程序正確運(yùn)行后，觀察運(yùn)行結(jié)果，得出如圖4，圖5所示的仿真圖。

5 結(jié) 語
    通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：自適應(yīng)濾波器卻能很好地消除疊加在信號上的噪聲，雖然也可以用固定濾波器來實(shí)現(xiàn)，但設(shè)計(jì)固定濾波器時(shí)需要預(yù)先知道信號和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，而自適應(yīng)濾波器則不需要，并且當(dāng)信號和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器也能自動地調(diào)節(jié)其沖激響應(yīng)特性來適應(yīng)新的情況，因此，自適應(yīng)濾波器具有更加廣闊的應(yīng)用前景。