關鍵詞：數字濾波器 MATLAB DSP
引言
隨著信息時代和數字世界的到來，數字信號處理已成為今一門極其重要的學科和技術領域。數字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數字信號處理應用中，數字濾波器十分重要并已獲得廣泛應用。
1 數字濾波器的設計
1.1 數字濾波器設計的基本步驟
數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應。種濾波器一般需要用遞歸模型來實現，因而有時也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應只能延續(xù)一定時間，在工程實際中可以采用遞歸的方式實現，也可以采用非遞歸的方式實現。數字濾波器的設計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數設計法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數字濾波器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計達到最優(yōu)化。
數字濾波器設計的基本步驟如下：
（1）確定指標
在設計一個濾波器之前，必須首先根據工程實際的需要確定濾波器的技術指標。在很多實際應用中，數字濾波器常常被用來實現選頻操作。因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。幅度指標主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標。它提供對幅度響應函數的要求，一般應用于FIR濾波器的設計。第二種指標是相對指標。它以分貝值的形式給出要求。在工程實際中，這種指標最受歡迎。對于相位響應指標形式，通常希望系統在通頻帶中人有線性相位。運用線性相位響應指標進行濾波器設計具有如下優(yōu)點：①只包含實數算法，不涉及復數運算；②不存在延遲失真，只有固定數量的延遲；③長度為N的濾波器（階數為N-1），計算量為N/2數量級。因此，本文中濾波器的設計就以線性相位FIR濾波器的設計為例。
（2）逼近
確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數字濾波器模型。通常采用理想的數字濾波器模型。之后，利用數字濾波器的設計方法，設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。
（3）性能分析和計算機仿真
上兩步的結果是得到以差分或系統函數或沖激響應描述的濾波器。根據這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗證設計結果是否滿足指標要求；或者利用計算機仿真實現設計的濾波器，再分析濾波結果來判斷。
1.2 濾波器的MATLAB設計
（1）MATLAB
MATLAB是一套用于科學計算的可視化高性能語言與軟件環(huán)境。它集數值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體，構成了一個界面友好的用戶環(huán)境。它的信號處理工具箱包含了各種經典的和現代的數字信號處理技術，是一個非常優(yōu)秀的算法研究與輔助設計的工具。在設計數字濾波器時，通常采用MATLAB來進行輔助設計和仿真。
（2）FIR濾波器的MATLAB設計
下面以設計線性相位FIR濾波器為例介紹具體的設計方法。
線性相位FIR濾波器通常采用窗函數法設計。窗函數法設計FIR濾波器的基本思想是：根據給定的濾波器技術指標，選擇濾波器長度N和窗函數ω（n），使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。其核心是從給定的頻率特性，通過加窗確定有限長單位脈沖響應序列h(n)。工程中常用的窗函數共有6種，即矩形窗、巴特利特（Bartlett）窗、漢寧（Hanning）窗、漢明（Hamming）窗、布萊克曼（Blackman）窗和凱塞（Kaiser）窗。
假設實際工程需要設計一個線性相位帶通FIR濾波器指標如下：
fn=[1000,1375,3625,4000];
a=[0,1,0];
