[導(dǎo)讀]本系列文章將介紹如何通過計算來預(yù)測電路的固有噪聲大小，如何采用 SPICE模擬技術(shù)，以及噪聲測量技術(shù)等。
第一部分：引言與統(tǒng)計數(shù)據(jù)評論
我們可將噪聲定義為電子系統(tǒng)中任何不需要的信號。噪聲會導(dǎo)致音頻信號質(zhì)量下降以及精確測量方面的錯誤。板級與系統(tǒng)級電子設(shè)計工程師希望能確定其設(shè)計方案在最差條件下的噪聲到底有多大，并找到降低噪聲的方法以及準(zhǔn)確確認其設(shè)計方案可行性的測量技術(shù)。
噪聲包括固有噪聲及外部噪聲，這兩種基本類型的噪聲均會影響電子電路的性能。外部噪聲來自外部噪聲源，典型例子包括數(shù)字開關(guān)、60Hz 噪聲以及電源開關(guān)等。固有噪聲由電路元件本身生成，最常見的例子包括寬帶噪聲、熱噪聲以及閃爍噪聲等。本系列文章將介紹如何通過計算來預(yù)測電路的固有噪聲大小，如何采用 SPICE模擬技術(shù)，以及噪聲測量技術(shù)等。
熱噪聲
熱噪聲由導(dǎo)體中電子的不規(guī)則運動而產(chǎn)生。由于運動會隨溫度的升高而加劇，因此熱噪聲的幅度會隨溫度的上升而提高。我們可將熱噪聲視為組件（如電阻器）電壓的不規(guī)則變化。圖 1.1 顯示了標(biāo)準(zhǔn)示波器測得的一定時域中熱噪聲波形，我們從圖中還可看到，如果從統(tǒng)計學(xué)的角度來分析隨機信號的話，那么它可表現(xiàn)為高斯分布曲線。我們給出分布曲線的側(cè)面圖，從中可以看出它與時域信號之間的關(guān)系。
圖 1.1: 在時間域中顯示白噪聲以及統(tǒng)計學(xué)分析結(jié)果
熱噪聲信號所包含的功率與溫度及帶寬直接成正比。請注意，我們可簡單應(yīng)用功率方程式來表達電壓與電阻之間的關(guān)系 （見方程式1.1），根據(jù)該表達式，我們可以估算出電路均方根 (RMS) 噪聲的大小。此外，它還說明了在低噪聲電路中盡可能采用低電阻元件的重要性。
方程式 1.1：熱電壓
方程式 1.1 中有一點值得重視的是，根據(jù)該表達式我們還可計算出 RMS 噪聲電壓。在大多數(shù)情況下，工程師希望了解“最差條件下噪聲會有多嚴(yán)重？”換言之，他們非常關(guān)心峰峰值電壓的情況。如果我們要將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲的話，那么必須記住的一點是：噪聲會表現(xiàn)為高斯分布曲線。這里有一些單憑經(jīng)驗的方法即根據(jù)統(tǒng)計學(xué)上的關(guān)系，我們可將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。不過，在介紹有關(guān)方法前，我想先談?wù)勔恍?shù)學(xué)方面的基本原理。本文的重點在于介紹統(tǒng)計學(xué)方面的基本理論，隨后幾篇文章將討論實際模擬電路的測量與分析事宜。
概率密度函數(shù)：
構(gòu)成正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)方程式稱作“概率密度函數(shù)”（見方程式 1.2）。根據(jù)一段時間內(nèi)測得的噪聲電壓繪制出相應(yīng)的柱狀圖，從該柱狀圖，我們可以大致看出函數(shù)所表達的形狀。圖 1.2 顯示了測得的噪聲柱狀圖，并給出了相應(yīng)的概率密度函數(shù)。
方程式 1.2: 高斯曲線分布曲線對應(yīng)的概率密度函數(shù)
圖1.2: 根據(jù)相應(yīng)的概率密度函數(shù)所繪制的分布曲線
概率分布函數(shù)：
概率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。根據(jù)該函數(shù)，我們可了解某事件在給定的時間段內(nèi)發(fā)生的概率（見方程式 1.3 與圖 1.3）。舉例來說，我們可以假定圖 1.4 為噪聲概率分布函數(shù)，該函數(shù)告訴我們，在任意時間點上，在 -1V 與 +1V 之間（即 (-1, 1) 區(qū)間內(nèi)）檢測到噪聲電壓的概率為 30%。
