基于多速率DA的根升余弦濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)

0 引 言
    根升余弦成形濾波器是數(shù)字信號處理中的重要部件，它能對數(shù)字信號進(jìn)行成形濾波，壓縮旁瓣，減少干擾的影響，從而降低誤碼率。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，它的傳統(tǒng)FP-GA實(shí)現(xiàn)方式基于乘累加器(Multiplier Add Cell，MAC)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)方便，只需要乘法器、加法器和移位寄存器即可實(shí)現(xiàn)，但是在FPGA中實(shí)現(xiàn)硬件乘法器十分耗費(fèi)資源。特別是當(dāng)濾波器階數(shù)很高時(shí)，資源耗費(fèi)不可忽視。若采用乘法器復(fù)用的結(jié)構(gòu)，運(yùn)算速度較慢。分布式算法(Distribute Arithmetic，DA)是另一種應(yīng)用在FPGA中計(jì)算乘積和的算法。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，分布式算法結(jié)構(gòu)的FIR濾波器利用FPGA中的查找表(LUT)來替代乘法器，這種方法可以極大地減少硬件電路規(guī)模，有效提高邏輯資源的利用率，而且有較高的處理速度，滿足實(shí)時(shí)處理的要求。分布式算法的處理速度僅與輸入的位寬有關(guān)，對于大規(guī)模乘積和的運(yùn)算，其計(jì)算速度有著明顯的優(yōu)勢。當(dāng)輸入位寬過大時(shí)，可以通過將DA算法改進(jìn)成并行結(jié)構(gòu)而獲得更快的處理速度。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，對多速率系統(tǒng)來說，還可以引入多相結(jié)構(gòu)來減少計(jì)算量，提高處理速度。本文針對根升余弦成形濾波器提出一種基于多速率信號處理技術(shù)和分布式算法的FPGA實(shí)現(xiàn)技術(shù)，使得計(jì)算量大幅減少，處理速度得到較大提高，而且使得FPGA資源利用更合理。

1 根升余弦濾波器原理與結(jié)構(gòu)
    奈奎斯特第一準(zhǔn)則提出消除碼間干擾，系統(tǒng)從發(fā)送濾波器經(jīng)信道到接收濾波器總的傳輸特性所應(yīng)滿足的條件，據(jù)此可以求出滿足奈奎斯特準(zhǔn)則的成形濾波器。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用的是幅頻響應(yīng)，它是具有奇對稱升余弦形狀過渡帶的一類濾波器，即升余弦濾波器，它的沖激響應(yīng)為：
   
式中：丁為輸入碼元速率；a為滾降系數(shù)，實(shí)際應(yīng)用在0～0．4之間。除了抽樣點(diǎn)n=0之外，它在其余所有抽樣點(diǎn)上均為0，而且它的衰減很快，隨著n的增大，呈平方衰減。這樣，對于減小碼間干擾及對定時(shí)誤差的影響非常有利。
    本文要求實(shí)現(xiàn)的基帶成形濾波器滾降系數(shù)為0．35。它的頻率響應(yīng)要求如圖1所示。

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    由于在FPGA中數(shù)據(jù)由定點(diǎn)數(shù)表示，所以需要對系數(shù)進(jìn)行量化。本設(shè)計(jì)中，采用整系數(shù)表示方法，對濾波器系數(shù)先放大127倍，然后取整量化為8位整數(shù)，量化后它的沖激響應(yīng)系數(shù)如表1所示。

2 分布式算法與多相原理
2．1 分布式算法原理
    分布式最初由Croisier于1973年提出，但直到出現(xiàn)查找表結(jié)構(gòu)的FPGA之后，分布式算法才被廣泛應(yīng)用于乘積計(jì)算中。FIR濾波器采用分布式算法可以極大地減少硬件電路的規(guī)模，很容易實(shí)現(xiàn)流水線技術(shù)，提高電路的執(zhí)行速度。
    根據(jù)文獻(xiàn)[5]，長度為N的因果有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR)可以用下列傳輸函數(shù)H(z)來描述。

   
    在時(shí)域中，上述FIR濾波器的輸入輸出關(guān)系為：
   
式中：y[n]和x[n]分別是輸出和輸入的序列；h[k]為沖激響應(yīng)在時(shí)間序號k時(shí)的系數(shù)。若y(n)表示濾波器的輸出，Ak表示濾波器的系數(shù)，xk(n)表示第忌個(gè)輸入變量，則N階線性、時(shí)不變FIR濾波器的輸出為：
   
