非均勻采樣的理論基礎(chǔ)

非均勻采樣有很多種，一般來(lái)說(shuō)只要采樣間隔不是恒定的，就可以認(rèn)為是非均勻采樣，但是對(duì)于大多數(shù)非均勻采樣其并不具有特別的性能。本案例研究的非均勻采樣特指兩種情況：隨機(jī)采樣和偽隨機(jī)采樣。隨機(jī)采樣中每個(gè)采樣點(diǎn)的選擇是完全隨機(jī)的，是理想化的非均勻采樣；偽隨機(jī)采樣中每個(gè)采樣點(diǎn)的選擇是經(jīng)過(guò)挑選的偽隨機(jī)數(shù)。非均勻采樣的一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)就是它具有抗頻率混疊的性能，從而可以突破奈奎斯特頻率的限制，實(shí)現(xiàn)以比較低的采樣頻率檢測(cè)到很高頻率的信號(hào)?！　〔蓸訒r(shí)刻的選擇無(wú)疑是非常重要的，它決定了采樣后得到的信號(hào)的性質(zhì)。時(shí)鐘抖動(dòng)的均勻采樣在工程實(shí)踐中是普遍存在的，并且是不可避免的，例如ad時(shí)鐘頻率存在一定偏差。有抖動(dòng)的均勻采樣時(shí)刻{tk}，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：　　其中，t表示均勻采樣的采樣周期，{tk}為服從同分布的一組隨機(jī)變量，其均值是0。設(shè)tk的概率密度函數(shù)為p(tk)，則采樣時(shí)刻tk的概率密度函數(shù)為p(t－(tk-to))?！　r(shí)鐘抖動(dòng)的均勻采樣明顯存在很大的缺點(diǎn)。如果tk在區(qū)間[kt-0.5t,kt+0.5t]上不是均勻分布，則顯然，在kt點(diǎn)附近采樣點(diǎn)數(shù)很多，其他地方采樣點(diǎn)很少。如果tk在區(qū)間[kt-0.5t,kt+0.5t]上滿足均勻分布，則會(huì)發(fā)生某些相鄰采樣點(diǎn)間距很小的情況。對(duì)第一種情況，它和均勻采樣區(qū)別很小，無(wú)法利用非均勻采樣的優(yōu)點(diǎn)；對(duì)第二種情況，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中會(huì)非常困難，以致無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)椴蓸娱g距過(guò)小對(duì)ad的要求很高。顯然，這兩種情況都不是本案例所希望的?！　≡诩有苑蔷鶆虿蓸又?，當(dāng)前采樣時(shí)刻是根據(jù)前一個(gè)采樣時(shí)刻來(lái)選擇的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：　　其中，{tk}為服從同分布的一組隨機(jī)變量，其值恒為正。設(shè)tk的概率密度函數(shù)為pt(tk)其均值為u，由于tk＝t0+t1+t2+…+tk，故pk(t)=pk-1(t)*pt(t)。根據(jù)中心極限定理，對(duì)于一組相互獨(dú)立隨機(jī)變量，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)大到一定程度的時(shí)候，它們的總和服從正態(tài)分布，因此當(dāng)k→∞時(shí)，pk（t）將趨向于正態(tài)分布。當(dāng)t增加時(shí)，加性非均勻采樣點(diǎn)的概率分布p（t）將趨向于平坦，其數(shù)值大小為l/μ，如圖1所示。
　圖1 加性非均勻采樣點(diǎn)的概率分布　　由于采樣時(shí)刻的分布與均勻采樣中采樣時(shí)刻的分布不同，非均勻采樣具有一個(gè)非常重要的特點(diǎn)就是可以消除頻率混疊現(xiàn)象，下例可以形象化地闡述這個(gè)問(wèn)題?！　〖僭O(shè)給出一組采樣數(shù)據(jù)，它代表了一個(gè)正弦信號(hào)（加粗的黑色）的均勻采樣值，如圖2所示。
　圖2 混疊的產(chǎn)生　　觀察圖2，就會(huì)清楚發(fā)現(xiàn)其他的頻率的正弦信號(hào)和原始信號(hào)同一個(gè)采樣點(diǎn)處的采樣值相等（曲線交點(diǎn)處）。因此，如果 要用這組采樣值進(jìn)行重建原始信號(hào)，顯然得到的信號(hào)不是惟一的。也就是說(shuō)，用小于奈奎斯特頻率的采樣頻率進(jìn)行采樣 ，得到的采樣值是無(wú)法恢復(fù)出原始信號(hào)，這與shannon采樣定理是相一致的。這種現(xiàn)象反映到頻域上就是頻率混疊。　　頻率混疊現(xiàn)象就會(huì)引起信號(hào)的不確定，仔細(xì)看這些不同頻率的正弦波，到底哪個(gè)才是真的需要的信號(hào)昵？在沒(méi)有其他 先驗(yàn)知識(shí)的情況下，如何消除頻率混疊現(xiàn)象是信號(hào)處理理論的一個(gè)重要研究課題。均勻采樣理論中，在進(jìn)行信號(hào)采樣前 ，信號(hào)先通過(guò)一個(gè)低通濾波器以便把信號(hào)的頻譜限制在一個(gè)特定的范圍內(nèi)，然后用高于信號(hào)最高頻率兩倍的采樣頻率進(jìn) 行采樣，從而消除了頻率混疊。雖然這種解決混疊問(wèn)題的方法能夠滿足要求，但是這種方法濾掉了信號(hào)組成成分中超過(guò) 某一頻率的頻率成分，很容易造成失真，同時(shí)由于采樣頻率要高于信號(hào)最高頻率的兩倍，極大限制了數(shù)字信號(hào)處理理論 使用的范圍。如果能突破這個(gè)限制，將為數(shù)字信號(hào)處理理論開辟更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。所以擺在面前的問(wèn)題就是在較低 采樣頻率的情況下，消除頻率混疊是否可能？非均勻采樣給出了肯定的回答?！　D3直觀地說(shuō)明了非均勻采樣如何具有消除混疊的性能。
圖3 消除混疊　　圖3中對(duì)原始的低頻正弦信號(hào)進(jìn)行了重新采樣，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)保持不變，所不同的地方是采樣點(diǎn)的間隔不再是相等的了 。很容易從圖3中看出，由于采樣點(diǎn)不再是均勻的，只有原始的低頻正弦波可以通過(guò)采樣點(diǎn)，可以被擬合出來(lái)，從而也就 消除了頻率混疊?！　》蔷鶆虿蓸有盘?hào)的傅立葉變換和均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換的區(qū)別主要在于積分時(shí)間上的不同。