Sallen-Key低通濾波器設(shè)計(jì)
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簡 介: 本文討論了 Sallen-Key 低通濾波器的設(shè)計(jì)。為了便于具體電路參數(shù)選擇,采用了比率 設(shè)計(jì)方案進(jìn)行討論,大大提高了電路參數(shù)的實(shí)現(xiàn)可能性。
關(guān)鍵詞:
Sallen Key,低通濾波器,比率
01 Sallen-Key濾波器
一、背景介紹
近期由于需要測試所搭建的高阻抗信號(hào)源放大電路,其中包括有低通濾波器,所以研究了 Sallen-Key topology[1] 相關(guān)濾波電路電路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 給出的 Sallen-Key Low-Pass Filter[2] 設(shè)想步驟;2002年 TI 給出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture[3] 應(yīng)用報(bào)告,給出了不同 Kallen-Key 電路理論分析。
Sallen-Key 電子濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),由于其結(jié)構(gòu)簡單,被用于二階有源濾波器電路設(shè)計(jì),它是 VCVS(電壓控制-電壓輸出)濾波器簡化版本。VCVS 濾波器使用輸入阻抗高、輸出阻抗低的電壓放大器來實(shí)現(xiàn) 2 個(gè)極點(diǎn)的低通、高通、帶通濾波器。在不使用電感的情況下,可以獲得高 Q 值,通帶增益可調(diào)。多個(gè) VCVS 濾波器可以直接級(jí)聯(lián)形成高階濾波器。Sallen-Key 濾波器則使用單位電壓增益的放大器(俗稱電壓跟隨器)設(shè)計(jì)的有源濾波器電路。
在1955年 R.P.Sallen,與 E.L.Key 利用了真空電子管陰極跟隨放大器-具有近似單位電壓增益電路設(shè)計(jì)濾波器?,F(xiàn)代電子線路中則是普通的運(yùn)算放大器進(jìn)行設(shè)計(jì),簡單情況下,使用晶體管發(fā)射極跟隨或者源極跟隨器進(jìn)行設(shè)計(jì)。
二、電路分析
雖然 Sallen-Key 電路結(jié)構(gòu)可以形成不同特性的濾波器,由于后面實(shí)驗(yàn)需要,后面僅僅對(duì)低通濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行討論。下圖是單位增益低通濾波器,可以實(shí)現(xiàn) s 平面上任意極點(diǎn)(實(shí)數(shù),或者復(fù)數(shù))位置配置。通常情況下,四個(gè)器件(R1,R2,C1,C2)取值各不相同。
▲ 圖1.2.1 Sallen-Key 單位增益低通濾波器電路
為了簡化分析,考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節(jié)點(diǎn)電流定理,流過 R1 的電流等于流過 R2,C1的電流之和。方便起見,將 R1,R2,C1 連接節(jié)點(diǎn)電壓臨時(shí)設(shè)為 Vx。利用工作在放大區(qū)域的運(yùn)放“虛短”特性,可以知道運(yùn)放兩個(gè)輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程:
兩邊乘以 R1,R2消除分母,可得:
在根據(jù) Vx,Vo之間的關(guān)系是 R2,C2 的分壓關(guān)系,可以知道:
這樣可以得到:
將 (4)代入(1)經(jīng)過化簡可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數(shù)
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式:
可以得到系統(tǒng)的自然諧振頻率 和阻尼系數(shù) :
三、電路設(shè)計(jì)
電路設(shè)計(jì)是電路分析的逆過程,根據(jù)已知的兩個(gè)指標(biāo)(自然諧振頻率和阻尼系數(shù))設(shè)計(jì)相應(yīng)的電路參數(shù)。由于未知參數(shù)是四個(gè),所以理論上滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的濾波器參數(shù)有無窮多個(gè)。在實(shí)際電路中并不是所有的電路參數(shù)都能夠很好的工作(比如電阻,電容的取值不能夠太大,或者太小等),因此我們系是要確定實(shí)際可以使用的電路參數(shù)。
1、設(shè)計(jì)中的問題
通常情況下,為了減少待定參數(shù)的個(gè)數(shù),我們先選擇任意合適的電阻 ,然后確定電容 C1,C2 的取值。這個(gè)方法看起來不錯(cuò),但實(shí)際上執(zhí)行起來往往計(jì)算出來的電容取值不是標(biāo)準(zhǔn)電容系列,這就需要通過串聯(lián)和并聯(lián)的方式來獲得合適的電容。為了避免上述問題,往往先選擇兩個(gè)電容的取值 ,在通過公式計(jì)算兩個(gè)電阻 。由于電阻系列往往具有較細(xì)的分級(jí),所以計(jì)算出的電阻可以比較好得到滿足。
