教科書上有一個典型的問題:當你汽車的油耗盡后,你需要多大的力去推動它,才能夠?qū)⑺铀俚浇o定的速度呢?來自于牛頓運動第二定律的答案是:F=ma,其中a是加速度,m為質(zhì)量,F(xiàn)為力的大小。這個非常直接而又精妙的定律能夠描繪各種各樣的運動。至少在理論上它可以解答這個世界的所有物理問題。
真的么?當人們開始從極小的尺度去思考這個世界時,比如:電子繞著原子核旋轉(zhuǎn),他們意識到一切變得非常奇怪,牛頓定律好像不能用了。為了描寫這個微觀的世界,你需要用到二十世紀初期發(fā)展而來的量子力學。這個理論的核心是薛定諤方程,可以類比經(jīng)典力學中的牛頓第二定律。
波和粒子
“在經(jīng)典力學中,我們用位置和動量來描述一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)”,劍橋大學的理論物理學家納齊姆·布瓦塔解釋道。例如:你有一個桌子,上面放了許多可以移動的臺球,只要你知道了每一個球在某個時刻t的位置和動量(動量是質(zhì)量乘以速度),你就可以知道這個系統(tǒng)在這個時刻t的所有信息:一切物體的運動狀態(tài)和速度?!?我們會問:如果我們知道系統(tǒng)的初始狀態(tài),即,如果我們知道系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài),那么系統(tǒng)的狀態(tài)將會如何演化?我們可以用牛頓第二定律解決這個問題。在量子力學中,如果問同樣的問題,得到的答案卻是棘手的,因為位置和動量不再是描述這個系統(tǒng)的合適的變量了。”
問題的關(guān)鍵是:量子力學試圖去描述的對象及其行為并不是像小小的臺球那么簡單,有時將它想象為波更好一些。“以光作為例,牛頓除了在引力方面的工作,對光也非常感興趣?!辈纪咚f,“根據(jù)牛頓的理論,光可以被描述為粒子。但是之后,根據(jù)許多其他科學家對其進行的研究,包括詹姆斯·克拉克·麥克斯韋(James Clerk Maxwell)提供的理論理解,我們發(fā)現(xiàn),光用波來描述?!?/p>
但是在1905年的時候,愛因斯坦意識到,波的圖像也不完全正確。為了解釋光電效應(yīng),你需要將光束想象為粒子流,愛因斯坦稱這種粒子為光子。光子的數(shù)目正比于光強,每個光子的能量正比于頻率:
其中
,它是普朗克常數(shù),是一個非常小的常數(shù),以馬克斯-普朗克(Max Planck)的名字命名,1900年他在黑體輻射的工作中已經(jīng)猜出了這個公式?!艾F(xiàn)在我們面臨的問題是,描述光的正確方式是有時將它看成波,有時將其看成粒子”,布瓦塔說。
愛因斯坦的結(jié)果可以聯(lián)系到科學界長久以來的努力,從十七世紀克里斯蒂安·惠更斯便開始嘗試,十九世紀威廉·哈密頓繼續(xù)進行探索,他們都想要統(tǒng)一關(guān)于光的波動性與粒子性的物理。被光在不同情況下的特性激勵,年輕的法蘭西物理學家路易·維克多·德布羅意在這個探索的旅程中邁出了激動人心的一步:他假定不止光,物質(zhì)也有這種可稱之為波粒二象性的特性。物質(zhì)的基本組成單位,比如電子,也是在一些情況下表現(xiàn)的像粒子,一些情況下像波。
德布羅意(Louis de Broglie), 1892-1987.
