S波段耦合腔行波管非線性注一波互作用方程組的數(shù)值解

1 基本方程
1．1 激發(fā)方程
    令第n次本征模式軸向電場為：

   
    可得擾動電子注激勵的電場為：

式中：定義為n次諧波的耦合阻抗；

ψ(r⊥)為電子注橫向分布函數(shù)y）ds。所有本征模中只有個別模式與電子注同步，且除了電子流i（z）激發(fā)的同步波之外，還有輸入的“冷波”，即E0e-r0z，則具有外加激勵源E0e-r0z的同步場為：

   
式中：K0，г0，β0分別為該同步模式的耦合阻抗、傳播常數(shù)、相位常數(shù)。式(1)兩邊同時對z求導(dǎo)2次得到熟知的激發(fā)方程： 

   
1．2 運(yùn)動方程
    相對論下電子的運(yùn)動方程為：

   
    能量守恒方程為：

   
    式(4)代入式(3)可得一維電子運(yùn)動方程：

   
又由：
   
所以式(5)可寫為：

   
其中：Ez=Ecz(線路場)+Esz(空間電荷場)；y=(1一v2/c2)-1/2為相對論因子，c為真空中的光速，v為電子速度。
1．3 電子流復(fù)振幅方程
    電子流是時間的非簡諧周期函數(shù)，含有高次諧波，用傅氏分析。

   

2 慢變系統(tǒng)中歸一化
    上述是在實驗室坐標(biāo)系下得到的迅變方程，為了處理問題的方便和計算結(jié)果普遍性強(qiáng)，通常將其歸一化到電子坐標(biāo)系內(nèi)，獲得慢變方程。
    為了表述方便，先引入迅變坐標(biāo)系的歸一化量：歸一化距離為ξ=ω/v0z=βez；歸一化時間為φ=ωt=2πt=/T，歸一化場為f=|e|E/mvoω。則慢變系統(tǒng)中的歸一化：歸一化軸向距離為θ=Cξ=Cβez；歸一化相位φe=ψ-ξ；歸一化場幅值為Fcn(θ)=(eE／C2mvoω)ejnθ；歸一化電流幅值為

    式(8)～(10)組成了行波管大信號注一波互作用基本工作方程組。其中Cn3=I0Kcn/4V0為n次諧波增益參量，bn=(V0一Vpn)／C1Vpn非同步參量，dn=aon／βeCn為衰減常數(shù)，rn=bn-idn。

3 空間電荷場的計算
    由文獻(xiàn)可知z0處圓盤在z處圓盤平面上各點產(chǎn)生的平均空間電荷場為：

其中：Q為圓盤所帶電量；6為電子注半徑；a為漂移管半徑，如圖1所示，μ0n為零階Bessel函數(shù)的第n個根。由此可知場是關(guān)于z的函數(shù)，可以表示為：

   
其中：B(| z—z0|)是以| z—z0|為變量的函數(shù)，由式(11)可以做出如圖1所示曲線。

    由圖1可知，如果用近似式代替式(11)，所引起的誤差很小，而計算式卻大大簡化了。采用該式時，所有圓盤產(chǎn)生的空間電

，
其中：ωp為電子等離子體頻率；η為電子荷質(zhì)比；v0為電子注初速度。仿真中用式(13)代替式(9)中的Fsz。

4 休斯結(jié)構(gòu)耦合腔
    休斯型耦合腔的剖面結(jié)構(gòu)為圖2(a)所示，圖2(b)為其截面圖，表1為設(shè)計s波段耦合腔行波管的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

5 仿真結(jié)果及討論
    在上述尺寸下，對2．87～3．35 GHz頻率范圍內(nèi)的休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管進(jìn)行了數(shù)值分析，仿真中電子注的注電壓U。一21 kV，注電流L一1 A，波的輸入功率Pin=300 w。采用四階龍格一庫塔法求解互作用方程組式(8)～(10)，其結(jié)果如圖3～圖6所示。

    圖3給出了在中心頻率f=3．100 7 GHz時電子的相位軌跡。由圖可知，電子在歸一化軸向距離Z=2．4附近獲得了較好的群聚，此即為最佳互作用距離。由圖4可以看出該頻率的波在此處獲得最大增益，此后電子注離開最佳互作用區(qū)，效率降低，增益下降。

    圖5給出了中心頻率時電子注效率隨軸向距離的變化曲線。圖中實線為不考慮空間電荷力的情況，虛線為考慮空間電荷力的情況。由圖可知，空間電荷力的作用使得飽和位置推后，增益下降，即空間電荷力起發(fā)散作用。圖中效率剛開始時為負(fù)值，是因為電子剛進(jìn)入互作用區(qū)時要得到部分能量，表現(xiàn)電子效率為負(fù)值。
    圖6給出考慮空間電荷場時，2．87～3．35 GHz內(nèi)各頻點的微波增益。由圖可知，在給定電子注注電壓，注電流，和波的輸入功率等參量的情況下，頻帶內(nèi)微波增益均大于18．5 dB。

6 結(jié) 語
    對S波段休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管非線性注一波互作用工作方程組進(jìn)行了數(shù)值求解，求出考慮和不考慮空間電荷場時中心頻率．廠一3．100 7 GHz處的效率，說明空間電荷場對互作用起散焦作用，與文獻(xiàn)中結(jié)論很吻合。求出工作在2．87～3．35 GHz頻率范圍內(nèi)耦合腔行波瞬時帶寬。仿真中所用管子已制作完成，實驗數(shù)據(jù)對后期管子的熱測試有很好的指導(dǎo)意義。