設(shè)計(jì)開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器中電容陣列的數(shù)學(xué)方法

在便攜音樂播放器和筆記本/桌面計(jì)算機(jī)等消費(fèi)電子設(shè)備中，通常會包含ASIC、處理器、存儲器和LED背光等器件。作為系統(tǒng)負(fù)載，這些器件需在合適的電壓下才能正常工作，所以人們通常使用能改變電壓的轉(zhuǎn)換器為這些器件供電。電壓轉(zhuǎn)換器通常使用開關(guān)拓?fù)洌?strong>電容器則在負(fù)載電流發(fā)生躍變時或在負(fù)載時變的情況下被用于解耦負(fù)載。

由于還沒有一種計(jì)算方法能計(jì)算出充分且必要的電容量，所以，系統(tǒng)設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)用于降壓轉(zhuǎn)換器輸出端的電容陣列時，常常面臨很多困難：或許會選擇了較小的電容量，轉(zhuǎn)換器的電壓可能達(dá)不到要求進(jìn)而導(dǎo)致負(fù)載工作不穩(wěn)定；或許選擇的電容量偏大，在元件成本和PCB面積方面造成浪費(fèi)，進(jìn)而額外增加消費(fèi)電子設(shè)備的單位成本。

降壓轉(zhuǎn)換器自身帶有電壓反饋系統(tǒng)。電壓反饋系統(tǒng)檢測負(fù)載上的電壓，然后，把檢測到的電壓與參考電壓進(jìn)行比較，將偏差放大并通過調(diào)整占空度來修正負(fù)載上的電壓(圖1)。

關(guān)于反饋環(huán)如何優(yōu)化的問題屬于另一個話題，本文暫不作探討。借助電源芯片公司提供的高級仿真工具和計(jì)算工具，我們能很容易的實(shí)現(xiàn)降壓轉(zhuǎn)換器反饋系統(tǒng)的優(yōu)化。

許多系統(tǒng)設(shè)計(jì)者沒有弄清楚波特圖、頻域分析、暫態(tài)電壓波形、以及時域分析之間的差別。實(shí)際上，它們是在兩個域進(jìn)行的分析：一個在頻域，一個在時域。頻域分析和時域分析在數(shù)學(xué)上可以通過拉氏變換函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

波特圖或頻域分析可以方便地以圖形方式顯示出給定系統(tǒng)的過零頻率(ZCF)和相位裕度，但很少能顯示轉(zhuǎn)換器在給定的階躍載荷電流下的運(yùn)行情況。這些信息也許對滿足某些內(nèi)部設(shè)計(jì)規(guī)則很有用。

圖1：降壓轉(zhuǎn)換器自身帶有電壓反饋系統(tǒng)。

為什么分析階躍響應(yīng)如此重要呢？

處理器對電壓變化范圍的要求較為嚴(yán)格，電壓范圍由上限和下限給定，或由標(biāo)稱電壓和容差(如正負(fù)50mV)給定。而硬盤或PCI總線電壓軌對電壓的要求較為寬松，能在幾百毫伏的容差范圍內(nèi)可靠地工作。如果給反饋系統(tǒng)施加階躍電流，則在反饋系統(tǒng)的輸出端會出現(xiàn)一個相應(yīng)的響應(yīng)(階躍響應(yīng))，本文中則是以輸出電壓為例。因而，如果把階躍電流或模擬負(fù)載電流施加到轉(zhuǎn)換器的輸出端，轉(zhuǎn)換器的輸出端將經(jīng)歷一個電壓變化過程。如果電壓變化過程的最小值和最大值保持在容限范圍之內(nèi)，負(fù)載將正常工作。

可以用電阻和開關(guān)FET產(chǎn)生階躍電流函數(shù)。我們需計(jì)算出電阻值和FET門的壓擺率(slew rate)，并使之與真實(shí)負(fù)載的幅度和邊緣速率相匹配。在使用電子負(fù)載時我們須非常小心，因?yàn)殚L線纜或寄生電感可能使階躍電流變形，進(jìn)而導(dǎo)致在輸出端看不到階躍響應(yīng)。當(dāng)負(fù)載邊緣速率高時尤其應(yīng)對這個問題給予關(guān)注。

在平衡態(tài)，除了開關(guān)紋波電流成分之外，開關(guān)轉(zhuǎn)換器的電感電流和負(fù)載電流是匹配的。如果電感電流偏離負(fù)載所需要的電流，能量供求差異會導(dǎo)致輸出電容的電壓發(fā)生變化，此時輸出電容就會以充電/放電的形式吸收或補(bǔ)充能量，進(jìn)而保持輸出電流穩(wěn)定。

圖2a和圖2b顯示了兩個負(fù)載躍變的暫態(tài)過程，分別對應(yīng)于經(jīng)過優(yōu)化和未經(jīng)優(yōu)化的反饋環(huán)，前者能量供求差異被降到最小，而后者能量供求差異較大。陰影區(qū)域顯示在電感和負(fù)載之間的能量供求差異。

圖2a， 圖2b：兩個負(fù)載躍變的暫態(tài)過程。

在本文中，我們假設(shè)反饋環(huán)經(jīng)過了優(yōu)化設(shè)計(jì)，能量供求關(guān)系如圖3a所示。圖3b顯示在加載過程中由輸出電容補(bǔ)充的電流量，圖3c顯示了在卸載過程中輸出電容吸收的電流量。

