一文講透如何對舵機建模仿真

▲ 舵機的傳遞函數(shù)如何建立

的確，宅在家里手里沒有實際的智能車模，也無法實際調(diào)試。利用所學(xué)習(xí)的理論知識來對智能車建模仿真也不失為一種鍛煉的方法，這更能夠?qū)⒄n內(nèi)課外結(jié)合起來。

在仿真智能車控制中，有很多環(huán)節(jié)需要建模，其中的舵機環(huán)節(jié)是影響車模運行性能的重要環(huán)節(jié)。你提到如何對舵機進行建模的問題非常重要，回答這個問題需要從以下這幾個方面來討論。

什么是傳遞函數(shù)?

在分析和設(shè)計任何系統(tǒng)的時候，最重要的一個環(huán)節(jié)就是對系統(tǒng)進行建模。有很多數(shù)學(xué)模型可以用于控制系統(tǒng)的描述。比如：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程等。

▲ 線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出信號

傳遞函數(shù)是用來刻畫線 性時不變(LTI：Linear Time Invariant)系統(tǒng)零狀態(tài)下輸入輸出信號之間的關(guān)系。針對控制問題來說，系統(tǒng)函數(shù)可以定義為系統(tǒng)輸出信號的拉普拉斯變換與輸入信號拉普拉斯變換的比值。

下面微分方程描述了線性時不變系統(tǒng)輸入輸出時域關(guān)系：

如果系統(tǒng)是零狀態(tài)，那么對方程兩邊做Laplace變換，可得：

系統(tǒng)函數(shù)定義為：

講到這兒，只是定義了什么是可以用于控制研究的傳導(dǎo)函數(shù)。在具體建立舵機的系統(tǒng)函數(shù)之前，需要判斷一下舵機是否滿足建立傳遞函數(shù)的條件： 線性時不變特性。

▲ 舵機輸出與控制之間之間的關(guān)系 舵機是線性時不變系統(tǒng)嗎?

線性時不變特性是描述了系統(tǒng)的輸入輸出之間的兩個特性，線性性和時不變特性。

時不變特性描述了系統(tǒng)的由系統(tǒng)輸入信號 所引起的系統(tǒng)輸出 ，是否隨著輸入信號的時間變化 而產(chǎn)生相同的時間變化 。舵機的輸入輸出之間的關(guān)系基本上滿足時不變特性。

線性特性是指系統(tǒng)輸入輸出之間滿足齊次性和疊加性，如果限定系統(tǒng)是實數(shù)系統(tǒng)，那么滿足疊加性也就滿足齊次性了。

下圖顯示了舵機在給定的指令 之后，實際測量輸出角度 變化的情況?；旧鲜前凑找粋€恒定的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動到指定角度便停止了。

▲ 舵機的單位階躍相應(yīng)

那么，如果將指令 放大兩倍,變成 ，舵機大約經(jīng)過兩倍的時間，到達兩倍的角度，角度信號為 。如果僅僅是從最終輸出角度數(shù)值 來看，它與輸入信號 之間是線性(比例)關(guān)系。但從動態(tài)過程 來看，輸出信號并不是放大兩倍：

所以，舵機不是一個線性系統(tǒng)。

▲ 舵機輸出信號示意圖

由于實際舵機不滿足線性時不變特性，所以本質(zhì)上講，它無法使用傳遞函數(shù)了描述。

實際系統(tǒng)的線性近似

的確，很多實際系統(tǒng)不滿足線性時不變特性。這就使得應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)進行描述遇到困難。在一定條件下，可以將系統(tǒng)進行線性近似。

比如，只研究系統(tǒng)輸入輸出之間變化量的關(guān)系，可以引入 增量線性系統(tǒng)的概念。如果系統(tǒng)是分段線性的，可以在每一階段內(nèi)建立對應(yīng)的傳遞函數(shù)。

▲ 分段線性化

如果系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系足夠平滑，而系統(tǒng)運行時變化范圍小，這樣可以使用局部線性化來近似該系統(tǒng)。

▲ 小型號線性化

那么對于舵機來講，它是否滿足上面的線性近似呢?很遺憾，至少對控制車模轉(zhuǎn)向的小型舵機來講，在它的工作范圍內(nèi)很難獲得比較好用的線性化后的模型了，主要的原因是舵機工作在大的動態(tài)范圍內(nèi)。

▲ 舵機控制前輪轉(zhuǎn)向 為什么舵機不是線性的?