德布羅意于1920年提出的觀點,與其說基于實驗的證據(jù)而進行的猜想,不如說是受到愛因斯坦的相對論激發(fā)而產(chǎn)生的理論上的飛躍。但是不久之后科學家便發(fā)現(xiàn)了相應(yīng)實驗證據(jù)。在十九世紀二十年代晚期,粒子被晶格散射的實驗證實了電子的“類波”本質(zhì)。
證明波粒二象性的最著名的實驗是雙縫干涉實驗。在這個實驗中,電子(或其他粒子如光子或中子)被射出,會在同一時刻穿越有兩個狹縫的屏幕。在這個屏幕后還有一個屏幕,可用來探測電子通過狹縫后最終到達的位置。但是,你在探測屏幕上實際看到的是干涉模式:如果假設(shè)電子是波,你才會看到這種模式。波同時穿過兩個狹縫,然后當它向一個方向傳播時,它與自身相互干涉。然而在探測屏幕上,當它剛到達時,電子是以粒子的狀態(tài)被注意到,這與我們所預(yù)期的相同。事實上這個看起來非常奇怪的結(jié)果,是已經(jīng)被重復(fù)無數(shù)次的實驗事實—;所以我們必須接受這就是世界運行的方式。
雙縫干涉實驗:由穿過狹縫的波的干涉模式
雙縫干涉實驗:當粒子被發(fā)射出狹縫預(yù)期結(jié)果
雙縫干涉實驗:粒子(比如電子)穿過狹縫時實際上會發(fā)生什么:你會得到類似波的干涉模式,但是電子是作為粒子到達的。
薛定諤方程
由德布羅意提出的新圖像需要新的物理。與一個粒子有關(guān)的波到底有怎樣的數(shù)學形式呢?愛因斯坦已經(jīng)將光子的能量E與光波的頻率f聯(lián)系了起來,通過公式
我們知道頻率與波長有關(guān)。這里c 是光速。采用相對論的結(jié)果,我們可以將光子的能量與動量聯(lián)系起來。綜合上述結(jié)論可給出在光子的波長 λ與動量 p之間的關(guān)系式:
其中h為普朗克常數(shù)。
基于此,德布羅意假設(shè)波長與動量之間的關(guān)系式應(yīng)該對于任何粒子都成立。此時,最好先放棄你的直覺,不去想表現(xiàn)的像波的粒子究竟意味著什么,而是僅跟著數(shù)學的邏輯走下去。
在經(jīng)典力學中,波(比如聲波和水波)隨時間的演化,可用波動方程來描述:其是一個微分方程,解為波函數(shù),可以給出在任意時刻服從恰當邊界條件的波的形狀。
舉例來說,假設(shè)波沿在x方向延伸的弦傳播,在xy平面內(nèi)振動。為了完全描述這個波,你需要知道在每個點x每個時刻t弦在y方向的位移。利用牛頓第二運動定律可知遵循如下波動方程:
v為波速。
上圖為在xy平面內(nèi)弦振動的照片,這里的波可被余弦函數(shù)所描述。
上述方程的一般解相當復(fù)雜,反映出弦可以根據(jù)各種方式進行擺動的事實。并且你需要更多的信息(初始條件和邊界條件)來搞清楚到底是哪種運動。但是,作為一個例子,
函數(shù)描述了沿正x方向以角頻率ω傳播的波,則正如你所預(yù)期的,它是波動方程一個可能的解。
薛定諤方程以薛定諤的名字來命名,1887-1961.
類似,應(yīng)當有一個波動方程,來統(tǒng)御神秘的物質(zhì)波隨時間的演化。它的解應(yīng)該是波函數(shù)(不要把它想成實際的波),它會告訴你量子系統(tǒng)(比如:在箱子中運動的單個粒子)在時刻的所有信息。奧地利物理學家歐文·薛定諤(Erwin Schr?dinger)在1926年想出了這個方程的。對于在三維空間中運動的單個粒子,方程可被寫為如下形式:
其中為粒子的勢能,勢能是x, y, z ,t 的函數(shù), m為粒子質(zhì)量,h為普朗克常數(shù)。方程的解是波函數(shù)ψ(x,y,z,t)。
在一些情況下,勢能不依賴時間t。在這種情況下,我們經(jīng)常通過考慮更簡單的時間獨立的薛定諤方程來求解這個問題,在這個方程中,ψ(x,y,z)僅依賴空間,有使得以下關(guān)系成立:
E其中為粒子總能量。則整個方程的解為:
