四點二次插值的單片機匯編程序實現(xiàn)

    在微機化的儀器儀表控制軟件中，特別是快速控制軟件中，或因直接計算過于復雜，或因只有經(jīng)驗數(shù)據(jù)沒有理論公式，常采用查表插值法計算某些數(shù)據(jù)。
    一般適合于插值法的函數(shù)是光滑性較好的函數(shù)。所謂“光滑性較好”是指以下兩個方面：
    ◆連續(xù)且盡量高階地可導：
    ◆其泰勒展開式中高次項的絕對值較小。
    采用多項式插值時，若提高多項式次數(shù)，除了增加計算量(在高速實時控制的程序中，計算速度是很重要的問題)外，從數(shù)學上看還有若干缺點，故實際應用中一般不用太高的次數(shù)。拋物線插值(三點二次插值)是常用的一種。
    提高精度的另一途徑是增加節(jié)點密度。對于三點二次插值，節(jié)點密度若能提高二倍，則截斷誤差大約可以縮小到原來的1／8。但是這樣一來數(shù)據(jù)表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度間存在著矛盾。
    本文介紹一種“四點二次插值”算法，與普通三點=次插值相比，節(jié)點密度不變，計算量也差不多，但精度(最大誤差限)大致相當于節(jié)點密度提高二倍的效果。
    四點二次插值的思想是：計算(xk,xk+1)區(qū)間的插值時，用(xk-1,xk,)的三點二次插值結果和(xk,xk+1)的三點二次插值結果相平均，作為最后結果。若采用等距節(jié)點，間距為h，根據(jù)這個思想，不難推出以下計算公式：

    與普通的三點二次插值法對比，可以看出計算量差不多(乘法次數(shù)相同，除以4可以用移位實現(xiàn))。
    下面粗略分析其精度。
    二次插值誤差余項應有三個零點，此法中xk和k+1是其兩個零點。顯然，如果第三個零點在x1和xk+1的中點處，則其精度和節(jié)點密度提高二倍后的三點二次插值法相同。
    設(xk-1,xk，xk+1)的三點二次插值誤差余項為R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三點二次插值誤差余項為R2(x)則四點二次插值的誤差余項為

    系數(shù)K(ξ1′,ξ2)反映中點xm處四點二次插值的誤差，比原來三點二次插值的誤差減小的程度。若f'''(x)是常數(shù)，則k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是說，R(z)第三個零點在xm處，達到上文所述的效果。
    對于比較光滑的函數(shù)，f'''(x)在小區(qū)間內不會變化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子絕對值應較小。若K(ξ1，ξ2)近于0，則R(xm)也近于0，R(x)的零點仍在xm附近，效果與上述接近?？梢宰C明(限于篇幅．證明略)，只要f'''(ξ1)與f'''(ξ)之比在O.5～2之間，則第三個零點必然在xk和xk+1之間。
    若K(ξ1,)絕對值較大即f'''(ξ2)與f'''(ξ2)之比距1較遠)，或，f'''(ξ1)與，f…(ξ2)反號，則零點不在中點附近，此時精度并沒有明顯提高，但不會比原來的情況差。這必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母絕對值太小，也就是說，是處在，f'''(x)過零或近于零的區(qū)域。
    對于較光滑的函數(shù)，原三點二次插值法的截斷誤差大致正比于其三階導數(shù)，因此三階導數(shù)較大的區(qū)域也是精度最差的區(qū)域。f'''(x)過零或近于零的區(qū)域中，誤差本來就遠小于其它區(qū)域。綜上所述，四點二次插值法與之相比，在三階導數(shù)較大的區(qū)域，精度大致改進到相當于節(jié)點密度提高二倍后的三點二次插值法；在三階導數(shù)近于0的區(qū)域，則不會比原來三點二次插值法差。從實用的角度，可以說已經(jīng)實現(xiàn)了上文所說的效果。
    另外，還可以指出，這個算法中的v1、v2都是由數(shù)據(jù)表中相鄰項的差值產(chǎn)生的，絕對值常常較小，故乘法常可以采用低精度乘。這一點在以較低檔的微處理器構成的應用系統(tǒng)中是有實際意義的。如下面AVR單片機的程序中，結果是雙字節(jié)精度，但其中乘法為單字節(jié)。
    下面將給出以MCS-96單片機匯編語言和AVR單片機匯編語言編寫的程序實例。
    實例中，取間隔h為2的整數(shù)冪。這樣，定點形式的自變量只要采用簡單的移位，即可以得出整數(shù)的k和純小數(shù)的“，作為下列程序的入口參數(shù)。在MCS一96單片機的程序中，k和u均取雙字節(jié)；在AVR單片機的程序例中，k和u均取單字節(jié)，但結果為雙字節(jié)。
    這是一個應用程序中用來查幾種數(shù)據(jù)表的子程序。因為這些表都是增函數(shù)，故下面設計中認定“[v2×u′+v1]必為正”。表中相鄰項的差，符合程序注釋中的要求(特別是第二個例子vl、v2為單字節(jié))，否則程序需要適當調整。
    說明：以下y′、yO加、yl和y2即上文中的fxk-1)，f(xk)，f(xk+1)和f(xk+2)。
    MCS一96和AVR單片機匯編語言插值算法程序見本刊網(wǎng)站www.dpj.com.cn。