測(cè)量結(jié)果不確定度的估計(jì)與表達(dá)

近些年來(lái),由于對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度的估計(jì)方法以及其表達(dá)形式在一些國(guó)家和不同科學(xué)領(lǐng)域中不一致,導(dǎo)致了不好相互理解和對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確運(yùn)用。我國(guó)計(jì)量學(xué)界自20世紀(jì)50年代以來(lái)所形成的至今基本上沒(méi)有改變的習(xí)慣概念和數(shù)據(jù)的處理方式及測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式就面臨著一個(gè)極大的、必須接受的變革。不少單位和地方已體察出這一形勢(shì),正在積極組織學(xué)習(xí)和探討iso中《測(cè)量不確定度表達(dá)導(dǎo)則》的有關(guān)問(wèn)題。

1 不確定度的a類評(píng)定

一般把總體看作是無(wú)限多個(gè)個(gè)體的集團(tuán),即無(wú)限總體(infinite population),并認(rèn)為樣本的大小(size)也就是樣本中個(gè)體的數(shù)目越大,就越能準(zhǔn)確地反映總體的待征。因此,取盡可能大的樣本,由近似計(jì)算進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。在計(jì)量學(xué)領(lǐng)域,對(duì)同一個(gè)被測(cè)量在重復(fù)條件下或復(fù)現(xiàn)條件下每一次獨(dú)立的測(cè)量結(jié)果就是一個(gè)樣本,它是同一個(gè)被測(cè)量無(wú)窮多次測(cè)量結(jié)果(總體)中的一個(gè)。通過(guò)有限次數(shù)的重復(fù)測(cè)量結(jié)果,對(duì)無(wú)窮多次測(cè)量結(jié)果進(jìn)行推斷,這就是計(jì)量學(xué)中對(duì)不確定度的a類評(píng)定方法。測(cè)量結(jié)果的個(gè)數(shù)(也可以是平均測(cè)量結(jié)果)越多,對(duì)總體的推斷越可靠,即通過(guò)它們所得出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差就越可靠,而測(cè)量結(jié)果應(yīng)該是彼此盡可能地獨(dú)立(往往不能充分獨(dú)立),即這些測(cè)量結(jié)果彼此沒(méi)有共同的、不變的、導(dǎo)致不確定度的因素。在整個(gè)測(cè)量程序中,一切應(yīng)該重復(fù)調(diào)整的環(huán)節(jié)均應(yīng)重復(fù)調(diào)整。這樣得出測(cè)量結(jié)果之間的分散性,往往不會(huì)是單一隨機(jī)效應(yīng)所導(dǎo)致,而是若干條件下隨機(jī)效應(yīng)的綜合。

1.1 a類評(píng)定的基本方法

對(duì)于一個(gè)被測(cè)量y來(lái)說(shuō),在重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下進(jìn)行獨(dú)立的重復(fù)測(cè)量,按這樣的測(cè)量列用貝塞爾公式計(jì)算出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(y)也就是a類標(biāo)準(zhǔn)不確定度,即s(y)=u(y),其自由度ν=n-l。所有用a類評(píng)定方法得出的不確定度也可按合成不確定度的計(jì)算方法計(jì)算成a類評(píng)定不確定度的合成不確定度νca[1]。由于在實(shí)際測(cè)量工作中重復(fù)條件不易保證,其中很主要的問(wèn)題 在于觀測(cè)人員的疲勞和測(cè)量環(huán)境條件的不穩(wěn)定而導(dǎo)致重復(fù)的測(cè)量次數(shù)n往往極小,當(dāng)然計(jì)算出s的ν就很小,且不可靠。這樣得出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s稱為組合實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差,又稱為合并樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差(pooled experimen-tal standard deviation),它等于組合方差的正根。一般用sp表示。sp的估計(jì)往往是由多個(gè)被測(cè)量在重復(fù)條件下所得到多個(gè)測(cè)量列得出的,也可以通過(guò)兩組測(cè)量?jī)x器 在重復(fù)條件下測(cè)得值之差來(lái)計(jì)算。

1.2 a類評(píng)定的其他簡(jiǎn)化方法

以下的幾種簡(jiǎn)化方法是以測(cè)量結(jié)果接近正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。由于測(cè)量?jī)x器的示值分布多種多樣,而且差不多都與正態(tài)分布相距甚遠(yuǎn)。但是,如果用三次或四次重復(fù)條件下測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值作為一個(gè)測(cè)量結(jié)果,則該測(cè)量結(jié)果就很接近正態(tài)分布了。這樣測(cè)量列的數(shù)目n不應(yīng)小于5個(gè)這樣的平均結(jié)果[2]。