方程式 1.3: 概率分布函數(shù)
圖 1.3: 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)
概率分布函數(shù)對我們將 RMS熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲非常有用。請注意，高斯分布曲線的尾部是無限延伸的，這就是說，任何噪聲電壓都是可能的。盡管理論上確實如此，但就實際情況而言，極大的瞬時噪聲電壓發(fā)生的可能性不大。舉例來說，我們檢測到噪聲電壓在 -3σ 與 +3σ 之間的概率為 99.7 %。換言之，噪聲電壓超出該范圍的概率僅有0.3 %。因此，我們通常將噪聲信號的峰值估算為±3σ（即 6σ）。請注意，也有些工程師將噪聲的峰值估算為 6.6σ。人們對到底如何估計這個數(shù)值沒有定論。圖 1.4 顯示，68% 的噪聲都會不超過 2σ。表 1.1 總結(jié)了測量噪聲電壓時標(biāo)準(zhǔn)偏差與概率之間的關(guān)系。
圖 1.4: 標(biāo)準(zhǔn)偏差與峰值噪聲間的關(guān)系
表 1.1: 標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)與測量概率百分比
因此，在一定的標(biāo)準(zhǔn)偏差條件下，我們可以根據(jù)關(guān)系式來估算峰值對峰值噪聲。不過，總體來說，我們還是希望將 RMS 噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。人們常常假定 RMS 與標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，不過事實并非總是如此。這兩個值只有在不存在 DC 元件（DC 元件為平均值 μ）的情況下才相同。就熱噪聲而言，由于沒有 DC 元件，因此標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 值相等。我們在附錄中舉出了“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 相等”和“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 不相等”兩個不同的示例。
文章開頭就給出了計算 RMS 熱噪聲電壓的方程式。還有一種計算 RMS 噪聲電壓的方法就是先測量大量離散點，然后采用統(tǒng)計學(xué)方法估算標(biāo)準(zhǔn)偏差。舉例來說，如果我們從模數(shù) (A/D) 轉(zhuǎn)換器中獲得大量采樣，那么我們就能運用方程式 1.4, 1.5 及 1.6 來計算噪聲信號的平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及 RMS 值。附錄中的示例 1.3 顯示了在 Basic程序中如何運用上述方程式。我們在附錄中還列出了一組更全面的統(tǒng)計方程供您參考。
方程式 1.4、1.5、1.6：離散數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方程
本文最后要介紹的概念是噪聲信號的疊加。為了疊加兩個噪聲信號，我們必須先了解信號是否相關(guān)。來自兩個不同信號源的噪聲信號彼此不相關(guān)。舉例來說，來自兩個不同電阻器或兩個不同運算放大器的噪聲是彼此不相關(guān)的。不過，噪聲源通過反饋機制會產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。什么是相關(guān)噪聲源疊加呢？一個很好的實例就是帶噪聲消除功能的耳機，其可通過累加反向相關(guān)的噪聲來消除噪聲。方程式 1.7 顯示了如何疊加相關(guān)噪聲信號。請注意，就帶噪聲消除功能的耳機而言，相關(guān)系數(shù) C 應(yīng)等于 - 1。
方程式 1.7: 疊加隨機相關(guān)信號
方程式1.8: 疊加隨機不相關(guān)的信號
在大多數(shù)情況下，我們都要疊加不相關(guān)的噪聲源（見方程式 1.8）。在這種情況下疊加噪聲，我們要通過勾股定理得到兩個矢量噪聲的和。圖 1.5 顯示了疊加噪聲源的情況。我們通?？勺鼋频毓烙?，如果一個噪聲源強度為另一個的三分之一，較小的噪聲源可忽略不計。
