量子力學(xué)的核心：薛定諤方程 究竟神奇在哪里？

教科書上有一個典型的問題：當(dāng)你汽車的油耗盡后，你需要多大的力去推動它，才能夠?qū)⑺铀俚浇o定的速度呢？來自于牛頓運(yùn)動第二定律的答案是：F=ma，其中a是加速度，m為質(zhì)量，F(xiàn)為力的大小。這個非常直接而又精妙的定律能夠描繪各種各樣的運(yùn)動。至少在理論上它可以解答這個世界的所有物理問題。

真的么？當(dāng)人們開始從極小的尺度去思考這個世界時，比如：電子繞著原子核旋轉(zhuǎn)，他們意識到一切變得非常奇怪，牛頓定律好像不能用了。為了描寫這個微觀的世界，你需要用到二十世紀(jì)初期發(fā)展而來的量子力學(xué)。這個理論的核心是薛定諤方程，可以類比經(jīng)典力學(xué)中的牛頓第二定律。

波和粒子

“在經(jīng)典力學(xué)中，我們用位置和動量來描述一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)”，劍橋大學(xué)的理論物理學(xué)家納齊姆·布瓦塔解釋道。例如：你有一個桌子，上面放了許多可以移動的臺球，只要你知道了每一個球在某個時刻t的位置和動量（動量是質(zhì)量乘以速度），你就可以知道這個系統(tǒng)在這個時刻t的所有信息：一切物體的運(yùn)動狀態(tài)和速度。“ 我們會問：如果我們知道系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即，如果我們知道系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)，那么系統(tǒng)的狀態(tài)將會如何演化？我們可以用牛頓第二定律解決這個問題。在量子力學(xué)中，如果問同樣的問題，得到的答案卻是棘手的，因?yàn)槲恢煤蛣恿坎辉偈敲枋鲞@個系統(tǒng)的合適的變量了?！?/p>

問題的關(guān)鍵是：量子力學(xué)試圖去描述的對象及其行為并不是像小小的臺球那么簡單，有時將它想象為波更好一些。“以光作為例，牛頓除了在引力方面的工作，對光也非常感興趣?！辈纪咚f，“根據(jù)牛頓的理論，光可以被描述為粒子。但是之后，根據(jù)許多其他科學(xué)家對其進(jìn)行的研究，包括詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）提供的理論理解，我們發(fā)現(xiàn)，光用波來描述?！?/p>

但是在1905年的時候，愛因斯坦意識到，波的圖像也不完全正確。為了解釋光電效應(yīng)，你需要將光束想象為粒子流，愛因斯坦稱這種粒子為光子。光子的數(shù)目正比于光強(qiáng)，每個光子的能量正比于頻率：

其中

，它是普朗克常數(shù)，是一個非常小的常數(shù)，以馬克斯-普朗克（Max Planck）的名字命名，1900年他在黑體輻射的工作中已經(jīng)猜出了這個公式?！艾F(xiàn)在我們面臨的問題是，描述光的正確方式是有時將它看成波，有時將其看成粒子”，布瓦塔說。

愛因斯坦的結(jié)果可以聯(lián)系到科學(xué)界長久以來的努力，從十七世紀(jì)克里斯蒂安·惠更斯便開始嘗試，十九世紀(jì)威廉·哈密頓繼續(xù)進(jìn)行探索，他們都想要統(tǒng)一關(guān)于光的波動性與粒子性的物理。被光在不同情況下的特性激勵，年輕的法蘭西物理學(xué)家路易·維克多·德布羅意在這個探索的旅程中邁出了激動人心的一步：他假定不止光，物質(zhì)也有這種可稱之為波粒二象性的特性。物質(zhì)的基本組成單位，比如電子，也是在一些情況下表現(xiàn)的像粒子，一些情況下像波。

德布羅意（Louis de Broglie）, 1892-1987.