dev=[0.0005,0.05,0.0005];
阻帶最小衰減60dB，再設采樣頻率fs=10kHz，則根據阻帶最小衰減來選擇凱塞（Kaiser）窗，利用MATLAB的求階函數和FIR濾波器的設計函數，可以快速地設計出所需的數字濾波器。這兩個設計函數如下：
[N,Wn,beta,ftype]=kaiserord(fn,a,dev,fs)；
b=fir1(n,Wn,ftype,Kaiser(n+1,beta)；
最后，利用的濾波器分析函數freqz分析所設計出的濾波器的幅頻特性和相頻特性，并用圖形顯示函數plot將它們顯示出來，如圖1所示。由圖1可見，設計結果滿足指標要求。
2 數字濾波器的實現方法
數字濾波器的實現方法一般有以下幾種。
①采用加法器、乘法器、延時器設計專用的濾波電路。
②在通用計算機系統中加上專用的加速處理機設計實現。
③用通用的可編程DSP芯片實現。
④用專用的DSP芯片實現。在一些特殊的場合，要求的信號處理速度極高，用通用DSP芯片很難實現。這種芯片將相應的濾波算法在芯片內部用硬件實現，無需進行編程。
⑤采用FPGA/CPLD設計實現。
在上述幾種方法中，第②種方法的缺點是速度較慢，一般可用于DSP算法的模擬。第①、④種方法專用性強，應用受到很大的限制。第③、⑤種方法都可以通過編程來實現各種數字濾波，但是，第③種因有專用的指令來實現濾波運算編程實現容易，而第⑤種方法編程實現較為困難。
3 數字濾波器的DSP實現
DSP是一種實時、快速、特別適合于實現各種數字信號處理運算的微處理器。由于它由具有豐富的硬件資源、改進的哈佛結構、高速數據處理能力和強大的指令系統，而在通信、航空、航天、雷達、工業(yè)控制、網絡及家用電器等各個領域得到廣泛應用。DSP分為定點和浮點兩種，下面以定點DSP芯片為例，討論FIR濾波器實現的幾個關鍵問題。所討論的這些問題，在DSP系統設計中有實際的參考和應用價值。
3.1 定點數的定標
在定點DSP芯片中，采用定點數進行數值運算，其操作數一般采用整型數來表示。一個整型數的最大表示范圍取決于DSP芯片所給定的字長，一般為16位或24位。顯然，字長越長，所能表示的數的范圍越大，精度也越高。在濾波器的實現過程中，DSP所要處理的數可能是整數，也可能是小數或混合小數；然而，DSP在執(zhí)行算術運算指令時，并不知道當前所處理的數據是整數還是小數，更不能指出小數點的位置在哪里。因此，在編程時必須指定一個數的小數點處于哪一位，這就是定標。通過定標，可以在16位數的不同位置上確定小數點，從而表示出一個范圍大小不同且精度也不同的小數。例如：在Q15中，1080H=0.12890625；在Q0時，1080H=4224。
在使用定點DSP時，如何選擇合適的Q值是一個關鍵性問題。就DSP運算的處理過程來說，實際參與運算的都是變量，有的是未知的，有的則在運算過程中不斷改變數值，但它們在一實際工程環(huán)境中作為一個物理參量而言都有一定的動態(tài)范圍。只要個動態(tài)范圍確定了，Q值也就確定了。因此，在程序設計前，首先要通過細致和嚴謹的分析，找出參與運算的所有變量的變化范圍，充分估計運算中可能出現的各種情況，然后確定采用何種定標標準才能保證運算結果正確可靠。這里，所討論的理論分析法和統計分析法確定變量絕對值最大值|max|，然后根據|max|再確定Q值。但是，DSP操作過程中的意外情況是無法避免的，即使采用統計分析法也不可能涉及到所有情況。因此，在定點運算過程中應該采取一些判斷和保護措施（特別是在定點加法中）。另外，在數字信號處理中的大量運算是乘法和累加，應盡量采用純整數或純小數運算，即全部變量都用Q0或Q15格式表示。這樣做的好處是操作簡單、編程方便。只有當純整數或純小數運算不能滿足變量的動態(tài)范圍和精度要求時，才采用混合小數表示法進行定點運算。
3.2 誤差問題
因為在用定點DSP實現時，所有的數據都是定長的，運算也都是定點運算，因而會產生有限字長效應。所產生的誤差主要包括：數模轉換引起的量化誤差、系數量化引起的誤差以及運算過程中的舍入誤差。在用定點DSP時，產生誤差是不能避免的，但是可以通過一些方法減小誤差。如，可以用兩個存儲單元來表示一個數，運算時使用雙字運算；可以根據需要要將濾波器系數都用雙字表示，也可以只將一半的系數用雙字表示，視需要而定。另外，FIR數字濾波器和IIR數字濾波器所引入的量化誤差是不一樣的。FIR數字濾波器主要采用非遞歸結構，因而在有限精度的運算中都是穩(wěn)定的；而IIR數字濾波器是遞歸結構，極點必須在z平面單位圓內才能穩(wěn)定，這種結構運算中的四舍五入處理有時會引起寄生振蕩。除了有限字長效應以外，不同結構引入的誤差也有所不同。在實際設計中，要注意實現中的誤差問題。在選擇不同的結構時，應考慮它們所引入的誤差，并用高級語言進行定點仿真，以比較不同結構下誤差的大小，從而作出合理選擇。