圖 1.5: 噪聲勾股定理
本文總結(jié)與后續(xù)文章介紹：
在關(guān)于噪聲的系列文章中，本文介紹了噪聲的概念，談?wù)摿嗽肼暦治鏊璧囊恍┙y(tǒng)計學(xué)基本原理。本系列文章中都將用到這些基礎(chǔ)知識。本系列文章的第二部分將介紹運算放大器的噪聲模型，并給出計算總輸出噪聲的一些方法。
致謝：
特別感謝以下人員提供的技術(shù)信息：
德州儀器 (TI) Burr-Brown產(chǎn)品部
Rod Burt，高級模擬 IC 設(shè)計經(jīng)理
Bruce Trump，線性產(chǎn)品經(jīng)理
Tim Green，應(yīng)用工程設(shè)計經(jīng)理
Neil Albaugh，高級應(yīng)用工程師
參考書目：
Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統(tǒng)計推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co) 出版；
C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統(tǒng)設(shè)計》，A Wiley-Interscience Publication 出版。
關(guān)于作者：
Arthur Kay 現(xiàn)任 TI 的高級應(yīng)用工程師。他專門負責(zé)傳感器信號調(diào)節(jié)器件的支持工作。他于 1993 年畢業(yè)于佐治亞理工學(xué)院 (Georgia Institute of Technology) 并獲得電子工程碩士學(xué)位。他曾在 Burr-Brown 與 Northrop Grumman 公司擔(dān)任過半導(dǎo)體測試工程師。
我們可將噪聲定義為電子系統(tǒng)中任何不需要的信號。噪聲會導(dǎo)致音頻信號質(zhì)量下降以及精確測量方面的錯誤。板級與系統(tǒng)級電子設(shè)計工程師希望能確定其設(shè)計方案在最差條件下的噪聲到底有多大，并找到降低噪聲的方法以及準(zhǔn)確確認其設(shè)計方案可行性的測量技術(shù)。
噪聲包括固有噪聲及外部噪聲，這兩種基本類型的噪聲均會影響電子電路的性能。外部噪聲來自外部噪聲源，典型例子包括數(shù)字開關(guān)、60Hz 噪聲以及電源開關(guān)等。固有噪聲由電路元件本身生成，最常見的例子包括寬帶噪聲、熱噪聲以及閃爍噪聲等。本系列文章將介紹如何通過計算來預(yù)測電路的固有噪聲大小，如何采用 SPICE模擬技術(shù)，以及噪聲測量技術(shù)等。
熱噪聲
熱噪聲由導(dǎo)體中電子的不規(guī)則運動而產(chǎn)生。由于運動會隨溫度的升高而加劇，因此熱噪聲的幅度會隨溫度的上升而提高。我們可將熱噪聲視為組件（如電阻器）電壓的不規(guī)則變化。圖 1.1 顯示了標(biāo)準(zhǔn)示波器測得的一定時域中熱噪聲波形，我們從圖中還可看到，如果從統(tǒng)計學(xué)的角度來分析隨機信號的話，那么它可表現(xiàn)為高斯分布曲線。我們給出分布曲線的側(cè)面圖，從中可以看出它與時域信號之間的關(guān)系。
圖 1.1: 在時間域中顯示白噪聲以及統(tǒng)計學(xué)分析結(jié)果
熱噪聲信號所包含的功率與溫度及帶寬直接成正比。請注意，我們可簡單應(yīng)用功率方程式來表達電壓與電阻之間的關(guān)系 （見方程式1.1），根據(jù)該表達式，我們可以估算出電路均方根 (RMS) 噪聲的大小。此外，它還說明了在低噪聲電路中盡可能采用低電阻元件的重要性。
方程式 1.1：熱電壓
方程式 1.1 中有一點值得重視的是，根據(jù)該表達式我們還可計算出 RMS 噪聲電壓。在大多數(shù)情況下，工程師希望了解“最差條件下噪聲會有多嚴(yán)重？”換言之，他們非常關(guān)心峰峰值電壓的情況。如果我們要將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲的話，那么必須記住的一點是：噪聲會表現(xiàn)為高斯分布曲線。這里有一些單憑經(jīng)驗的方法即根據(jù)統(tǒng)計學(xué)上的關(guān)系，我們可將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。不過，在介紹有關(guān)方法前，我想先談?wù)勔恍?shù)學(xué)方面的基本原理。本文的重點在于介紹統(tǒng)計學(xué)方面的基本理論，隨后幾篇文章將討論實際模擬電路的測量與分析事宜。
