摘要：討論了應用移位寄存器在Ahera的FPGA芯片中實現(xiàn)線性和非線性偽隨機序列的方法，該算法基于m序列本原多項式來獲得線性m序列和非線性m子序列移位寄存器的反饋邏輯式。文中給出了以Altera的QuartusⅡ為開發(fā)平臺，并用VHDL語言實現(xiàn)的m序列的仿真波形。
關鍵詞：偽隨機序列；m序列；m子序列；移位寄存器；VHDL語言編程
0 引言
偽隨機序列現(xiàn)已廣泛應用于密碼學、擴頻通訊、導航、集成電路的可測性設計、現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的電子對抗技術等許多重要領域。偽隨機序列的偽隨機性表現(xiàn)在預先的可確定性、可重復產(chǎn)生與處理。偽隨機序列雖然不是真正的隨機序列，但是當偽隨機序列周期足夠長時，它便具有隨機序列的良好統(tǒng)計特性。在已有的序列中，m序列的應用最為成熟和廣泛，為此，本文給出線性m序列和基于m序列的非線性m子序列的FPGA實現(xiàn)方法。由于FPGA的內(nèi)部邏輯功能是通過向內(nèi)部靜態(tài)存儲器單元加載配置數(shù)據(jù)來實現(xiàn)的，其配置文件決定了邏輯單元的邏輯功能以及模塊間或與I／O間的連接，故可最終決定FPGA實現(xiàn)的功能。FPGA的這種結構允許多次編程，并享有快速有效地對新設計進行優(yōu)化的靈活性，為此，本文選用了altera的cyclone系列FPGA芯片。EPlCl2-240PQFP，該芯片內(nèi)部有12060個邏輯單元、239616 bit RAM、兩個鎖相環(huán)(PLL)。本文應用移位寄存器理論來產(chǎn)生序列，其算法的關鍵是找到線性m序列和非線性m子序列移位寄存器的反饋邏輯式。
1 m序列的實現(xiàn)
1．1 基于FPGA的m序列實現(xiàn)
利用反饋移位寄存器產(chǎn)生0、1序列時，其n位反饋移位寄存器的邏輯功能如圖1所示。
圖中，xi表示寄存器所處的狀態(tài)，通常用0和1來代表兩個可能的狀態(tài)，并且把0和1看成是有限域GF(2)的兩個元素。f(x0，x1，…，xn-1)刻劃了移位寄存器反饋邏輯的功能，它可以看成一個定義在GF(2)上并且在GF(2)中取值的n元函數(shù)，當f(x0，x1，…，xn-1)可以表示成一線性齊次函數(shù)時，即GF(2)，相應的反饋移位寄存器是線性的，而由線性移位寄存器產(chǎn)生的序列就稱為線性移位寄存器序列。m序列就是線性移位寄存器序列。
對于一個n級m序列移位寄存器來說，它在每一時刻的內(nèi)部狀態(tài)都可以看做有限域GF(2)上的一個n維向量，而反饋函數(shù)就是刻劃了從每一時刻的狀態(tài)到下一時刻狀態(tài)的轉移規(guī)律，或者說反饋函數(shù)定義了n維向量空間上的一個線性變換。
通?？梢杂肰n(F)代表域GF(2)上全體n元數(shù)組構成的n維向量空間，a=(a0a1a2…an-1…)代表n級移位寄存器產(chǎn)生的m序列。n級m序列移位寄存器的狀態(tài)可以看做Vn(F)中的向量。設f(λ)=λn+Cn-1λn-1+…+C0是多項式環(huán)F[λ]中的一次n多項式，那么，對于G(f)中的線性移位寄存器序列，從狀態(tài)(akak+1…ak+n-1)到下一個狀態(tài)(ak+1ak+2…ak+n)的轉移就可以看成是Vn(F)的一個線性變換。由于ak+n=cn-1ak+n-1+cn-2ak+n-2+…+coak，于是，狀態(tài)轉移變換用矩陣寫出來就是：
稱為線性移位寄存器的狀態(tài)轉移矩陣，顯然，狀態(tài)轉移矩陣T和初始狀態(tài)完全刻畫了線性移位寄存器所產(chǎn)生的序列。它在此建立起了反饋