德布羅意于1920年提出的觀點(diǎn)，與其說基于實(shí)驗(yàn)的證據(jù)而進(jìn)行的猜想，不如說是受到愛因斯坦的相對論激發(fā)而產(chǎn)生的理論上的飛躍。但是不久之后科學(xué)家便發(fā)現(xiàn)了相應(yīng)實(shí)驗(yàn)證據(jù)。在十九世紀(jì)二十年代晚期，粒子被晶格散射的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電子的“類波”本質(zhì)。

證明波粒二象性的最著名的實(shí)驗(yàn)是雙縫干涉實(shí)驗(yàn)。在這個實(shí)驗(yàn)中，電子（或其他粒子如光子或中子）被射出，會在同一時刻穿越有兩個狹縫的屏幕。在這個屏幕后還有一個屏幕，可用來探測電子通過狹縫后最終到達(dá)的位置。但是，你在探測屏幕上實(shí)際看到的是干涉模式：如果假設(shè)電子是波，你才會看到這種模式。波同時穿過兩個狹縫，然后當(dāng)它向一個方向傳播時，它與自身相互干涉。然而在探測屏幕上，當(dāng)它剛到達(dá)時，電子是以粒子的狀態(tài)被注意到，這與我們所預(yù)期的相同。事實(shí)上這個看起來非常奇怪的結(jié)果，是已經(jīng)被重復(fù)無數(shù)次的實(shí)驗(yàn)事實(shí)—;所以我們必須接受這就是世界運(yùn)行的方式。

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)：由穿過狹縫的波的干涉模式

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)：當(dāng)粒子被發(fā)射出狹縫預(yù)期結(jié)果

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)：粒子（比如電子）穿過狹縫時實(shí)際上會發(fā)生什么：你會得到類似波的干涉模式，但是電子是作為粒子到達(dá)的。

薛定諤方程

由德布羅意提出的新圖像需要新的物理。與一個粒子有關(guān)的波到底有怎樣的數(shù)學(xué)形式呢？愛因斯坦已經(jīng)將光子的能量E與光波的頻率f聯(lián)系了起來，通過公式　

我們知道頻率與波長有關(guān)。這里c 是光速。采用相對論的結(jié)果，我們可以將光子的能量與動量聯(lián)系起來。綜合上述結(jié)論可給出在光子的波長 λ與動量 p之間的關(guān)系式：　

其中h為普朗克常數(shù)。

基于此，德布羅意假設(shè)波長與動量之間的關(guān)系式應(yīng)該對于任何粒子都成立。此時，最好先放棄你的直覺，不去想表現(xiàn)的像波的粒子究竟意味著什么，而是僅跟著數(shù)學(xué)的邏輯走下去。

在經(jīng)典力學(xué)中，波（比如聲波和水波）隨時間的演化，可用波動方程來描述：其是一個微分方程，解為波函數(shù)，可以給出在任意時刻服從恰當(dāng)邊界條件的波的形狀。

舉例來說，假設(shè)波沿在x方向延伸的弦傳播，在xy平面內(nèi)振動。為了完全描述這個波，你需要知道在每個點(diǎn)x每個時刻t弦在y方向的位移。利用牛頓第二運(yùn)動定律可知遵循如下波動方程：

v為波速。

上圖為在xy平面內(nèi)弦振動的照片，這里的波可被余弦函數(shù)所描述。

上述方程的一般解相當(dāng)復(fù)雜，反映出弦可以根據(jù)各種方式進(jìn)行擺動的事實(shí)。并且你需要更多的信息（初始條件和邊界條件）來搞清楚到底是哪種運(yùn)動。但是，作為一個例子，

函數(shù)描述了沿正x方向以角頻率ω傳播的波，則正如你所預(yù)期的，它是波動方程一個可能的解。

薛定諤方程以薛定諤的名字來命名，1887-1961.

類似，應(yīng)當(dāng)有一個波動方程，來統(tǒng)御神秘的物質(zhì)波隨時間的演化。它的解應(yīng)該是波函數(shù)（不要把它想成實(shí)際的波），它會告訴你量子系統(tǒng)（比如：在箱子中運(yùn)動的單個粒子）在時刻的所有信息。奧地利物理學(xué)家歐文·薛定諤（Erwin Schr?dinger）在1926年想出了這個方程的。對于在三維空間中運(yùn)動的單個粒子，方程可被寫為如下形式：

其中為粒子的勢能，勢能是x, y, z ,t 的函數(shù)， m為粒子質(zhì)量，h為普朗克常數(shù)。方程的解是波函數(shù)ψ（x,y,z,t）。

在一些情況下，勢能不依賴時間t。在這種情況下，我們經(jīng)常通過考慮更簡單的時間獨(dú)立的薛定諤方程來求解這個問題，在這個方程中，ψ（x,y,z）僅依賴空間，有使得以下關(guān)系成立：

E其中為粒子總能量。則整個方程的解為：

這些方程可應(yīng)用于在三維空間運(yùn)動的單粒子，對于有任意粒子的系統(tǒng)，也有相應(yīng)的方程來描述。如果不把波函數(shù)寫成位置和時間的函數(shù)，人們也可以將它們化為動量和時間的函數(shù)。