概率密度函數(shù)：
構(gòu)成正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)方程式稱作“概率密度函數(shù)”（見方程式 1.2）。根據(jù)一段時間內(nèi)測得的噪聲電壓繪制出相應(yīng)的柱狀圖，從該柱狀圖，我們可以大致看出函數(shù)所表達的形狀。圖 1.2 顯示了測得的噪聲柱狀圖，并給出了相應(yīng)的概率密度函數(shù)。
方程式 1.2: 高斯曲線分布曲線對應(yīng)的概率密度函數(shù)
圖1.2: 根據(jù)相應(yīng)的概率密度函數(shù)所繪制的分布曲線
概率分布函數(shù)：
概率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。根據(jù)該函數(shù)，我們可了解某事件在給定的時間段內(nèi)發(fā)生的概率（見方程式 1.3 與圖 1.3）。舉例來說，我們可以假定圖 1.4 為噪聲概率分布函數(shù)，該函數(shù)告訴我們，在任意時間點上，在 -1V 與 +1V 之間（即 (-1, 1) 區(qū)間內(nèi)）檢測到噪聲電壓的概率為 30%。
方程式 1.3: 概率分布函數(shù)
圖 1.3: 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)
概率分布函數(shù)對我們將 RMS熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲非常有用。請注意，高斯分布曲線的尾部是無限延伸的，這就是說，任何噪聲電壓都是可能的。盡管理論上確實如此，但就實際情況而言，極大的瞬時噪聲電壓發(fā)生的可能性不大。舉例來說，我們檢測到噪聲電壓在 -3σ 與 +3σ 之間的概率為 99.7 %。換言之，噪聲電壓超出該范圍的概率僅有0.3 %。因此，我們通常將噪聲信號的峰值估算為±3σ（即 6σ）。請注意，也有些工程師將噪聲的峰值估算為 6.6σ。人們對到底如何估計這個數(shù)值沒有定論。圖 1.4 顯示，68% 的噪聲都會不超過 2σ。表 1.1 總結(jié)了測量噪聲電壓時標(biāo)準(zhǔn)偏差與概率之間的關(guān)系。
圖 1.4: 標(biāo)準(zhǔn)偏差與峰值噪聲間的關(guān)系
|
標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù) |
測量電壓的概率 |
|
2σ（即 ±σ） |
68.3 % |
|
3σ（即 ±1.5σ） |
86.6 % |
|
4σ（即 ±2σ） |
95.4 % |
|
5σ（即 ±2.5σ） |
98.8 % |
|
6σ（即 ±3σ） |
99.7 % |
|
6.6σ（即 ±3.3σ） |
99.9 % |
表 1.1: 標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)與測量概率百分比
因此，在一定的標(biāo)準(zhǔn)偏差條件下，我們可以根據(jù)關(guān)系式來估算峰值對峰值噪聲。不過，總體來說，我們還是希望將 RMS 噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。人們常常假定 RMS 與標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，不過事實并非總是如此。這兩個值只有在不存在 DC 元件（DC 元件為平均值 μ）的情況下才相同。就熱噪聲而言，由于沒有 DC 元件，因此標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 值相等。我們在附錄中舉出了“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 相等”和“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 不相等”兩個不同的示例。
