基于預(yù)測(cè)控制的自適應(yīng)PID控制器設(shè)計(jì)與仿真

0 引言
    自20世紀(jì)70年代被提出以來(lái)，預(yù)測(cè)控制相對(duì)傳統(tǒng)PID控制的很多優(yōu)勢(shì)令其在工業(yè)過(guò)程應(yīng)用中產(chǎn)生了重要和廣泛的影響。預(yù)測(cè)控制的方法有很多種，例如：動(dòng)態(tài)矩陣控制(DMC)、擴(kuò)展的預(yù)測(cè)自適應(yīng)控制(EPSAC)、模型算法控制(MAC)、預(yù)測(cè)函數(shù)控制(PFC)、二次動(dòng)態(tài)矩陣控制(QDMC)、序貫開環(huán)最優(yōu)控制(S0L0)，以及廣義預(yù)測(cè)控制(GPC)等，統(tǒng)稱為"模型預(yù)測(cè)控制"(modelDredictive Control，MPC)。預(yù)測(cè)控制的基本原理類似于利用內(nèi)部模型的狀態(tài)或輸出預(yù)測(cè)，同時(shí)應(yīng)用有限預(yù)測(cè)時(shí)域的滾動(dòng)計(jì)算思想和反饋及預(yù)測(cè)校正，最后采用了對(duì)某個(gè)系統(tǒng)性能指標(biāo)的最優(yōu)化計(jì)算，以確定在一個(gè)控制時(shí)域內(nèi)的最優(yōu)控制序列。本文通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)為預(yù)測(cè)控制和PID控制建立起一種廣義聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上，詳細(xì)闡述了基于GPC的自適應(yīng)PID控制器的設(shè)計(jì)方法，具體應(yīng)用到了電站鍋爐氧含量的自動(dòng)控制上。
    煙氣氧含量的多少直接反映了燃燒狀況，氧含量過(guò)低會(huì)造成燃燒不完全，既增加煤耗又污染環(huán)境。煙氣氧含量同時(shí)也是環(huán)保的重要指標(biāo)，氧含量過(guò)高會(huì)使送風(fēng)機(jī)、引風(fēng)機(jī)電耗增加，還會(huì)造成煙氣中二氧化硫及氮氧化物排放量的增加。
    鍋爐煙氣氧含量自動(dòng)控制的目的是為了最大限度地實(shí)現(xiàn)燃燒的最優(yōu)化，合理調(diào)整風(fēng)煤比。許多電站機(jī)組的氧含量自動(dòng)控制沒能很好投入，其主要原因是由于氧含量自動(dòng)控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化不理想，在面對(duì)電站鍋爐負(fù)荷變化，煙氣氧含量設(shè)定值不同的情況時(shí)，控制系統(tǒng)不能快速跟蹤設(shè)定值，甚至出現(xiàn)反復(fù)震蕩的現(xiàn)象。本文采用的基于GPC的PID控制方法既可以克服傳統(tǒng)定值PID的動(dòng)態(tài)響應(yīng)差的問(wèn)題，而且具有一定的自適應(yīng)特性，適合實(shí)時(shí)在線控制。

1 預(yù)測(cè)控制與PID控制的廣義聯(lián)系
1．1 PID控制法則
    增量形式的PID控制法則描述如下：
   
    其中，

   
    式中：u(t)、y(t)、w(t)分別為系統(tǒng)輸入、輸出信號(hào)和參考輸入信號(hào)，kc、TI和TD分別為比例增益、積分時(shí)間常數(shù)和微分時(shí)間常數(shù)，Ts為采樣時(shí)間，△=1-z-1為差分算子。
    為方便計(jì)算，令
    則式(1)可以表示為△u(t)、y(t)、w(t)的等式：
   
1．2 預(yù)測(cè)控制法則
    雖然預(yù)測(cè)控制包括很多算法，但基本原理相同，它們采用二次型函數(shù)作為系統(tǒng)性能指標(biāo)：
    

 式中，Yd為期望輸出向量，當(dāng)不采用柔化方法時(shí)，直接令其為設(shè)定值向量；

為系統(tǒng)未來(lái)輸出自由響應(yīng)估計(jì)向量；
    

為系統(tǒng)未來(lái)輸出強(qiáng)迫響應(yīng)估計(jì)；

  對(duì)J進(jìn)行極小化，可求最優(yōu)解為：

    其中G為一系列矩陣已知的組合，這些矩陣都來(lái)自于對(duì)Yo和Yf的求取過(guò)程。

2 基于GPC的自適應(yīng)PID控制器設(shè)計(jì)
2．1 GPC算法描述
    廣義預(yù)測(cè)控制(GPC)采用CARIMA模型描述被控對(duì)象：
   
    其中，
    式中，ζ(t)為均值為0、方差為σ2的白噪聲序列，d為系統(tǒng)延遲。
    系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)函數(shù)為：

   
    式中，入為控制增量加權(quán)因子，N1、N2、和NU分別為最小預(yù)測(cè)時(shí)域、最大預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域。為簡(jiǎn)化計(jì)算，通常令NI=1，N2＝NU=N。
    對(duì)式(12)J極小化后求得二次型性能指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為：
   

    式中可通過(guò)如下丟番圖方程計(jì)算：

    
    其中，

   
    且P(z-1)被定義為：

   
    其中Pj可由下式計(jì)算：

   
    式中R陣由式(12)中的Rj(z-1)系數(shù)構(gòu)成，

   
    另外，A被定義為：

   
2．2 PID參數(shù)整定
   
其中，

    
    如果下式

   
    成立，那么式(22)與式(4)恒等，并且可以得到

   
    其中，

2．3 系統(tǒng)模型參數(shù)辨識(shí)
    對(duì)于式(11)中的多項(xiàng)式中的參數(shù)，可以通過(guò)下面的遞推最小二乘算法得到。

   
    式中，α為遺忘因子，θ(k)為參數(shù)向量估計(jì)，ψ(k+1)為對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)向量。
   

3 仿真實(shí)例
    將基于GPC的煙氣氧含量PID控制器與定值PID控制器做MATLAB仿真比較：

    控制參數(shù)取值如下：λ=2，d=3，N=20 。當(dāng)控制對(duì)象和設(shè)定值變化時(shí)，固定取值不再適合新的控制對(duì)象，如圖1所示；而基于GPC的PID控制器能夠在控制對(duì)象和設(shè)定值變化時(shí)調(diào)用控制算法，對(duì)新的控制對(duì)象PID參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，具有一定的自適應(yīng)性，有效地減小了超調(diào)和響應(yīng)時(shí)間，如圖2所示。

4 結(jié)論
    本文討論了預(yù)測(cè)控制律與PID控制律之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)一個(gè)實(shí)際的例子(基于GPC的PID控制器設(shè)計(jì))得出PID控制器的參數(shù)。仿真結(jié)果表明了文中所提出方法適用于火電鍋爐煙氣氧含量控制回路，進(jìn)一步的研究工作將集中在處理大延遲對(duì)象和如何確定標(biāo)準(zhǔn)用以切換控制對(duì)象模型的問(wèn)題上。