非理想運(yùn)放增益誤差的MathCAD定量分析

摘 要： 在推導(dǎo)非理想運(yùn)算放大器增益誤差表達(dá)式的基礎(chǔ)上，利用MathCAD分析討論運(yùn)算放大器的非理想?yún)?shù)開環(huán)增益、輸入和輸出電阻對(duì)實(shí)際增益誤差的影響，對(duì)比現(xiàn)代實(shí)際運(yùn)放與理想運(yùn)放的差別。結(jié)果表明：運(yùn)放的差模輸入電阻和輸出電阻對(duì)增益誤差的影響較小，而開環(huán)增益是主要影響因素。開環(huán)增益越大，誤差越??；目標(biāo)增益較小，增益誤差也較小。對(duì)現(xiàn)代運(yùn)放而言，反饋電阻可以有很大的取值范圍，基本不受運(yùn)放非理想?yún)?shù)的限制。
關(guān)鍵詞： 運(yùn)算放大器；誤差；非理想?yún)?shù)；MathCAD

運(yùn)算放大器是重要的電子器件之一，理想的運(yùn)算放大器具有開環(huán)增益Ao無窮大，差模輸入電阻Ri無窮大，輸出電阻Ro為零的特點(diǎn)。而實(shí)際的運(yùn)算放大器Ao和Ri有限，Ro常為幾十歐姆，加之存在失調(diào)和溫漂等的影響，其實(shí)際增益會(huì)偏離目標(biāo)增益。在應(yīng)用中，常常將實(shí)際運(yùn)放等效為理想運(yùn)放處理，而對(duì)這種等效是否合理、誤差到底有多大及如何盡可能減少誤差，沒有定量的認(rèn)識(shí)。本文希望在分析討論運(yùn)放的非理想?yún)?shù)影響的基礎(chǔ)上解決這一問題。
實(shí)際運(yùn)放較理想運(yùn)放的偏離程度在一些資料中有所介紹，其中戴維德給出了一定反饋網(wǎng)絡(luò)下，考慮Ao、Ri、Ro非理想運(yùn)算放大器增益的表達(dá)式和相關(guān)運(yùn)算放大電路的設(shè)計(jì)步驟，強(qiáng)調(diào)了使運(yùn)放增益誤差最小的最佳反饋電阻Rf的選取原則[1]； 2001年，張學(xué)文等分析了運(yùn)算放大器的誤差，介紹了外圍參數(shù)的選取[2]，其中也談到了最佳反饋電阻的選取。但物理試驗(yàn)和工程應(yīng)用中，由于失調(diào)電流、運(yùn)放負(fù)載能力、頻率響應(yīng)、單位增益帶寬、噪聲和電阻標(biāo)準(zhǔn)系列值等的限制，反饋網(wǎng)絡(luò)電阻的選取并非總能取得使增益誤差最小的理論最佳值，為此需要分析非理想?yún)?shù)對(duì)增益誤差影響的定量規(guī)律，從而方便對(duì)影響電路性能的重要因素給予優(yōu)先考慮。
1 非理想運(yùn)算放大器的增益及誤差的理論推導(dǎo)
以反相放大電路的分析為例。實(shí)際運(yùn)放模型的反相放大電路如圖1所示，反饋電阻為Rf，閉環(huán)輸入電阻為R1，差模輸入電阻為 Ri，開環(huán)放大倍數(shù)為Ao，輸出電阻為Ro，輸入信號(hào)為Vin，輸出為Vout。WILLIAM J，HAYT H等給出了其增益的推導(dǎo)[3]，方法簡述如下：

根據(jù)基爾霍夫電流定理對(duì)輸入輸出兩節(jié)點(diǎn)列寫節(jié)點(diǎn)方程：

由圖2可以看出，曲面中部有很大的平坦區(qū)，其對(duì)應(yīng)增益百分誤差近似為零，這就意味著在此反饋電阻和目標(biāo)增益范圍內(nèi)?滋A741非常接近理想運(yùn)放；而在平坦區(qū)兩側(cè)，曲面逐漸升高，對(duì)應(yīng)的增益誤差值增大。大約在Rf小于1 kΩ且增益大于500，或Rf大于100 MΩ(工程上推薦10 MΩ以內(nèi)，是因?yàn)槠秒娏鞯绕渌蛩氐挠绊?時(shí)誤差才開始變得明顯，而并非一定要取一個(gè)確定的“最佳反饋電阻”[1,2]。為驗(yàn)證本文觀點(diǎn)的合理性，將最小增益誤差與平坦區(qū)其他值所對(duì)應(yīng)的增益誤差作比較。由參