    在FPGA的實(shí)現(xiàn)中，根據(jù)文獻(xiàn)[6]數(shù)據(jù)采用二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，所以變量xk可以表示為：
   
式中：xkb為xk的第b比特位；B為輸入變量xk的數(shù)據(jù)位數(shù)。將式(5)代入式(4)可得：
   

    這里，利用一個(gè)查找表來實(shí)現(xiàn)，即把所有可能的2N個(gè)中間數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在一個(gè)查找表中，以一個(gè)N位輸入向量xb作為地址，輸出為對應(yīng)該向量的一個(gè)特定值。對于并行分布式算法結(jié)構(gòu)濾波器，從低位到高位，依次乘以2N，N=0，1，2，…，然后相加得到輸出值。[!--empirenews.page--]
2．2 多速率FIR的多相表示
    設(shè)FIR濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

   
式中：N為濾波器長度。假設(shè)滿足條件N=DQ(其中D，Q為整數(shù))，則H(z1)可以寫成：

    根據(jù)文獻(xiàn)[7]，傳統(tǒng)的濾波后再抽取的多速率系統(tǒng)如圖3所示。

 圖3中，T2=DT1?？梢钥闯?，卷積運(yùn)算在下采樣之前進(jìn)行。通過對濾波器進(jìn)行多相分解，得到多相分解表示如圖4所示。

 Ek(z1D)相當(dāng)于一組濾波器，利用多采樣率系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)的互易性對濾波器位置進(jìn)行等效變換，將抽取操作前置，這樣卷積運(yùn)算已經(jīng)變換到在低抽樣率下進(jìn)行，濾波運(yùn)算量減少到原來的1／D，大大減少運(yùn)算量，如圖5所示。

由圖5可知，每相仍然相當(dāng)于低階的FIR濾波器，下節(jié)對其采用DA算法，可以看到運(yùn)算速度將進(jìn)一步提高，運(yùn)算量也將大幅減少。

3 多速率DA根升余弦濾波器的結(jié)構(gòu)及其FPGA實(shí)現(xiàn)
    按查找表的方式，DA算法可以分為串行實(shí)現(xiàn)方式和位并行實(shí)現(xiàn)方式兩種。本文采用位并行方式實(shí)現(xiàn)。因?yàn)楸疚尼槍Φ氖且粋€(gè)48階平方根升余弦濾波器，從表1可以看到結(jié)構(gòu)是對稱的，LUT的規(guī)模隨地址空間，也就是輸入系數(shù)N的增加而呈指數(shù)增加。這里系數(shù)N=48，用單個(gè)LUT不能夠執(zhí)行全字(輸入LUT位寬等于系數(shù)的數(shù)量)。為了減小LUT的規(guī)模，根據(jù)文獻(xiàn)[8]可以利用部分表計(jì)算，并將結(jié)果相加，即用m個(gè)濾波系數(shù)為k的濾波單元構(gòu)成系數(shù)為N(N=m×k)的濾波單元。如果再加上流水線寄存器，這一改進(jìn)并沒有降低速度，卻可以極大地減少設(shè)計(jì)規(guī)模，這里采用4輸入LUT，如圖6所示?？紤]濾波器的對稱性，需要6種LUT，對于每個(gè)4輸入LUT：
    b0～b3為x[n]～x[n-3]的第0位，構(gòu)成了一組查找表的查找地址。
    LUT表中存儲(chǔ)的是所有可能使用到的數(shù)值，是濾波器系數(shù)的16種組合形式。

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3．1 串行實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)
    對于串行分布式算法結(jié)構(gòu)濾波器，LUT輸出值與寄存器值左移1位(乘以21)后的數(shù)值相加，并將相加后的結(jié)果存入寄存器。首先計(jì)算高位(b=0)，再計(jì)算低位，所以寄存器的值要先左移1位再相加，從而減少資源消耗。當(dāng)b=0時(shí)，做減法運(yùn)算；當(dāng)b>0時(shí)，做加法運(yùn)算。經(jīng)過1次減法和B-1次加法，在B次查詢循環(huán)后完成計(jì)算，實(shí)現(xiàn)框圖如圖7所示。

3．2 位并行實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)
    另一個(gè)DA結(jié)構(gòu)的改進(jìn)即并行算法是以增加額外的LUT、寄存器和加法器為代價(jià)提高速度的。并行算法是速度最優(yōu)的高階分布式算法，實(shí)現(xiàn)框圖如圖8所示。