問題又來了,邏輯上 C1,C2 取相同的容值可以簡化電路設(shè)計(jì),通過公式(7)可以看到電路的阻尼系數(shù) 將會(huì)永遠(yuǎn)大于 1.0,在一些要求阻尼系數(shù)小于 1.0 時(shí)這個(gè)隱藏的缺陷可能凸顯出來。因此需要通過完整的數(shù)學(xué)而不是直覺徹底避免這個(gè)缺陷。
在工程數(shù)學(xué)中有一句俗語:“比例是你的朋友”(Ratios are your friend)。求解比例值,若不是形成比例值的具體參數(shù)可以減少未知變量的個(gè)數(shù),從而簡化設(shè)計(jì)過程。下面給出的設(shè)計(jì)就是求解兩個(gè)比例 C1/C2,R1/R2。雖然數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程看似繁瑣到令人發(fā)指,但結(jié)果卻非常簡單。
2、公式推導(dǎo)
根據(jù)公式(7),為了方便起見,先對(duì)阻尼系數(shù)等式兩邊平方:
將上述公式展開,并整理成比例形式
重新成立成關(guān)于比值 R2/R1 的二次方程:
最后求解化簡可得:
費(fèi)盡萬難得到公式(11),可以看出,當(dāng)要求濾波器阻尼系數(shù)小于 1.0 時(shí), 對(duì)應(yīng)的電阻比值 R2/R1 就會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)情況,這當(dāng)然在實(shí)現(xiàn)過程中出現(xiàn)困難。
3、電路設(shè)計(jì)過程
□ 步驟1:
在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters[4] 給出了有源濾波器設(shè)計(jì)中電阻、電容選擇標(biāo)準(zhǔn)系列。首先可以根據(jù)下面公式計(jì)算出 C1,C2 的幾何平均值:
其中 Fn 是濾波器的自然頻率,單位 Hz ( ),公式計(jì)算出的電容單位是法拉。當(dāng)濾波器阻尼系數(shù) 要求小于 1 時(shí), C1 可以選擇比幾何平均值大,C2 選擇較小的值。反之,當(dāng)阻尼系數(shù)大于 1 時(shí), C1,C2 的大小關(guān)系反過來。
□ 步驟2:
首先計(jì)算出 ,然后根據(jù)電容標(biāo)準(zhǔn)系列選擇合適的 C1 數(shù)值。建議選擇較小的標(biāo)準(zhǔn)電容值,這樣在后面計(jì)算 C2 和電阻值時(shí)比較容易得到實(shí)際可用的數(shù)值。選擇 C1 的數(shù)值可以在 三倍計(jì)算數(shù)值范圍內(nèi)選擇。
□ 步驟3:
根據(jù)選擇的 C1 數(shù)值,計(jì)算出 容值上限,然后在六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)選擇可以使用的電容數(shù)值。需要注意,如果選擇 C2 過小,可能會(huì)導(dǎo)致 R1,R2 數(shù)值過大。
□ 步驟4:
至此,兩個(gè)電容數(shù)值 C1,C2 都已經(jīng)確定下來,并且是可以使用的實(shí)際電容。然后利用公式(11)計(jì)算出 R1,R2 的比值。然后在根據(jù)公式(7)的前半部分,計(jì)算出R1,R2的乘積:
□ 步驟5:
至此,可以根據(jù) 兩個(gè)數(shù)值分別計(jì)算出 各自的取值。
首先計(jì)算出 R1:
根據(jù)上面計(jì)算數(shù)值,選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值;然后再計(jì)算出 R2 的數(shù)值,選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值。
□ 步驟6:
當(dāng)設(shè)計(jì)完成之后,代入公式核算濾波器的參數(shù)(自然頻率和阻尼系數(shù))是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理,避免過小的電容,過大的電阻,這樣都可能會(huì)因?yàn)檫\(yùn)放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產(chǎn)生較大的偏差。
四、設(shè)計(jì)舉例
下面設(shè)計(jì)一個(gè) Sallen-Key 低通濾波器,選擇自然頻率為 1kHz, 濾波器的品質(zhì)因素 Q=2。下面給出具體的求解過程。
根據(jù) ,可以得到 。
-
計(jì)算兩個(gè)電容的幾何平均數(shù), ;
-
計(jì)算C1: ,選擇 ;
-
計(jì)算C2的上限: ,選擇 ;
-
,根據(jù)(11)計(jì)算出 ;
-
根據(jù)公式(13)計(jì)算出 $R_1 R_2 = 1.13 \times 108 \Omega 2$ ;
-
計(jì)算出 ,選擇 R1=6.2k;
-
計(jì)算出 ,選擇 R2=18k。
根據(jù)公式(7)校驗(yàn)濾波器參數(shù) , 。
五、增益變化
當(dāng)運(yùn)放的增益不再是標(biāo)準(zhǔn)的單位增益,會(huì)對(duì)濾波器產(chǎn)生什么變化嗎?比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。
▲ 圖1.5.1 通帶增益大于1的Sallen-Key低通濾波器
根據(jù)同樣的分析,可以得到濾波器的傳遞函數(shù)為:
相應(yīng)的濾波器參數(shù)為:
可以看到隨著運(yùn)放增益提高, 濾波器的自然頻率增加,阻尼系數(shù)降低。如果將電容 C2 的數(shù)值