增益百分誤差?酌在數(shù)個(gè)典型目標(biāo)增益Go下隨反饋電阻Rf變化的關(guān)系曲線，如圖3所示。

由圖3可見，表1所示的最佳反饋電阻落在平坦區(qū)域中部，而整個(gè)平坦區(qū)域的增益誤差幾乎沒有差別，即：對(duì)于已選定的運(yùn)放，若目標(biāo)增益已定，其理想增益誤差已基本確定，且反饋電阻可以在很大范圍內(nèi)取值。
由圖3還可以看出，增益誤差對(duì)應(yīng)的平坦區(qū)域范圍，以及增益誤差的大小受目標(biāo)增益的影響。隨著目標(biāo)增益的增大，增益誤差明顯變大，平坦區(qū)域相應(yīng)減小。由此可以得到結(jié)論：對(duì)于反相運(yùn)算放大電路，若所要求的增益較小，則反饋電阻可在更大范圍內(nèi)取值，且誤差更小。
2.2 增益誤差與運(yùn)放參數(shù)、反饋電阻的關(guān)系
為研究增益誤差與運(yùn)放參數(shù)的關(guān)系，需取目標(biāo)增益為定值，由于目標(biāo)增益大時(shí)增益誤差大，為凸顯誤差，便于觀察，不妨假設(shè)目標(biāo)增益值為5 000。以μA741為例，由式（5）、式（6），作出開環(huán)增益Ao、輸入電阻Ri、輸出電阻Ro取值不同時(shí)，增益百分誤差?酌隨反饋電阻變化的曲線，如圖4所示。

由曲線1、2、3可知，影響增益誤差的最主要因素是Ao，Ao越大，增益誤差越小，反饋電阻取值的范圍越大。
由曲線1、4、5、6可知輸入輸出電阻對(duì)增益誤差值影響很小，而對(duì)反饋電阻取值范圍有一定影響。輸入電阻的影響主要體現(xiàn)在反饋電阻很大時(shí)，輸入電阻越大，平坦區(qū)域越寬，誤差越??；輸出電阻的影響主要體現(xiàn)在反饋電阻很小時(shí)，輸出電阻越小，平坦區(qū)域越寬，誤差越小。
2.3 不同運(yùn)放非理想?yún)?shù)對(duì)增益誤差影響的比較
以上分析了典型低成本運(yùn)放μA741的情況，下面以目前普遍使用的低噪聲精密運(yùn)放Op27為例進(jìn)行分析。與μA741相比，由于是精密運(yùn)放，其參數(shù)有明顯改進(jìn)，Op27的Ao=1.5×106，Ri=4×106Ω，Ro=70 Ω。采用同樣的分析方法，分別作出與圖2對(duì)應(yīng)的圖5，圖3對(duì)應(yīng)的圖6。

比較可知，Op27的性能較μA741有明顯的改進(jìn)，由于其Ao及Ri較大、Ro較小，根據(jù)前面的分析，較大的Ao使Op27較μA741有更大的平坦區(qū)域以及更小的增益誤差。用MathCAD可以計(jì)算出Rf在一定范圍內(nèi)取值時(shí)Op27與相應(yīng)的增益誤差，如表2所示。

表2表明Op27較μA741有更大的平坦區(qū)域以及更小的增益誤差。
圖6可知，目標(biāo)增益100以內(nèi)，Rf在很大的平坦區(qū)取值時(shí)非理想?yún)?shù)導(dǎo)致的誤差已小于0.01%?？梢酝茢?，隨著運(yùn)放性能的不斷提高，在增益不是很大的情況下，只要反饋電阻的值取在平坦區(qū)，誤差已優(yōu)于0.01級(jí)精密電阻（其制造已十分困難）的誤差，也小于接觸電阻、熱電勢(shì)、溫漂等因素的影響，此時(shí)在工程上不必再考慮運(yùn)放的非理想性，可將其直接視為理想運(yùn)放考慮。
本文采用MathCAD作圖方法將繁瑣的表達(dá)式化為簡潔的曲線，闡釋了相關(guān)因素對(duì)增益誤差的影響：運(yùn)放的差模輸入電阻和輸出電阻對(duì)增益的影響較小，而開環(huán)增益是主要影響因素。開環(huán)增益越大誤差越??；目標(biāo)增益較小，增益誤差也較??；對(duì)現(xiàn)代運(yùn)放而言，反饋電阻可以有很大的取值范圍，基本不受運(yùn)放非理想?yún)?shù)的限制，無需取特定值就可將誤差減小至最小程度。這些規(guī)律為設(shè)計(jì)滿足特殊要求的運(yùn)放電路提供了方便，實(shí)際應(yīng)用中可以優(yōu)先考慮影響設(shè)計(jì)目標(biāo)的主要因素，這就大大提高了參數(shù)選取的靈活性和可操作性。
參考文獻(xiàn)
[1] 戴維德.運(yùn)算放大器電路設(shè)計(jì)手冊(cè)[M].北京：人民郵電出版社，1983：119-131.
[2] 張學(xué)文，鄒梅.集成運(yùn)算放大電路的誤差分析及外圍元件參數(shù)的選擇[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，21（2）：53-56.
[3] HAYT H，WILLIAM J，JACK E K，et al.工程電路分析[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2002：140-142.
[4] 思索.Mathcad 7.0實(shí)用教材[M].北京：人民郵電出版社，1998.