(1)最大殘差法

式中:|ν|為測(cè)量列的殘差絕對(duì)值;max|ν|為所有殘差中絕對(duì)值最大的;cn為所用與n有關(guān)的一個(gè)因數(shù),n可由表1查出。

(2)極差法

極差r為測(cè)量列中最大最小測(cè)量結(jié)果之差:

式中:dn是與n有關(guān)的一個(gè)系數(shù),可由表2查出。

(3)彼得斯法

(4)分組極差法

對(duì)某一被測(cè)量按n次得到一組測(cè)量列,其中可得出這一列的極差。這樣的獨(dú)立測(cè)量共進(jìn)行了m組(也可以是m個(gè)被測(cè)量的各一組),因此共有m個(gè)極差。取這些極差的平均值r:

以上用四種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法所得s均為σ的無(wú)偏估計(jì)。最大殘差法、彼得斯法和極差法所得s的自由度均小于n-1,按來(lái)計(jì)算。

例:在測(cè)長(zhǎng)儀上對(duì)長(zhǎng)度為150 mm左右的棒進(jìn)行測(cè)量,在用測(cè)長(zhǎng)儀上給出的標(biāo)準(zhǔn)短標(biāo)尺的修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正后,其他不確定度分量均可忽略不計(jì),而主要只有測(cè)量結(jié)果的分散性為其測(cè)量不確定度。在重復(fù)條件下的8次測(cè)量結(jié)果如表3所示。

表3 測(cè)量結(jié)果

測(cè)長(zhǎng)儀給出的修正值:k=+0.06 mm

修正后的測(cè)量結(jié)果為:

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s按貝塞爾公式計(jì)算:

這是單次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差。對(duì)于算術(shù)平均值來(lái)說(shuō)(這里l為測(cè)量結(jié)果),其標(biāo)準(zhǔn)偏差為:

既可以認(rèn)為它是這一測(cè)量程序的重復(fù)性,也可以認(rèn)為它是a類標(biāo)準(zhǔn)的不確定度。如果其他不確定度分量可以忽略,則它乘以某個(gè)覆蓋因子k后,即成為擴(kuò)展不確定度u。在這個(gè)例子中0.03 mm所包含的隨機(jī)效應(yīng)所帶來(lái)的不確定度分量實(shí)際并不只是一個(gè),而是多個(gè)合成s(l)的自由度ν與用于計(jì)算s(l)的單次測(cè)量s(li)的自由度相同,均為8-1=7。

2 不確定度的b類評(píng)定

b類評(píng)定中所依據(jù)的如:計(jì)量器具的檢定證書、標(biāo)準(zhǔn)、技術(shù)規(guī)范、手冊(cè)上所提供的技術(shù)數(shù)據(jù),往往是國(guó)際上所公布的常量與常數(shù)等。但這類信息也是通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法得出的,只不過(guò)是給出的信息不全,不能滿足實(shí)驗(yàn)人員直接用作測(cè)量不確定度的一個(gè)分量(分量一定要用類似或相當(dāng)于a類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量所用的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差給出),如只給出了一個(gè)極大值和極小值,即真值所處范圍,而未提供其分布以及自由度的大小。根據(jù)現(xiàn)有信息對(duì)這一分量進(jìn)行評(píng)定,包括近似的相應(yīng)方差或標(biāo)準(zhǔn)偏差以及相應(yīng)的自由度,就是不確定度b類分量的評(píng)定。

b類評(píng)定與實(shí)驗(yàn)人員的經(jīng)驗(yàn)有關(guān),因而有可能不同人員有不同的結(jié)論。這樣估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度(type b standard uncertainty)。全部這類不確定度分量的合成,稱為b類合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ucb(y)[1]。在不確定度的b類評(píng)定方法中,對(duì)于信息只給出了極大、極小這兩個(gè)極限值的情況下,如何考慮其概率分布的問(wèn)題是比較重要的。根據(jù)一些研究報(bào)告,有以下一些情況:軸尖支承式儀表的示值誤差分布介于正態(tài)分布與均勻分布之間;數(shù)字電壓表的示值誤差分布呈雙峰狀態(tài);磁電系儀表的示值分布與正態(tài)分布相差甚遠(yuǎn)。因此,對(duì)于一般計(jì)量器具來(lái)說(shuō),其示值的誤差分布據(jù)中心極限定理,盡管y的測(cè)得值y的概率分布多種多樣,但只要有足夠的重復(fù)的次數(shù)(一般n≥4),其y的慨率分布就趨近正態(tài)。如果y受多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)影響量的影響,雖然這些影響量變化的概率分布可能各不相同,但當(dāng)每個(gè)變量的影響均很小時(shí),y的隨機(jī)變化也將服從正態(tài)分布。此外,如果有4個(gè)以上大小相差并不太懸殊(例如:最大者與最小者之比小于或等于2)變量的概率分布,則也可認(rèn)為合成分布是趨近正態(tài)的。