圖3a, 圖3b, 圖3c：反饋環(huán)經(jīng)過了優(yōu)化設(shè)計(jì)后的能量供求關(guān)系。

對電感兩端的電壓積分并除以電感值可計(jì)算出流過電感的電流。在加載過程中，轉(zhuǎn)換器的占空比變成1。因而，如果把加載過程的起始時間設(shè)為t=0，則通過輸出電容所補(bǔ)充的電流(如圖3b)為：

在卸載過程中，轉(zhuǎn)換器的占空比變成0。因而，如果把卸載暫態(tài)過程的開始時間設(shè)為t=0，則輸出電容吸收的電流(如圖3c)為：

其中，V(SUB/)in(/SUB)、V(SUB/)out(/SUB)、L分別是該降壓轉(zhuǎn)換器的輸入電壓、輸出電壓和電感值；I(SUB/)1(/SUB)是輕負(fù)載時的輸出電流電平，I(SUB/)2(/SUB)是重負(fù)載時的輸出電流電平。 [!--empirenews.page--]

圖4為輸出電容器的等效電路。

圖4

在圖4中，C是等效純電容，R(SUB/)esr(/SUB)是等效串聯(lián)電阻。當(dāng)輸出電容器在加載過程中放電時，輸出等效純電容上的電壓可通過對方程1積分得到：

輸出電容器兩端的總電壓降為ESR兩端的電壓降和等效純電容上的電壓降的和，因而：

方程3是一個二次方程，在局部極點(diǎn)(local pole)處出現(xiàn)極值。局部極點(diǎn)發(fā)生在：

在方程4中，最大電壓降發(fā)生在t = tlp_d，其值為：

如果tlp_d是負(fù)數(shù)，那么最大電壓降實(shí)際發(fā)生在t=0，因?yàn)樵趖>0區(qū)間是單調(diào)衰減的，因而，最大電壓降為：

類似地，在卸載過程中輸出電容充上了電，通過對方程2進(jìn)行積分可得到輸出電容器兩端在等效純電容上的電壓提升：

輸出電容兩端的總的電壓提升為ESR兩端的電壓提升和等效純電容上電壓提升的和，因而：

方程6是一個二次方程，在局部極點(diǎn)處出現(xiàn)極值。局部極點(diǎn)發(fā)生在：

最大電壓提升發(fā)生在t = tlp_r，其值為：

如果tlp_r是負(fù)數(shù)，那么最大電壓提升實(shí)際發(fā)生在t=0，因?yàn)樵趖>0區(qū)間方程是單調(diào)衰減函數(shù)，因而，最大電壓提升為：

以圖像處理器單元(GPU)為例，我們使用12V的三芯鋰離子電池，通過降壓轉(zhuǎn)換器把該電壓轉(zhuǎn)換到1.5V來為GPU供電。在小功率和大功率模式，GPU的耗流量分別為0.5A和8.5A。保證GPU正常工作的電壓范圍為1.5V +/-75mV。假設(shè)降壓轉(zhuǎn)換器的電感值初選為2.2微亨，解耦電容為330微法并帶有4毫歐的ESR，那么：

V(SUB/)in(/SUB) = 12 V，V(SUB/)in(/SUB)= 1.5 V，L = 2.2 μH，C = 330 μF，R(SUB/)esr(/SUB)= 5 mΩ，I(SUB/)1(/SUB)＝0.5 A，I(SUB/)2(/SUB) = 8.5 A

把上述參數(shù)代入方程4和方程7，在加載過程(負(fù)載電流從0.5A躍升到8.5A)中，輸出電容陣列上的最大電壓降發(fā)生在t=0.36微秒，其值為32.9mV。

在卸載過程(負(fù)載電流從8.5A躍降到0.5A)中，輸出電容陣列的最大電壓提升發(fā)生在t=10.4微秒，其值為144.0mV。

重復(fù)試算可得到滿足1.5V +/-75mV電壓要求的最優(yōu)值：C=720微法，R(SUB/)esr(/SUB)=6.2微歐。

陶瓷電容器ESR小但電容量也小，但陶瓷電容器的低ESR效應(yīng)只在它保有能量期間(按C(dv/dt)=I計(jì)算)有效。電解電容器ESR大且電容量大，但電解電容器的大電容效應(yīng)只表現(xiàn)在其諧振頻率內(nèi)(按R(SUB/)esr(/SUB)C計(jì)算)。聚合物鉭電容器處于兩者之間——ESR相對較小，電容相對較大。

用哪些器件來產(chǎn)生720微法電容和6.2毫歐ESR呢？可用兩個330微法30毫歐(ESR)聚合物鉭電容器和6個10微法2毫歐(ESR)陶瓷電容器構(gòu)成一個電容器陣列。

在電容器陣列中，應(yīng)根據(jù)器件的諧振頻率遞減的次序來安排電容器與負(fù)載的相對位置。陶瓷電容諧振頻率最高，應(yīng)最接近于負(fù)載，聚合物鉭電容其次，電解電容離負(fù)載最遠(yuǎn)。

從方程4和方程7可以看出，選用小電感更有利于減少電壓偏離。把電感從2.2微亨減小到1.2微亨將可把電容值從720微法削減到390微法。對降壓轉(zhuǎn)換器來說，電感值是一個重要參數(shù)，應(yīng)綜合考慮效率優(yōu)化、電感紋波電流和輸出電容陣列計(jì)算等因素。