3．3 濾波器實(shí)現(xiàn)框圖
    本設(shè)計(jì)的48階根升余弦濾波器的設(shè)計(jì)框圖如圖9所示。

    根據(jù)文獻(xiàn)[10]，利用VHDL語言，輸入數(shù)據(jù)位寬限定為8 b，F(xiàn)IR濾波器的系數(shù)是常數(shù)，存在ROM中，工作頻率為78．643 2 MHz。

4 結(jié)果分析
    本文實(shí)現(xiàn)選用的FPGA是Altera的StratixⅡEP2S60F1040C4，在QuartusⅡ7．2平臺上進(jìn)行仿真。輸入數(shù)據(jù)位寬限定為8 b，整個(gè)處理過程沒有截位，因此該濾波器的頻率響應(yīng)與其他形式實(shí)現(xiàn)的濾波器頻率響應(yīng)是一樣的。區(qū)別集中在以下三點(diǎn)：
    (1)節(jié)省資源開銷
    通過仿真綜合后，得到根升余弦濾波器的三種實(shí)現(xiàn)方式的資源消耗情況。根據(jù)文獻(xiàn)[9]，把1個(gè)DSPblock 9 b折合成82個(gè)ALUTs和82個(gè)寄存器計(jì)算，得到表2。

    可見，傳統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)占用資源量大，而基于并行DA算法的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)所占用的ALUTs只是前者的27．6％，寄存器只是它的35．7％，只是Memory bits大幅增加，不過相對來說，F(xiàn)PGA中Memory資源很豐富，可以不考慮。
    本文所采用的并行DA算法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)與QuartusⅡ自帶的基于DA算法的FIR濾波器IP core相比各有優(yōu)勢，雖然Memory bits比較多，但是關(guān)鍵性指標(biāo)ALUTs和寄存器有大幅減少，約為IP core實(shí)現(xiàn)的60％左右?？梢?，本文設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的濾波器在資源開銷方面有較明顯的優(yōu)勢。
    (2)提高計(jì)算速度
    DA算法的計(jì)算速度與系統(tǒng)階數(shù)無關(guān)，只與輸入位寬有關(guān)，處理時(shí)鐘／輸入位寬即是系統(tǒng)的工作速度，這種工作速度與階數(shù)無關(guān)的性質(zhì)非常適合大規(guī)模乘積和的計(jì)算，在階數(shù)很高的濾波器中運(yùn)算優(yōu)勢明顯。對于位寬較大的輸入，可以將其拆分，讓電路并行工作成倍地提高處理速度，但速度的提高是以電路規(guī)模的同倍數(shù)擴(kuò)大為代價(jià)的，在實(shí)際工作中需要仔細(xì)斟酌，尋找一個(gè)速度與資源的平衡點(diǎn)。
    (3)提高系統(tǒng)工作頻率
    對本設(shè)計(jì)而言，系統(tǒng)對速度的要求比較高，該FIR濾波器的工作頻率為64×1．228 8 MHz。對該傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行時(shí)序分析顯示，clock時(shí)鐘的時(shí)序邏輯所需的最小時(shí)鐘周期為5．902 ns，信號的最大時(shí)鐘頻率為169．4 MHz。對基于并行DA算法的根升余弦成形濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行時(shí)序分析顯示，clock時(shí)鐘的時(shí)序邏輯所需的最小時(shí)鐘周期為3．823 ns，信號的最大時(shí)鐘頻率為261．57 MHz。同樣基于并行DA算法的IPcore FIR濾波器相應(yīng)的指標(biāo)為292．74 MHz，3．416 ns?？梢钥闯?，相比IP core還有差距，但與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比，有很大提高。

5 結(jié) 語
    從結(jié)果分析中的幾點(diǎn)可以看出，一方面并行DA算法性價(jià)比高于傳統(tǒng)算法；另一方面由于對濾波器引入多相結(jié)構(gòu)，使得大部分電路工作在較低頻率下，減少了計(jì)算量，而且還降低了系統(tǒng)功耗，因此基于多速率處理技術(shù)和并行DA算法實(shí)現(xiàn)的根升余弦濾波器比以往的設(shè)計(jì)具有明顯優(yōu)勢，尤其是在減少邏輯資源開銷方面，非常適合邏輯資源受限的應(yīng)用設(shè)計(jì)中。