3.3 循環(huán)尋址
循環(huán)尋址（circular addressing）是DSP中經常用到的一種尋址方式。該尋址方法可以對一塊特定存儲區(qū)實現循環(huán)的操作。可以把循環(huán)尋址理解為實現一個滑動窗，新數據引入后將覆蓋老的數據，便得該窗中包含了需處理的最新數據。在數字信號處理中的FIR、卷積等運算中，循環(huán)尋址具有極其重要的意義。
在TI的DSP中，循環(huán)尋址通過如下方法實現。
①設定BK（寄存器塊大?。┲担源_定循環(huán)尋址緩沖區(qū)的大小，也可將它看作是循環(huán)的周期。
②設定緩沖區(qū)的底部地址。必須注意：其低N位為零，其中N為滿足式（1）的最小N值。
2 N>BK （1）
③用輔助寄存器間接尋址循環(huán)緩沖區(qū)。
圖2 輸入數據頻譜圖 圖3 輸出數據頻譜圖
3.4 實現舉例
根據上述設計出來的FIR濾波器，考慮工程實際的需要（精度的要求）和采用定點DSP芯片的方便實現，選擇Q15定標。為此，必須對輸入數據和濾波器的系數進行歸一化處理。輸入數據的歸一化處理可通過設置A/D轉換的參考電平來實現。濾波器的系數歸一化只要求取系數中的最大值，再用這個最大值去系數便可。
由于一個N（設N為偶數）階的FIR濾波器具有系數對稱特性，其輸出方程可以寫為：
y(n)=ao[x(n)+x(n-N+1)]+a1[x(n-1)+x(n-N+2)]+…+aN/2-1[X(n-N/2+1)+x(n-N/2)] (2)
根據式（2）可建立如下實現算法：
①在數據存儲中開辟兩個循環(huán)緩沖區(qū)，New循環(huán)緩沖區(qū)存放新數據，O1d循環(huán)緩沖區(qū)中存放老數據。循環(huán)緩沖區(qū)的長度為N/2。
②設置循環(huán)緩沖區(qū)指針，AR2指向New緩沖區(qū)中最新的數據，AR3指向O1d緩沖區(qū)中最老的數據。
③在程序存儲器中設置系數表。
④（AR2）+（AR3）→AH（累加器A的高位）；（AR2）-1→AR2；（AR3）-1→AR3。
⑤將累加器B清零，重復執(zhí)行下列操作N/2次：（AH）*系數ai+(B)→B，系數指針（PAR）加1，（AR2）+（AR3）→AH，AR2和AR3減1。
⑥保存和輸出結果（結果在BH中）。
⑦修正數據指針，讓AR2和AR3分別指向New緩沖區(qū)最新數據和O1d緩沖區(qū)中最老的數據。
⑧用New緩沖區(qū)中最老的數據替代O1d緩沖區(qū)中最老的數據。O1d緩沖區(qū)指針減1。
⑨輸入一個新數據替代New緩沖區(qū)中最老的數據。
重復執(zhí)行第④～⑨步。
根據上述算法編制程序[4、5]，在CCS5000上進行仿真調試運行，并分析輸入數據和輸出的頻譜，結果如圖2、圖3所示。由圖可見，濾波器實現了目標要求。
最后，將程序移植為聞亭公司的TMS320VC5409評估板的MCBSP0的中斷服務程序，并將形成的可執(zhí)行文件加載到評估板上運行。由TMS320VC5409評估板的模擬輸入口輸入模擬信號，經TLC320A/D轉換芯片，按8kHz的采樣頻率采樣轉換成數字信號，輸入DSP。濾波后經D/A輸出模擬量，結果證實該程序可實現對采樣率為8kHz的模擬信號進行實時濾波處理。
結語
數字濾波器的應用十分廣泛，運行MATLAB語言，能很容易地設計出具有嚴格要求（如線性相位等）的濾波器。用定點DSP實現濾波器械要考慮DSP的定標、誤差、循環(huán)尋址等幾個關鍵問題。文中實例是為了表明，可方便地用DSP實現模擬信號的實時濾波處理，所采用的采樣頻率并不高。如果DSP采用更高的時鐘，它的處理速度將更快，將能夠滿足更高采樣率的數字信號的實時濾波處理。
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