舵機內(nèi)部包括有小型直流電機、減速齒輪、驅(qū)動電路以及位置傳感器等，是一個機電一體化的位置閉環(huán)負反饋系統(tǒng)。其中的小型電機、位置傳感器以及直流電機都可以近似看成線性系統(tǒng)，非線性主要來自于驅(qū)動電路。

由于受到工作電壓以及功率的限制，驅(qū)動電路輸出具有飽和特性。這樣就決定了電機轉(zhuǎn)速被限制在一定的范圍之內(nèi)。當(dāng)電路輸出進行飽和之后，電機的轉(zhuǎn)速就是恒定值，驅(qū)動輸出角度按照恒定角速度轉(zhuǎn)動，從而與輸入信號之間就不再保持線性關(guān)系了。

▲ 舵機內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意圖

所以，你可能看到網(wǎng)絡(luò)上很多對舵機進行建模分析的，大部分都是針對于大型的伺服舵機，它的輸出能力大于實際負載，或者說特別關(guān)注于小范圍的動態(tài)過程，此時可以使用傳遞函數(shù)建立相對精確的模型。

如何近似建立舵機數(shù)學(xué)模型?

根據(jù)上面分析，如何來對舵機建立可以用于仿真的數(shù)學(xué)模型呢?

1. 修改舵級的驅(qū)動

前面分析了小型舵機的非線性主要來自于內(nèi)部驅(qū)動電路板輸出飽和造成的，因此如果更換外部強勁的驅(qū)動電路，就可以減少這方面的限制了。

在推文 五線接口舵機[1] 中給出了是所有A4950作為舵機功率驅(qū)動的設(shè)計方法，在一定程度上可以擴大舵機工作的線性范圍。

由于舵機的特性關(guān)系到車模運行的速度，所以在比賽規(guī)則中除了特殊的組別(節(jié)能組、大型L型車模)之外，是不允許修改舵機內(nèi)部電路的。

2. 使用純延時環(huán)節(jié)替代舵機

由于舵機基本上工作在飽和恒速狀態(tài)，在實際建模分析的時候，可以將它的傳遞函數(shù)近似以下的方式：

(1)比例環(huán)節(jié)：就是輸入輸出之間就是一個比例放大環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為： 。

(2)純延時環(huán)節(jié)：根據(jù)舵機的工作參數(shù)，將舵機近似成一個純延時環(huán)節(jié)： 。其中 可以根據(jù)舵機參數(shù)來確定。 (3)一階慣性關(guān)節(jié)：

下面是使用純延遲環(huán)節(jié)仿真車模在轉(zhuǎn)彎時的運行情況：

▲ 車模實際運行情況

▲ 使用純延時環(huán)節(jié)仿真車模轉(zhuǎn)向控制 3. 建立舵機的非線性模型

不再使用傳遞函數(shù)來描述舵機的輸入輸出關(guān)系，而是直接建立它的輸入輸出之間的非線性動態(tài)關(guān)系。這一點可以通過普通的狀態(tài)機、查表方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立，或者通過測量舵機的輸入輸出關(guān)系來進行數(shù)值描述等。

4. 硬件在環(huán)

如論數(shù)學(xué)描述多么精確，實際上都很難對舵機在實際上工作狀態(tài)下完整的描述。因此，將來在做仿真的時候，也可以建立起硬件在環(huán)的仿真機制。將整個的仿真環(huán)節(jié)回歸到時間域來進行。舵機模型則利用它的非線性時間模型來給出動態(tài)特性。

▲ 硬件在環(huán)仿真示意圖 小結(jié)

對于智能車仿真來講，建議你可以使用簡單的比例、純延時、一階慣性環(huán)節(jié)來對車模上的舵機進行建模。雖然這只是近似，但在給出車?？刂苹緟?shù)之后，在實際的車模運行中再進行參數(shù)調(diào)整。