線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1 引言
    線性時不變(Linear Time Invariant，簡稱LTI)系統(tǒng)指滿足疊加性與均勻性、參數(shù)不隨時間改變的系統(tǒng)。所謂穩(wěn)定系統(tǒng)指如果系統(tǒng)受到有界擾動，無論它的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后．都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始的平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，它在宇宙航行、導(dǎo)彈制導(dǎo)等自動控制系統(tǒng)中是一個重要的性能指標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)自動控制的基本任務(wù)。系統(tǒng)必須滿足穩(wěn)定性。然而，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，與激勵信號的情況無關(guān)。通常，系統(tǒng)在激勵作用下的響應(yīng)r(t)可分為瞬態(tài)響應(yīng)rtt和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)rss。前者，表示系統(tǒng)在激勵作用下的通解．是系統(tǒng)齊次微分方程的解，只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)，而與激勵和初始條件無關(guān)；后者，表示系統(tǒng)在激勵作用下的特解，與激勵和初始條件有關(guān)。系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h(t)或系統(tǒng)函數(shù)H(s)集中表征了系統(tǒng)的本性，當(dāng)然它們也反映了系統(tǒng)是否穩(wěn)定。因此，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可從時域或頻域兩個方面進(jìn)行。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件
2．1 頻域充要條件
    頻域指復(fù)頻域即s域。從頻域考慮，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定充要條件是H(s)的所有極點(diǎn)，即系統(tǒng)的特征方程根都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于s的左半平面。這相當(dāng)于系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)滿足：

   
    如果特征方程根中任一根為正，即位于s的右半平面，它所對應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)將隨時間而單調(diào)增長，整個系統(tǒng)因此而不穩(wěn)定。同樣，具有正實(shí)部的共軛復(fù)根所對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是發(fā)散的正弦振蕩。如果共軛復(fù)根位于s平面的虛軸上，則對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為等幅正弦振蕩。應(yīng)當(dāng)說明，等幅振蕩的線性系統(tǒng)實(shí)際上是不存在的，而發(fā)散過程的系統(tǒng)，也并不意味著輸出量會無限增大。實(shí)際控制系統(tǒng)的輸出量只能增大到一定的范圍，超出此范圍或者受到機(jī)械止動裝置的限制，或者系統(tǒng)遭到破壞，或者其運(yùn)動形態(tài)超出線性理論所研究的范圍而進(jìn)入非線性工作狀態(tài)，以致產(chǎn)生等幅振蕩。
2．2 時域充要條件
    從時域考慮，穩(wěn)定系統(tǒng)的另一種定義方式是：若系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，也稱之為有界輸入和有界輸出(BIBO)穩(wěn)定系統(tǒng)。
上述定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

   
式中：e(t)為對激勵信號；r(t)為響應(yīng)信號；Me和Mr為有界正值。
    當(dāng)所有的e(t)滿足式(2)時，r(t)亦滿足式(3)，此時稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若按該定義逐個檢驗(yàn)各種可能的e(t)滿足式(2)和式(3)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性將過于繁瑣。為此，推導(dǎo)出穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為：

   
式中：M為有界正值；h(t)為沖激響應(yīng)信號。
    如果h(t)是絕對可積的，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷
    根據(jù)穩(wěn)定概念和穩(wěn)定的充要條件，介紹兩種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域及時域的方法。
3．1 根據(jù)H(s)在s平面的極點(diǎn)分布來判斷
    該方法屬于頻域判斷法。對于因果系統(tǒng)，觀察在時間t→∞時，h(t)是增長，還是趨于有限值或者消失，既可確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究H(s)在s平面中的極點(diǎn)分布位置，可方便地給出有關(guān)穩(wěn)定性的結(jié)論。按H(s)在s平面中的極點(diǎn)分布位置，因果系統(tǒng)可劃分為穩(wěn)定系統(tǒng)、不穩(wěn)定系統(tǒng)、臨界穩(wěn)定系統(tǒng)3種情況。
    (1)穩(wěn)定系統(tǒng)若H(s)的全部極點(diǎn)均落于s的左半平面(不含虛軸)，則可滿足lim[h(t)]=0，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
    (2)不穩(wěn)定系統(tǒng) 若H(s)的極點(diǎn)落于s的右半平面或在虛軸上具有二階以上極點(diǎn)，經(jīng)足夠長時間后h(t)仍在繼續(xù)增長，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。
    (3)臨界情況 若H(s)的極點(diǎn)落于s的平面虛軸上．且只有一階，則經(jīng)足夠長時間后，h(t)趨于一個非零的數(shù)值或等幅振蕩，而處于上述兩種類型的臨界情況，與(2)一起列為不穩(wěn)定系統(tǒng)。
    在此，以圖1所示控制系統(tǒng)為例，說明如何利用H(s)在s平面的極點(diǎn)分布來討論該系統(tǒng)中當(dāng)K從0增長時系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化。求得極點(diǎn)位置為：

    當(dāng)K=0，pl=一2，p2=+l時，有一個極點(diǎn)在右半平面；當(dāng)K=2，pl=一l，p2=0時，有一個極點(diǎn)在虛軸上；當(dāng)K=9／4．pl=p2—1／2時，極點(diǎn)都位于左半平面上。事實(shí)上，當(dāng)K>2時，計(jì)算出極點(diǎn)或極點(diǎn)的實(shí)部都位于左半平面，即K>9／4有共軛復(fù)數(shù)。因此．K>2的系統(tǒng)穩(wěn)定，K≤系統(tǒng)不穩(wěn)定。K增長時，極點(diǎn)在s平面的移動過程如圖2所示。

3．2 勞斯判據(jù)
    設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是H(s)的分母多項(xiàng)式，即：

   
    式(6)的全部系數(shù)非零且均為正實(shí)數(shù)。對三階系統(tǒng)．其充要條件是D(s)的各項(xiàng)系數(shù)全為正，且滿足a1a2-a0a3>0
3．3 BIBO穩(wěn)定性判據(jù)
    BIBO判據(jù)指用BIBO穩(wěn)定性來判斷。在討論時域充要條件時，并未涉及系統(tǒng)的因果性，這表明無論因果穩(wěn)定系統(tǒng)或非因果穩(wěn)定系統(tǒng)只要滿足式(5)的條件，都可判斷這些系統(tǒng)是穩(wěn)定的。然而對因果系統(tǒng)，式(5)可改寫為：

   
    對于因果系統(tǒng)，從BIBO穩(wěn)定性定義考慮與考察H(s)極點(diǎn)分布來判斷穩(wěn)定性具有統(tǒng)一結(jié)果。當(dāng)H(s)極點(diǎn)位于左半平面時，h(t)絕對可積，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)H(s)絕對位于右半平面或在虛軸具有二階以上極點(diǎn)時，h(t)不滿足絕對可積條件。系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)H(s)極點(diǎn)位于虛軸且只有一階時稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，則h(t)處于不滿足絕對可積的臨界狀況，從BIBO判據(jù)來看，這種情況仍屬于不穩(wěn)定范圍。

4 結(jié)語
    任何系統(tǒng)要能正常工作，都必須以系統(tǒng)穩(wěn)定為先決條件．所以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定與否十分重要，它能指導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)合理地選擇元件參數(shù)。