這些方程可應(yīng)用于在三維空間運動的單粒子,對于有任意粒子的系統(tǒng),也有相應(yīng)的方程來描述。如果不把波函數(shù)寫成位置和時間的函數(shù),人們也可以將它們化為動量和時間的函數(shù)。
進入不確定性
我們可以從一個簡單的例子(比如在無限深勢阱中運動的單個粒子)出發(fā)來求解薛定諤方程,它的解與描述一個波的數(shù)學方程非常相似。
這個解到底意味著什么?它并不會給出粒子在給定時刻的精確位置,也不會給出一個粒子隨時間變化的軌跡。更確切的說,它在給定時間的所有可能位置(x,y,z)可以給出你一個值ψ(x,y,z,t)。這個值意味著什么?在1926年時,物理學家波恩(Max Born)提出了統(tǒng)計詮釋。他假設(shè),波函數(shù)絕對值的平方
會給出在時刻t位置找到粒子的概率密度。換句話說,粒子在時間t出現(xiàn)在區(qū)域的概率由如下積分給出:
這個概率圖像與德布羅意關(guān)于粒子波長和動量關(guān)系公式有令人吃驚的聯(lián)系。海森堡在1927年發(fā)現(xiàn),如果要測量一個運動粒子的位置和動量,人們有一個基本的精度限制。在某一方面如果想要測量的精度越高,其他方面人們能說的就越少。這并不是指測量儀器的質(zhì)量問題,而是自然界根本就具有的不確定性。這個結(jié)果現(xiàn)在稱為海森堡的不確定性原理,且是常常用來引述量子力學奇怪現(xiàn)象的幾個結(jié)果之一。它意味著在量子力學里我們談?wù)摬涣肆W拥奈恢没蜍壍馈?/p>
海森堡(Werner Heisenberg), 1901-1976.
“如果我們相信不確定性圖像,由于我們對于像‘電子在時刻在哪里’這樣的問題沒有明確的答案,換句話說,所有量子狀態(tài)的數(shù)學表示和狀態(tài)都只能給我們概率的結(jié)果”,布瓦塔說?!暗虏剂_意、薛定諤和愛因斯坦嘗試提供一個真實的詮釋,比如:在真空中傳播的光波。但是,還有一些物理學家,泡利、海森堡和玻爾反對給出現(xiàn)實的圖像。對于他們而言,波函數(shù)僅僅是計算概率的一個工具?!?/p>
它真的適用么?
為什么我們要相信這個異想天開的想法呢?在這篇文章中我們已經(jīng)展示了薛定諤方程,好像它是從空中生拉硬拽出來的,但是它實際來自于哪里呢?著名的物理學家理查德.費曼認為這是個無意義的問題:“我們從哪里得到這個方程?它不能由你所知道的任何知識來推導出來。它來自于薛定諤的大腦?!?/p>
然而,這個方程已經(jīng)經(jīng)受住了迄今為止的每一個實驗的考驗?!斑@是量子力學中最基本的方程”,布瓦塔說,“這是我們想要描述的所有量子力學系統(tǒng)(如:電子、質(zhì)子、中子等系統(tǒng))的出發(fā)點?!边@個方程早期成功地描述了氫原子的離散能譜,促成了量子力學的建立,這也是薛定諤的動因之一。根據(jù)歐內(nèi)斯特·盧瑟福的原子模型,像氫原子這樣的原子所發(fā)出的光的頻率應(yīng)該是連續(xù)的。然而實驗表明:它并沒有連續(xù)變化,氫原子只放出特定頻率的光,當頻率改變時有跳躍。這個發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)的哲學智慧背道而馳,傳統(tǒng)的哲學思想是支持由十七世紀的哲學家和數(shù)學家戈特弗里德·萊布尼茨所說的格言的:“大自然不會跳躍(nature does not make jumps)”。
在1913年尼爾斯·玻爾提出了一個新的原子模型,在這個模型中,電子被限制到了特定的能級。薛定諤將它的方程應(yīng)用于氫原子,發(fā)現(xiàn)他的解精確重復(fù)了由玻爾設(shè)定的能級?!斑@是一個激動人心的結(jié)果,也是薛定諤方程最初的主要成就之一”,布瓦塔說。
由于無數(shù)成功實驗的支持,薛定諤方程在量子力學中已成為牛頓第二定律的類似物和替代品。
原文來源:https://plus.maths.org/content/schrodinger-1