=GF(2)之間的關系，這樣就可以直接從m序列本原多項式出發(fā)，在FPGA中實現(xiàn)m序列移位寄存器結構并產(chǎn)生m序列。
若本原多項式的m序列移位寄存器反饋邏輯為，則本原多項式的m序列的VHDL語言實現(xiàn)代碼如下：
圖2所示是該序列在QuaitusⅡ開發(fā)平臺中的仿真波形。
其中，斜體0、1代碼表示序列又一周期的開始，周而復始。
1．2序列偽隨機性分析
對本原多項式是的m序列偽隨機性進行分析時，主要是分析其平衡性和游程特性。首先是平衡性。通常在一個周期中，m序列的l出現(xiàn)的次數(shù)為2n-1次；0出現(xiàn)的次數(shù)2n-1-1次。其次是游程特性。即對于O<k≤n-2，其長度為k的0游程出現(xiàn)2n-k-2次；長度為k的l游程也出現(xiàn)2n-k-2次；長度為n-1的0游程出現(xiàn)1次；長度為n的l游程出現(xiàn)1次。以上就是其中出現(xiàn)的全部游程。
平衡性和游程特性分析表明該序列符合m序列的統(tǒng)計特性。
2 非線性m子序列實現(xiàn)
m子序列是與m序列具有同周期、相同平衡性和不同局部游程的序列，m子序列移位寄存器的反饋多項式與m序列移位寄存器的反饋多項式的關系，可以根據(jù)m子序列的構造思想來計算，其中交換一對共軛狀態(tài)的后繼意味著反饋函數(shù)f(x)在共軛狀態(tài)處取補，其中s=(s0s1…sn-1)，，即f(x)’=f(x)+1。其它狀態(tài)處反饋函數(shù)不變，即f(x)’=f(x)+0。因此，可由布爾函數(shù)理論推知：
現(xiàn)以本原多項式所對應的移位寄存器為出發(fā)點，以周期29-1的某一m子序列為例，給移位寄存器賦以初始值{000000001}，并在此交換兩對共軛狀態(tài)的后繼，其中；
那么，由布爾函數(shù)理論及式(1)和式(2)有：m子序列移位寄存器反饋邏輯為：
，
若將線性m序列和非線性m子序列整合在一起，那么，在Quartus中生成的序列發(fā)生器模塊如圖3所示。
圖3中，L_prsg模塊是線性偽隨機序列發(fā)生器(m序列發(fā)生器)，NL_prsg模塊是非線性偽隨機序列發(fā)生器(m子序列發(fā)生器)。時鐘clk選用2 MHz。根據(jù)SEL[0．．2]端子可選擇不同周期的序列，m序列發(fā)生器中R序列周期可選；m子序列發(fā)生器中的序列周期可選。若N_L_SEL端子取1，則選擇非線性偽隨機序列發(fā)生器，SEL[0. .2]端子取101，則選擇周期是29-1的m子序列。圖4所示是序列發(fā)生器模塊的仿真波形圖。
比較周期是29-1的某一m子序列與同一周期的m序列可知，其兩者具有相同的周期、平衡性、相近的自相關性以及不同的局部游程和不同的線性復雜度。QUARTUS中的仿真報告表明，L_prsg模塊將耗費96個Logic Elements，NL_prsg模塊則耗費35個Logic Elements。
3 結束語
偽隨機序列在通信、密碼學、雷達、導航、芯片內(nèi)建自測試方面具有廣泛的應用，本文給出了線性m序列和基于m序列的m子序列的FPGA實
現(xiàn)方法。本方法應用移位寄存器理論。從m序列的本原多項式出發(fā)，其算法核心是找到m序列本原多項式與線性m序列和m子序列移位寄存器反
饋邏輯式之間的關系，然后采用VHDL語言編程，并借助Qualt usⅡ開發(fā)平臺實現(xiàn)序列。
文中通過對偽隨機性分析表明：其所產(chǎn)生的序列符合m序列的統(tǒng)計特性。m子序列也具有優(yōu)良的偽隨機特性，從而驗證了該算法的正確性。
下載文檔
