DFT、DTFT和DFS你搞清楚了嗎？

大家好，又到了每日學習的時間了，今天咱們來聊一聊數(shù)字信號處理中DFT、DTFT和DFS的關系，咱們通過幾幅圖來對比，探討一下哦。

很多同學學習了數(shù)字信號處理之后，被里面的幾個名詞搞的暈頭轉向，比如DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT，F(xiàn)T,FS等，F(xiàn)T和FS屬于信號與系統(tǒng)課程的內容，是對連續(xù)時間信號的處理，這里就不過多討論，只解釋一下前四者的關系。

首先說明一下，我不是數(shù)字信號處理專家，因此這里只站在學習者的角度以最淺顯易懂的性質來解釋問題，而不涉及到任何公式運算。

學過卷積，我們都知道有時域卷積定理和頻域卷積定理，在這里只需要記住兩點：1.在一個域的相乘等于另一個域的卷積;2.與脈沖函數(shù)的卷積，在每個脈沖的位置上將產(chǎn)生一個波形的鏡像。(在任何一本信號與系統(tǒng)課本里，此兩條性質有詳細公式證明)

下面，就用這兩條性質來說明DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT之間的聯(lián)系：

先看圖片：

首先來說圖(1)和圖(2)，對于一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模擬信號的頻譜，如圖(2);注意1：時域和頻域都是連續(xù)的!

但是，計算機只能處理數(shù)字信號，首先需要將原模擬信號在時域離散化，即在時域對其進行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。

所謂時域采樣，就是在時域對信號進行相乘，(1)×(3)后可以得到離散時間信號x[n]，如圖(5)所示;由前面的性質1，時域的相乘相當于頻域的卷積，那么，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據(jù)前面的性質2知，會在各個脈沖點處出現(xiàn)鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即離散時間傅立葉變換，這里強調的是“離散時間”四個字。注意2：此時時域是離散的，而頻域依然是連續(xù)的。

經(jīng)過上面兩個步驟，我們得到的信號依然不能被計算機處理，因為頻域既連續(xù)，又周期。我們自然就想到，既然時域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢?這樣不就時域與頻域都離散化了嗎?

沒錯，接下來對頻域在進行采樣，頻域采樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)?，F(xiàn)在我們進行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，那么根據(jù)性質1，這次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會呈周期性出現(xiàn)在各個脈沖點處。

我們取圖(10)周期序列的主值區(qū)間，并記為X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即離散傅立葉變換。可見，DFT只是為了計算機處理方便，在頻率域對DTFT進行的采樣并截取主值而已。

有人可能疑惑，對圖(10)進行IDFT，回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓!

沒錯，因此你去查找一個IDFT的定義式，是不是對n的取值區(qū)間進行限制了呢?這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區(qū)間，即可還原x[n]!

FFT呢?FFT的提出完全是為了快速計算DFT而已，它的本質就是DFT!我們常用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

DFS,是針對時域周期信號提出的，如果對圖(9)所示周期延拓信號進行DFS，就會得到圖(10)，只要截取其主值區(qū)間，則與DFT是完全的一一對應的精確關系。這點對照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質是一樣的，只不過描述的方法不同而已。

不知道經(jīng)過上面的解釋，您是否明白各種T的關系了呢?如果您不是算法設計者，其實只要懂得如何使用FFT分析頻譜即可，博主近期會更新一篇文章，專門介紹如何利用FFT分析簡單信號的頻譜。

其實個人認為，糾結了這么多，就是為了打破現(xiàn)實模擬世界與計算機數(shù)字世界的界限呀!

今天就聊到這里，各位，加油。