組合BCH碼在CDMA系統(tǒng)中的研究與應用

摘要：提出了素多項式同組的概念，并對由同組的素多項式構成的組合BCH碼在碼長、信息位長度、階數等方面的特性進行了研究和分析。同時，還對組合BCH碼經過群變換后產生的類正交矩陣進行了研究。研究發(fā)現，當構成組合BCH碼的素多項式的個數越多時，類正交矩陣的行類正交性越好，列類正交性越差。最后，將組合BCH碼的類正交矩陣用于CDMA通信系統(tǒng)中，并分析了在構成組合BCH碼的素多項式個數不同的情況下，行和列分別作為多用戶編碼時的誤碼率。
關鍵詞：組合BCH碼；類正交矩陣；CDMA；誤碼率

    BCH碼最早是由霍昆格姆(Hocquenghem)在1959年、博斯(Bose)和查德胡里(Chandhair)在1960年各自提出的，它是一類重要的循環(huán)碼，能糾正多個隨機錯誤。本文中由BCH碼或者BCH碼組合得到的生成多項式，采用群變換編碼方法，可以得到一種具有類正交特性的矩陣。利用矩陣的類正交特性，將其用于碼分多址的多用戶傳輸，此外，也可以將這種矩陣用于擴譜通信和通信加密等方面。

1 BCH碼的組合特性
1．1 BCH碼的產生
    對于BCH碼中的一個素多項式：
   
    式中：xi僅表明其系數(1或0)ci的值，x本身的取值并無實際的含義。BCH碼的生成多項式g(x)可以由一個素多項式構成，也可以由若干個素多項式組合而成。
    BCH的碼長n一般是2m-1或是2m-1的因子，通常把碼長為2m-l的BCH碼稱為本原BCH碼，而把碼長為2m-1因子的BCH碼稱為非本原BCH碼。
1．2 BCH碼的組合特性
    由BCH碼的定義可知，對于(n，k)的生成多項式g(x)，它的階數為m，則由g(x)產生的BCH碼的碼長n為2m-1或2m-1的因子。將這些生成多項式的階數等于m，碼長為n是2m-1或是2m-1的因子的素多項式放在同一組中，稱為同組BCH碼素多項式。對于同組的素多項式，將他們中的一個或者多個素多項式進行組合，可以得到組合BCH碼，即：
   
    由同組的素多項式構成的組合BCH碼在碼長、信息位長度和階數等方面具有一些特殊的性質。組合BCH碼的最高項次數為：
   

2 組合BCH碼的類正交特性
2．1 互相關系數
    在判斷一個矩陣的正交特性的時候，往往會用到互相關系數這個概念。
    在一個矩陣中，設各個碼組的編碼長度為n，每個碼元只取+1和-1，x和y是該矩陣中的兩個碼組：
   
    若碼組x和y正交，則必有ρ(x，y)=0；若碼組x和y不正交，則ρ(x，y)≠0，并且當碼組x和y的相關性越小時，它們的相關系數ρ(x，y)越??；當碼組本身與本身相乘時，有ρ(x，x)=1。
2．2 類正交矩陣的產生
    在(n，k)的BCH碼中，它的碼長為n，信息位長度為k，BCH碼的生成多項式g(x)的最高階數為m，并且滿足k=n-m。
    首先，根據BCH碼的生成多項式g(x)，運用群變換的編碼方法，產生生成矩陣G，它是一個k×n的矩陣。
   
