多變量系統(tǒng)辨識及其PID解耦控制的研究

隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展，越來越多的工業(yè)系統(tǒng)、社會和經濟系統(tǒng)己不再局限于單變量系統(tǒng)，而是結構復雜，模型不確定的多變量系統(tǒng)。傳統(tǒng)控制方法雖然在很大程度上能滿足工業(yè)系統(tǒng)的控制要求，但對一些具有強耦合性、不確定性、非線性、信息不完全性和大滯后性等特征的工業(yè)控制系統(tǒng)，傳統(tǒng)控制方法對其無法得到滿意的控制效果所以多變量系統(tǒng)控制的研究越來越受到重視。而要對多變量系統(tǒng)進行控制，尤其是實施一些先進控制算法，如預測控制、內模控制等都是基于模型的，所以系統(tǒng)的模型是實施多變量控制的前提條件。

1 模型辨識方法

    圖1是一個典型的二變量控制系統(tǒng)框圖。從圖1看出，模型的辨識就是辨識出G11(s)、G21(s)、G12(s)、G22(s)這4個傳遞函數(shù)。這里采用基于頻域的階躍響應方法進行辨識。對于PID控制系統(tǒng)，其控制器輸出u和過程輸出y之間的傳遞函數(shù)G(s)表示為：
   
    將其離散化后用jω代替s變?yōu)?br />    
    對于過程頻率響應，取ωi的范圍為[-π，0]能夠充分體現(xiàn)系統(tǒng)頻率特性，為了獲得更精確結果，把π分成M個區(qū)間。計算ωi值
   
    其對應的相位角
   
    由于控制過程中大部分系統(tǒng)可以用二階加滯后模型代替，所以設模型傳遞函數(shù)為
從而得出傳遞函數(shù)模型參數(shù)。
    對于圖1中的典型系統(tǒng)，當系統(tǒng)穩(wěn)定后，斷開u1、u2，給u2加入階躍信號，記錄下y1、y2的值，然后代入式(2)～式(12)辨識出G11(s)，G21(s)。同理，u2加入階躍信號，令u1=O，辨識出G12(s)，G22(s)，從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣求出
   

2 滯后環(huán)節(jié)近似
    由于得出的模型含有滯后環(huán)節(jié)，而滯后環(huán)節(jié)不能夠直接解耦，所以比較各種近似方法，通常近似方法為：一階pade近似、二階對稱pade近似、二階非對稱Pade近似。文獻對其多次進行實驗發(fā)現(xiàn)一階Pade逼近在初始時刻有波動，但在滯后較大的情況下逼近效果較好，這是因為Pade逼近引入零點的原因，二階對稱Pade逼近效果最差，而且二階對稱Pade逼近除了在初始時刻有波動還產生了超調量。二階非對稱Pade逼近調節(jié)時間較短，且無明顯的超調量，但是波動較大。因此采用移位處理和二階泰勒級數(shù)展開即全極點近似法
   
    通過仿真驗證發(fā)現(xiàn)全極點型近似方法由于避免引入零點，所以誤差最小，其要比Pade逼近調節(jié)時間短，而且沒有超調量，即能更好的獲得階躍響應特性。

3 解耦控制
    多輸入多輸出系統(tǒng)內部結構復雜，存在有一定程度的耦合作用，對于這種存在耦合的對象，工業(yè)過程控制要求系統(tǒng)能夠安全穩(wěn)定地運行，又有較好的調節(jié)性能，能以較小的誤差跟蹤設定值的變化，并使穩(wěn)態(tài)誤差為零。為了達到高質量的控制性能，必須進行解耦設計。如何把它們間的耦合作用去掉變成獨立的單變量系統(tǒng)進行控制是解決多變量控制的一種重要的方法，去掉耦合的過程就是解耦。其中常用的解耦方法有對角矩陣法、逆Nyquist曲線法和特征曲線法。其中對角矩陣法在過程控制領域中起到很大作用。
   
    式(15)是一個多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，對角矩陣解耦就是將耦合對象傳遞函數(shù)矩陣變成一個對角形矩陣的形式即式(16)所示，除主對角線上的元素外，其他元素均為零。這樣輸入U(s)與輸出Y(s)就成為一一對應關系，以達到便于控制的目的。
   
假設為了使傳遞函數(shù)矩陣轉變?yōu)閷顷?，在U(s)的輸出端加入一個n×n的矩陣D(s)

    由于采用上文所提的方法辨識出的模型是奇異矩陣的幾率很小，以二輸入二輸出系統(tǒng)為例，假設G(s)為一個非奇異方陣，則有逆矩陣存在。針對PID控制器的解耦控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

加入解耦控制器后系統(tǒng)轉化為
   
對于式(20)可以利用單變量的控制方法對其進行控制。

4 解耦系統(tǒng)仿真
    應用MATLAB軟件對解耦控制進行仿真驗證。假設傳遞函數(shù)矩陣為
   
    首先采用全極點近似使其轉化為線性系統(tǒng)，采用全極點近似后式(21)變?yōu)?br />    
    以式(21)中G11，G22為例進行全極點近似，其仿真結果如圖3所示。

    從上面的仿真結果看出近似前后輸出曲線基本一致，說明全極點近似方法能夠很好體現(xiàn)原系統(tǒng)的性能。
    為了求的解耦矩陣，對式(22)取逆并且與相乘求的D(s)
   
得到解耦矩陣后，通過仿真分析解耦后系統(tǒng)間的耦合程度，從輸入端u1、u2分別加入階躍信號后解耦前后系統(tǒng)輸出曲線如圖4所示。從圖中可以看出，解耦后兩個回路之間的耦合程度大大降低，有效減少了回路間的干擾，控制系統(tǒng)的性能得到大大提高。

5 結論
    通過理論和仿真實驗證明，采用頻域辨識和對角矩陣解耦的控制方法取得很好效果，為系統(tǒng)能夠長期穩(wěn)定的運行提供保證。