采集模擬信號：帶寬、奈奎斯特定理和混疊

了解采集模擬信號的基礎(chǔ)知識，包含帶寬、幅值誤差、上升時間、采樣率、奈奎斯特定理、混疊與分辨率等。 本教程是儀器基礎(chǔ)教程系列的一部分。

1. 什么是數(shù)字化儀?

科學(xué)家和工程師常用數(shù)字化儀采集真實世界中的模擬數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號用于分析。 數(shù)字化儀是指任何用于將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的設(shè)備。 手機(jī)是最常見的一種數(shù)字化儀，可將聲音(模擬信號)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號并將其發(fā)送至另一部手機(jī)。 但在測試測量應(yīng)用中，數(shù)字化儀通常指示波器或數(shù)字萬用表(DMM)。 本文主要介紹示波器，但大部分內(nèi)容也適用于其他數(shù)字化儀。

無論哪種類型，數(shù)字化儀對于系統(tǒng)精確地重構(gòu)波形都至關(guān)重要。 要確保為應(yīng)用選擇正確的示波器，需考慮示波器帶寬、采樣率以及分辨率。

2. 帶寬

示波器前端包含兩個部分：模擬輸入路徑和模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)。 模擬輸入路徑衰減、放大、過濾和/或耦合信號對其進(jìn)行優(yōu)化，為ADC數(shù)字化做準(zhǔn)備。 ADC對調(diào)理的信號進(jìn)行采樣，并將模擬輸入信號轉(zhuǎn)換為表示模擬輸入波形的數(shù)字值。 輸入路徑的頻率響應(yīng)會引起幅值和相位信息的固有損耗。

圖1. 帶寬描述的是輸入信號可經(jīng)過示波器前端的頻率范圍，示波器前端由兩部分構(gòu)成：模擬輸入路徑和ADC。

帶寬描述的是模擬前端獲取外部世界信號到ADC并最小化振幅衰減的能力-從探針的針尖或測試夾具到ADC的輸入端。 換句話說，帶寬描述的是示波器可精確測量的頻率范圍。

帶寬定義為正弦波輸入信號的振幅衰減至原振幅的70.7%時的頻率，也稱為-3 dB點。 圖2和3顯示了100 MHz示波器的常規(guī)輸入響應(yīng)。

圖2. 帶寬是輸入信號的振幅衰減至原振幅的70.7%時的頻率。

圖3. 該圖表示100 MHz時輸入信號達(dá)到-3dB點。

帶寬等于信號幅值下降到低于通帶頻率-3 dB時的上下限頻率差。 聽起來十分復(fù)雜，拆分開來之后實際上相對簡單。

首先計算-3 dB的值。

公式1. 計算-3 dB點

Vin,pp表示輸入信號的峰峰電壓， Vout,pp表示輸出信號的峰峰電壓。 例如，如輸入1 V正弦波，則輸出電壓的計算方式為：

由于輸入信號為正弦波，因此輸出信號達(dá)到該電壓值有兩個頻率;這些頻率被稱為轉(zhuǎn)折頻率 f1 和f2。 這兩個頻率有多種名稱，如轉(zhuǎn)折頻率、截止頻率、交越頻率、半功率點頻率、3 dB頻率以及折點頻率等。 實際上，所有這些術(shù)語指的都是同一個值。 信號的中心頻率f0是f1 和f2的幾何平均數(shù)。

公式2. 計算中心頻率

帶寬(BW)可通過兩個轉(zhuǎn)折頻率相減進(jìn)行計算。

公式3. 計算帶寬

圖4. 帶寬、轉(zhuǎn)折頻率、中心頻率和3 dB點的相互關(guān)系。

計算幅值誤差

另一個有用的公式是計算幅值誤差。

公式4. 計算幅值誤差

幅值誤差通過百分比表示，R表示示波器帶寬和輸入信號頻率(fin)的比率。

以上述公式為例，100 MHz示波器1 V時的正弦波輸入信號為100 MHs，BW = 100 MHz且fin = 100 MHz。 那么R = 1。則公式計算結(jié)果如下所示：

幅值誤差為29.3%。 1 V信號的輸出電壓為：

建議示波器的帶寬為被測信號感興趣最高頻率分量的3～5倍，這樣就可以在振幅誤差最小的情況下捕獲信號。 例如，對于100 MHz的1 V正弦波，應(yīng)該使用300 MHz～500 MHz帶寬的示波器。 這些帶寬上100 MHz信號的振幅誤差為：

計算上升時間

示波器必須有合適的帶寬才能精確地測量信號，同時也要有足夠的上升時間才能精確捕捉快速轉(zhuǎn)換的細(xì)節(jié)。 這主要適用于測量如脈沖和步進(jìn)等數(shù)字信號。 輸入信號的上升時間是指信號從最大信號振幅的10%上升至90%所需的時間。 有些示波器可能是20%上升至80%，請務(wù)必查看用戶手冊獲取具體信息。

