窗函數(shù)的選擇

窗函數(shù)的選擇

摘要：在信號分析時，我們一般會截取有限的波形數(shù)據(jù)做傅里葉變換，這個截斷過程會產(chǎn)生泄漏，導(dǎo)致功率擴散到整個頻譜范圍，產(chǎn)生大量“霧霾數(shù)據(jù)”，無法得到正確的頻譜結(jié)果。雖然知道加窗可以抑制泄漏，但復(fù)雜的窗函數(shù)表達式及抽象的主瓣旁瓣描述方法，另人更加迷惑，下面我們拋棄公式用通俗易懂的方式介紹窗函數(shù)的選擇。

1. 加窗與窗函數(shù)

在數(shù)字信號處理中，常見的有矩形窗、漢寧窗、海明窗和平頂窗，這里不再贅述窗函數(shù)的表達式，只討論窗函數(shù)的使用，下圖直觀地描述了信號加窗的過程及窗函數(shù)基本特征。

圖 1 信號加窗后頻率普圖

直觀地，在時域上看，加窗其實就是將窗函數(shù)作為調(diào)制波，輸入信號作為載波進行振幅調(diào)制(簡稱調(diào)幅)。矩形窗對截取的時間窗內(nèi)的波形未做任何改變，即只是截斷信號原樣輸出。而其它三種窗函數(shù)都將時間窗內(nèi)開始和結(jié)束處的信號調(diào)制到了零。

更普遍地，絕大部分窗函數(shù)形狀都具有類似從中間到兩邊逐漸下降的形狀，只是下降的速度等細節(jié)上有所區(qū)別。這個特征體現(xiàn)了加窗的目的——降低截斷引起的泄漏，所有窗函數(shù)都是通過降低起始和結(jié)束處的信號幅度，來減小截斷邊沿處信號突變產(chǎn)生的額外頻譜。

2. 窗函數(shù)的選擇

從圖 1中很明顯看出，加窗后信號時域的變化顯著，由于后續(xù)的處理一般是進行傅里葉變換，所以我們主要分析加窗對傅里葉變換結(jié)果的影響。傅里葉變換后主要的特征有頻率、幅值和相位，而加窗對相位的影響是線性的，所以一般不用考慮，下面討論對頻率和幅值的影響。

加窗對頻率和幅值的影響是關(guān)聯(lián)的，首先需要記住一個結(jié)論：對于時域的單個頻率信號，加窗之后的頻譜就是將窗譜的譜峰位置平移到信號的頻率處，然后進行垂直縮放。說明加窗的影響取決于窗的功率譜，再結(jié)合上圖 1中最后一列窗函數(shù)的功率譜，容易理解其它介紹文章中?？吹降膶Υ疤卣鞯闹靼?、旁瓣等的描述。

再來看窗函數(shù)的功率譜，從上到下，窗函數(shù)的主峰(即主瓣)越來越粗，兩邊的副峰(即旁瓣)越來越少，平頂窗的名稱也因主瓣頂峰較平而得名。主瓣寬就可能與附近的頻率的譜相疊加，意味著更難找到疊加后功率譜中最大的頻率點，即降低了頻率分辨率，較難定位中心頻率。旁瓣多意味著信號功率泄露多，主瓣被削弱了，即幅值精度降低了。

有了規(guī)律，窗函數(shù)的使用就簡單多了。在需要頻率分辨率高時，使用旁瓣少的窗口，如漢寧窗，而矩形窗旁瓣太多，泄漏太大，無法抑制泄漏;在需要幅值準確時，可以使用平頂窗。當(dāng)然，對于一次過程時間小于窗口的暫態(tài)信號或沖擊波形，信號開始和結(jié)束處本身就是零，不存在截斷引起的泄露，不需要加窗抑制，因此只需要用矩形窗即可。對于連續(xù)的周期性波形，可以結(jié)合不同的窗口獲得所關(guān)注的結(jié)果。

注：那么能不能設(shè)計一種完美的窗函數(shù)，只有主瓣沒有旁瓣，且主瓣窄到只有一根柱子呢?答案是否定的。主瓣窄和旁瓣少就像蹺蹺板的兩端，壓下一遍就會翹起另一邊，是不可調(diào)和的。