進(jìn)入不確定性

我們可以從一個簡單的例子（比如在無限深勢阱中運(yùn)動的單個粒子）出發(fā)來求解薛定諤方程，它的解與描述一個波的數(shù)學(xué)方程非常相似。

這個解到底意味著什么？它并不會給出粒子在給定時刻的精確位置，也不會給出一個粒子隨時間變化的軌跡。更確切的說，它在給定時間的所有可能位置（x,y,z）可以給出你一個值ψ（x,y,z,t）。這個值意味著什么？在1926年時，物理學(xué)家波恩（Max Born）提出了統(tǒng)計(jì)詮釋。他假設(shè)，波函數(shù)絕對值的平方

會給出在時刻t位置找到粒子的概率密度。換句話說，粒子在時間t出現(xiàn)在區(qū)域的概率由如下積分給出：

這個概率圖像與德布羅意關(guān)于粒子波長和動量關(guān)系公式有令人吃驚的聯(lián)系。海森堡在1927年發(fā)現(xiàn)，如果要測量一個運(yùn)動粒子的位置和動量，人們有一個基本的精度限制。在某一方面如果想要測量的精度越高，其他方面人們能說的就越少。這并不是指測量儀器的質(zhì)量問題，而是自然界根本就具有的不確定性。這個結(jié)果現(xiàn)在稱為海森堡的不確定性原理，且是常常用來引述量子力學(xué)奇怪現(xiàn)象的幾個結(jié)果之一。它意味著在量子力學(xué)里我們談?wù)摬涣肆Ｗ拥奈恢没蜍壍馈?/p>

海森堡（Werner Heisenberg）, 1901-1976.

“如果我們相信不確定性圖像，由于我們對于像‘電子在時刻在哪里’這樣的問題沒有明確的答案，換句話說，所有量子狀態(tài)的數(shù)學(xué)表示和狀態(tài)都只能給我們概率的結(jié)果”，布瓦塔說?！暗虏剂_意、薛定諤和愛因斯坦嘗試提供一個真實(shí)的詮釋，比如：在真空中傳播的光波。但是，還有一些物理學(xué)家，泡利、海森堡和玻爾反對給出現(xiàn)實(shí)的圖像。對于他們而言，波函數(shù)僅僅是計(jì)算概率的一個工具?！?/p>

它真的適用么？

為什么我們要相信這個異想天開的想法呢？在這篇文章中我們已經(jīng)展示了薛定諤方程，好像它是從空中生拉硬拽出來的，但是它實(shí)際來自于哪里呢？著名的物理學(xué)家理查德.費(fèi)曼認(rèn)為這是個無意義的問題：“我們從哪里得到這個方程？它不能由你所知道的任何知識來推導(dǎo)出來。它來自于薛定諤的大腦?！?/p>

然而，這個方程已經(jīng)經(jīng)受住了迄今為止的每一個實(shí)驗(yàn)的考驗(yàn)?！斑@是量子力學(xué)中最基本的方程”，布瓦塔說，“這是我們想要描述的所有量子力學(xué)系統(tǒng)（如：電子、質(zhì)子、中子等系統(tǒng)）的出發(fā)點(diǎn)?！边@個方程早期成功地描述了氫原子的離散能譜，促成了量子力學(xué)的建立，這也是薛定諤的動因之一。根據(jù)歐內(nèi)斯特·盧瑟福的原子模型，像氫原子這樣的原子所發(fā)出的光的頻率應(yīng)該是連續(xù)的。然而實(shí)驗(yàn)表明：它并沒有連續(xù)變化，氫原子只放出特定頻率的光，當(dāng)頻率改變時有跳躍。這個發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)的哲學(xué)智慧背道而馳，傳統(tǒng)的哲學(xué)思想是支持由十七世紀(jì)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨所說的格言的：“大自然不會跳躍（nature does not make jumps）”。

在1913年尼爾斯·玻爾提出了一個新的原子模型，在這個模型中，電子被限制到了特定的能級。薛定諤將它的方程應(yīng)用于氫原子，發(fā)現(xiàn)他的解精確重復(fù)了由玻爾設(shè)定的能級?！斑@是一個激動人心的結(jié)果，也是薛定諤方程最初的主要成就之一”，布瓦塔說。

由于無數(shù)成功實(shí)驗(yàn)的支持，薛定諤方程在量子力學(xué)中已成為牛頓第二定律的類似物和替代品。

原文來源：https://plus.maths.org/content/schrodinger-1