    群變換后的生成矩陣G可以分為兩個部分，前半部分是一個k×k階的單位矩陣Ik，后半部分，稱之為P矩陣，它是一個k×m階的矩陣，即：

    由此可以得到P矩陣的變換矩陣P’，經過研究發(fā)現，P’矩陣的行向量與行向量、列向量與列向量之間的自相關性很強，互相關性很弱，這說明該矩陣具有類正交性，因此稱P’矩陣是一種類正交矩陣。
2．3 組合BCH碼的類正交性
    對于同組的BCH碼，由前面的BCH碼的組合特性可知，在同組的素多項式中，如果將其中的t個素多項式組合，得到組合BCH碼的碼長nt=n =2m-1，階數mt=tm，信息位長度為k=nt-mt=n-tm，則組合BCH碼得到的類正交矩陣P’的大小為：
    kt×mt=(n-tm)×tm       (10)
    由上式可以看出，對于類正交矩陣P’來說，當組合的素多項式的個數越多，即t越大，那么它的行數就越少(n-tm越小)，它的列數就越多(tm越大)。對于類正交矩陣P’中的行向量來說，由于t變大，那么每行的碼元個數(每行的碼元個數就等于列數)也會增多，隨著碼元個數的增多，其中“-1”和“1”的個數也趨于平衡，所以行向量之間的類正交性越好，即行向量之間的互相關系數越??；而對于類正交矩陣P’中的列向量來說，t變大使得每列的碼元個數(即行數)減少，因此每列中“-1”和“1”的個數的平衡性越差，所以列向量之間的類正交性也越差，即行向量之間的互相關系數變大。
    圖1，圖2是在階數為8，碼長為255的同組中選取不同素多項式進行組合，t=4和t=8時的類正交圖。

    t=4時，行向量的互相關系數小于0．2的占總數的75．88％，列向量的互相關系數小于0．2的占總數的96．68％；t=8時，行向量的互相關系數小于0．2的占總數的84．98％，列向量的互相關系數小于0．2的占總數的93．35％。由此可見，當t越大，行向量之間的類正交性越好，列向量之間的類正交性越差。

3 組合BCH碼在CDMA系統(tǒng)中的應用
3．1 CDMA系統(tǒng)
    CDMA(Code-Division Multiple Access，碼分多址)是近幾年來在數字移動通信進程中出現的一種先進的無線擴頻通信技術。碼分多址用各自不同的編碼序列來區(qū)分，它利用了碼之間的正交性，在同時、同頻的情況下對多個用戶進行復用通信。
    在碼分多址通信中，設有n個用戶，每個用戶所用的碼分別為w1(t)，w2(t)，…，wn(t)，互相正交，用戶碼的持續(xù)期為T，即：
   
    每個用戶的信息分別為m1(t)，m2(t)，…，mn(t)，則第i個用戶信號：si(t)=mi(t)wi(t)，則n個用戶碼分復用后多用戶信號為：
   
    由于用于碼分多址通信的用戶碼之間具有正交性，在接收端將接收到的信息與正交編碼相乘，即可分離出相應的用戶信息：
    mi(t)=s(t)wi(t)=mi(t)     (13)
3．2 組合BCH碼在CDMA系統(tǒng)中的應用
    由前面的內容可知，由BCH碼的生成多項式經過群變換編碼后產生的P’矩陣，是一種具有類正交性的矩陣。而在CDMA通信系統(tǒng)中，需要用正交的編碼序列來對多路用戶信號進行編碼。因此用這種類正交矩陣來代替walsh矩陣，用于CDMA。由于P’矩陣中的任意行或者任意列之間不完全正交，即互相關系數不全為0，所以不論用行作為編碼序列，還是用列作為編碼序列，在解碼的時候，所得結果都會存在一定的誤差。雖然行與行或者列與列之間的互相關系數不全為0，但是他們的互相關性還是很弱的(即互相關系數接近于0)，所以存在的誤差對最終還原出來的用戶信號的影響并不會很明顯。圖3是用P矩陣中的列作為正交編碼進行多用戶傳輸后，恢復出來的信息與原信息的比較，圖中虛線表示原信息，實線表示恢復的用戶信號。由圖3可以看出，用類正交矩陣進行碼分多址的多用戶傳輸可以較好地恢復出各路用戶的信息。

4 結語
    屬于同組的t個素多項式可以進行任意組合，構成的組合BCH碼的碼長n’=2m-1，階數mt=tm，信息位kt=n-tm(n>tm)。由此BCH碼經過群變換后產生的類正交矩陣P’的大小為(n-tm)×tm，t越大，類正交矩陣中行越少，列越多，即每行的碼元數越多，而每列的碼元數越少，因此其行的類正交性越好，列的類正交性越差。這里將類正交矩陣P’用于CDMA進行多用戶傳輸，雖然存在一定的誤差，但是基本恢復出原信號。除了將類正交矩陣應用于CDMA之外，還可以將它用于擴譜通信、通信加密及分離多徑等方面，因此這種類正交矩陣具有廣闊的應用前景。