一般來(lái)說(shuō),在缺乏任何其他信息的情況下,假設(shè)它為均勻分布(或稱矩形分布,rectangular distribution)。

(1)通過(guò)擴(kuò)展不確定度u或up以及包含因子k或kp評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度

如果xi的估計(jì)值來(lái)源于制造廠的技術(shù)說(shuō)明書、檢定證書、手冊(cè)或其他技術(shù)文件,在這些資料中給出了其擴(kuò)展不確定度u,并指明所用k值的大小(2或3)時(shí),則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

例:校準(zhǔn)證書上指明標(biāo)稱值為10ω標(biāo)準(zhǔn):電阻rs值(10.000 74±0.000 13)ω,并指明正負(fù)號(hào)后給出的值為擴(kuò)展不確定度u99,則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度:

(2)用數(shù)學(xué)方法的評(píng)定

數(shù)字式測(cè)量?jī)x器分辨力是此類儀器示值不確定度的組成之一。例如即使重復(fù)指示都很理想,重復(fù)性所貢獻(xiàn)的測(cè)量不確定度仍不會(huì)為零,因輸入儀器的信號(hào)在某個(gè)給定區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),示值并不會(huì)發(fā)生變化。如指示裝置的分辨力(resolution)為δx(一般稱之為步進(jìn)量),產(chǎn)生某一指示值x的激勵(lì)源值在x-(δx/2)~x+(δx/2)區(qū)間內(nèi)可以是任意的,且概率相等,因而可以考慮它是一個(gè)寬δx的矩形分布,其半寬a =0.5δx,標(biāo)準(zhǔn)不確定度。測(cè)量?jī)x器的滯后(hystere-sis)現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致類似的不確定度。一臺(tái)儀器的示值在連續(xù)讀數(shù)時(shí)可能按一個(gè)固定的或已知的量增加或減少,有經(jīng)驗(yàn)的觀測(cè)人員可按讀數(shù)情況采取適當(dāng)?shù)男拚?但滯后現(xiàn)象并非總是能觀察出的,有可能測(cè)量?jī)x器在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)振蕩,使示值與最終接近平衡點(diǎn)的方向有關(guān)。

如果由于這一效應(yīng)導(dǎo)致的可能讀數(shù)范圍是δx,則方差仍是標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=0.29δx量值的修正所帶來(lái)的不確定度與對(duì)量值采用的修正間隔有關(guān)。設(shè)修正間隔為δx,通過(guò)修正導(dǎo)致的最大可能修正誤差之模為0.5δx,即半個(gè)修正間隔,并可以估計(jì)在由0.5δx所構(gòu)成的區(qū)間內(nèi),其分布為矩形,從而得出方差標(biāo)準(zhǔn)不確定度u =0.29δx。例:某觀測(cè)人員測(cè)量一零件的長(zhǎng)度以p=0.5的概率處于10.07~10.15 mm范圍,并給出l=10.11±0.04 mm,意味著0.04 mm為p=0.5置信區(qū)間的半。假設(shè)l可能值為正態(tài)分布,則標(biāo)準(zhǔn)不確定度:u(l)=0. 04×1. 48 0. 06 mm,因此估計(jì)方差:

u2(l) = (0.04×1.48)2=3.5×10-3mm2

3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定分為相關(guān)與不相關(guān)的輸入量。在把各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度綜合為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí),要考慮這些分量之間的相關(guān)性。在兩個(gè)隨機(jī)變量之間,當(dāng)它們變化時(shí),如果表現(xiàn)出存在某種相依的關(guān)系,這種關(guān)系往往是并非其中某一個(gè)為自變量,而另一個(gè)為因變量,而是由于它們?cè)谀撤N程度上受同一量的影響而導(dǎo)致看起來(lái)似乎是相依的。在這種情況下這兩個(gè)量就是相關(guān)的或非獨(dú)立的。例如:都是由于溫度所引起的兩個(gè)不確定度分量,由于同一觀測(cè)人員所導(dǎo)致的兩個(gè)不確定度分量是由同一標(biāo)準(zhǔn)儀器所產(chǎn)生的兩個(gè)不確定度分量。當(dāng)然這樣的情況,也可以存在于多個(gè)分量之間。有時(shí)兩個(gè)本來(lái)并不相關(guān)的變量,因?yàn)閷?duì)它們都進(jìn)行了溫度修正,而這個(gè)修正的依據(jù)是由同一溫度計(jì)測(cè)出的,則他們的修正量就相關(guān)了,而且修正后的這兩個(gè)變量也相關(guān)了。大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)