圖5. 輸入信號的上升時間是指信號從最大信號振幅的10%上升至90%所需的時間。

上升時間(Tr)可通過下列公式計算：

5. 計算上升時間

常量k取決于示波器。 大部分帶寬不到1 GHz的示波器k值為0.35，而帶寬大于1 GHz的示波器k值一般在0.4～0.45之間。

測量的理論上升時間Trm可以通過示波器的上升時間Tro和輸入信號的實際上升時間Trs來計算得到。

公式6. 計算測量的理論上升時間

建議示波器的上升時間為所測信號上升時間的1/3至1/5，從而以最小上升時間誤差捕捉信號。

3. 采樣率

采樣率與帶寬沒有直接聯(lián)系。 采樣率是指ADC將模擬輸入波形轉(zhuǎn)換為數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的頻率。 示波器是在經(jīng)過模擬輸入路徑的衰減、增益和/或濾波后對信號進(jìn)行采樣的，并將所得到的波形轉(zhuǎn)換為數(shù)字形式。 通過快照的方式進(jìn)行，類似于影片的幀。 示波器采樣速度越快，波形的分辨率和細(xì)節(jié)就越清晰。

奈奎斯特采樣定理

奈奎斯特采樣定理解釋了采樣率和所測信號頻率之間的關(guān)系。 闡述了采樣率fs必須大于被測信號感興趣最高頻率分量的兩倍。 該頻率通常被稱為奈奎斯特頻率fN。

公式7. 采樣率應(yīng)大于奈奎斯特頻率的兩倍。

為更好理解其原因，讓我們來看看不同速率測量的正弦波。 情況A，頻率f的正弦波以同一頻率采樣。 這些采樣標(biāo)記在原始信號的左側(cè)，在右側(cè)構(gòu)建時，信號錯誤地顯示為恒定直流電壓。 情況B，采樣率是信號頻率的兩倍。 現(xiàn)在信號顯示為三角波。 這種情況下，f等于奈奎斯特頻率，這也是特定采樣頻率下為了避免混疊而允許的最高頻率分量。 情況C，采樣率是4f/3。此時奈奎斯特頻率為：

由于f大于奈奎斯特頻率 )，該采樣率再現(xiàn)錯誤頻率和形狀的混疊波形。

圖6. 采樣率過低會造成波形重構(gòu)不準(zhǔn)確。

因此，為了無失真地恢復(fù)原波形信號，采樣率fs必須大于被測信號感興趣最高頻率分量的兩倍。 通常希望采樣率大于信號頻率約五倍。

混疊

如需按一定速率采樣以避免混疊，那么混疊到底是什么? 如果信號的采樣率低于兩倍奈奎斯特頻率，采樣數(shù)據(jù)中就會出現(xiàn)虛假的低頻成分。 這種現(xiàn)象便稱為混疊。 下圖顯示了800 kHz正弦波1 MS/s時的采樣。虛線表示該采樣率時記錄的混疊信號。 800 kHz頻率與通帶混疊，錯誤地顯示為200 kHz正弦波。

圖7. 混疊發(fā)生在采樣率過低的時候，產(chǎn)生不精確的波形顯示。

通過計算混疊頻率fa可確定輸入信號超過奈奎斯特頻率時的顯示圖。 混疊頻率是指最接近采樣率整數(shù)倍的頻率和輸入信號的頻率之間的差的絕對值。

公式8. 計算混疊頻率

例如，假設(shè)信號采樣率為100 Hz，輸入信號包含下列頻率：25 Hz、70 Hz、160 Hz和510 Hz。 低于50 Hz奈奎斯特頻率可正確采樣;超過50 Hz的頻率顯示為混疊。

圖8. 測量不同頻率值，有些為混疊頻率，有些為波形的實際頻率。

混疊頻率計算如下：

除增加采樣率之外，使用抗混疊濾波器也可阻止發(fā)生混疊。 抗混疊濾波器為低通濾波器，可使輸入信號中任何大于奈奎斯特頻率的頻率分量衰減，同時必須在ADC前使用以限制輸入信號的帶寬來滿足采樣標(biāo)準(zhǔn)。 模擬輸入通道的硬件可包含同時采用模擬和數(shù)字濾波器來防止混疊。

4. 分辨率

選擇應(yīng)用的示波器時需考慮的另一個因素是分辨率。 分辨率的位是指示波器可用來表示信號的幅值單元的數(shù)量。 理解分辨率概念的一種方式就是與碼尺相比較。 將一個米尺分成毫米，分辨率是多少? 碼尺上的最小計數(shù)單元就是分辨率：1/1,000。

ADC分辨率與最大信號可被分成的單元數(shù)量相關(guān)。 幅值分辨率由ADC具有的離散輸出電平數(shù)量決定。 二進(jìn)制碼表示每個區(qū)間;這樣，電平數(shù)計算如下：

公式9. 計算ADC的離散輸出電平

例如，一個3位示波器有23或8個電平。 而一個16位示波器就有216或65,536個電平。 最小可檢測的電壓變化或碼寬可計算如下：

公式10. 計算碼寬

碼寬也稱最低有效位(LSB)。 如設(shè)備輸入范圍是0～10 V，那么3位示波器的碼寬為10/8 = 1.25 V，而16位示波器的碼寬為10/65,536 = 305 μV。 由此可見顯示的信號差別會非常大。