基于載流導(dǎo)線循跡智能車的數(shù)學(xué)模型

 地面上鋪設(shè)載流導(dǎo)線，通以一定頻率和幅值的周期性交變電流，作為引導(dǎo)智能車行進的跡線。用大電感作為傳感器，配以一定的電路，獲得相應(yīng)的電壓。這是一種較新的循跡方式，在第五屆“飛思卡爾”杯全國大學(xué)生智能車競賽上出現(xiàn)。目前有兩種主要的跡線信息解算方法，一是通過整流濾波之后查表，使電壓與距離對應(yīng);二是用一排密集電感作為傳感器，靠近跡線的電感顯高電壓，遠離跡線的顯低電壓。由于大賽之前尚無精確的數(shù)學(xué)模型求解跡線信息，本文將試圖向這方面努力。

        1.傳感器排布與賽道信息解算的數(shù)學(xué)模型
　假設(shè)載流導(dǎo)線無限長直，電流為 。不妨假設(shè)電感為理想電感，即空間尺寸可忽略不計，電感鐵芯工作在線性區(qū)^[1]。

　　空間一點某一方向上的磁感應(yīng)強度為，由畢奧--薩伐爾定律^[2]得，其中由空間位置決定，。不妨將稱為空間函數(shù)，電感不同的放置方式，對應(yīng)不同的。若跡線為無限長直的導(dǎo)線，則相同的電感放置方式下，的表達式不變。

　　設(shè)為電感的開路感應(yīng)電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律^[3]得： ，其中由電感的參數(shù)決定，是常數(shù)。

　　將進行拉氏變換得，其中，

　　將進行拉氏變換得，其中 。

　　將電感到A/D轉(zhuǎn)換之間的電路設(shè)計為線性時不變系統(tǒng)，設(shè)其傳遞函數(shù)，則

　　在小車起跑前測得 ••••••(1)

　　在小車起跑后測得••••••(2)

　　式(2)除以(1)得

　　發(fā)現(xiàn)電路的傳遞函數(shù)和電流等與空間函數(shù)無關(guān)的項都被消去了。對于不同的電感排布方式，只要先得出空間函數(shù)，然后運用該方法就能得出其對應(yīng)的跡線信息解算表達式。這也正是本文要做的工作。為方便起見，將該方法稱為“法一”。

　　這種方法有幾個優(yōu)點：一是表達式與電路傳遞函數(shù)無關(guān)，即與電路無關(guān)，這就使得電路設(shè)計從理論上講極其簡單，只需滿足線性時不變;二是表達式與賽道電流無關(guān)，這就使得該方法推導(dǎo)的模型從理論上講具有極強的適應(yīng)性;三是該方法推導(dǎo)的模型運用起來簡單高效。

1.1 雙一電感測距

　如圖1，兩電感A和B水平放置，二者軸線與x軸平行，相距，離地高度。記。下面將用到文獻[4]的方法，以避免開根號。

　　A電感的變量用下標(biāo)A表示，B電感的變量用下標(biāo)B表示。為了方便運用法一，不妨令。

　　顯然 , 易得 ,

　　那么，其中

　　不妨假設(shè)較小，可以忽略。則••••••(3)

　　同理得 ，其中 ••••••(4)

　　••••••(5)

　　聯(lián)立(3)、(4)、(5)，解得。注意是有正負(fù)的。

　　實驗數(shù)據(jù)如表1。所有單位均為標(biāo)準(zhǔn)點位，電壓是示波器讀取的峰峰值，誤差是未取絕對值的相對誤差。

結(jié)論：除第二組外，其他組的誤差都小于10%，大部分小于5%，且與賽道無明顯關(guān)系。說明該數(shù)學(xué)模型正確，同時也佐證了法1.1的正確性。