文章開頭就給出了計算 RMS 熱噪聲電壓的方程式。還有一種計算 RMS 噪聲電壓的方法就是先測量大量離散點，然后采用統(tǒng)計學(xué)方法估算標(biāo)準(zhǔn)偏差。舉例來說，如果我們從模數(shù) (A/D) 轉(zhuǎn)換器中獲得大量采樣，那么我們就能運用方程式 1.4, 1.5 及 1.6 來計算噪聲信號的平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及 RMS 值。附錄中的示例 1.3 顯示了在 Basic程序中如何運用上述方程式。我們在附錄中還列出了一組更全面的統(tǒng)計方程供您參考。
方程式 1.4、1.5、1.6：離散數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方程
本文最后要介紹的概念是噪聲信號的疊加。為了疊加兩個噪聲信號，我們必須先了解信號是否相關(guān)。來自兩個不同信號源的噪聲信號彼此不相關(guān)。舉例來說，來自兩個不同電阻器或兩個不同運算放大器的噪聲是彼此不相關(guān)的。不過，噪聲源通過反饋機制會產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。什么是相關(guān)噪聲源疊加呢？一個很好的實例就是帶噪聲消除功能的耳機，其可通過累加反向相關(guān)的噪聲來消除噪聲。方程式 1.7 顯示了如何疊加相關(guān)噪聲信號。請注意，就帶噪聲消除功能的耳機而言，相關(guān)系數(shù) C 應(yīng)等于 - 1。
方程式 1.7: 疊加隨機相關(guān)信號
方程式1.8: 疊加隨機不相關(guān)的信號
在大多數(shù)情況下，我們都要疊加不相關(guān)的噪聲源（見方程式 1.8）。在這種情況下疊加噪聲，我們要通過勾股定理得到兩個矢量噪聲的和。圖 1.5 顯示了疊加噪聲源的情況。我們通?？勺鼋频毓烙?，如果一個噪聲源強度為另一個的三分之一，較小的噪聲源可忽略不計。
圖 1.5: 噪聲勾股定理
本文總結(jié)與后續(xù)文章介紹：
在關(guān)于噪聲的系列文章中，本文介紹了噪聲的概念，談?wù)摿嗽肼暦治鏊璧囊恍┙y(tǒng)計學(xué)基本原理。本系列文章中都將用到這些基礎(chǔ)知識。本系列文章的第二部分將介紹運算放大器的噪聲模型，并給出計算總輸出噪聲的一些方法。
致謝：
特別感謝以下人員提供的技術(shù)信息：
德州儀器 (TI) Burr-Brown產(chǎn)品部
Rod Burt，高級模擬 IC 設(shè)計經(jīng)理
Bruce Trump，線性產(chǎn)品經(jīng)理
Tim Green，應(yīng)用工程設(shè)計經(jīng)理
Neil Albaugh，高級應(yīng)用工程師
參考書目：
Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統(tǒng)計推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co) 出版；
C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統(tǒng)設(shè)計》，A Wiley-Interscience Publication 出版。
關(guān)于作者：
Arthur Kay 現(xiàn)任 TI 的高級應(yīng)用工程師。他專門負責(zé)傳感器信號調(diào)節(jié)器件的支持工作。他于 1993 年畢業(yè)于佐治亞理工學(xué)院 (Georgia Institute of Technology) 并獲得電子工程碩士學(xué)位。他曾在 Burr-Brown 與 Northrop Grumman 公司擔(dān)任過半導(dǎo)體測試工程師。
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