基于FFT的信號(hào)分析和測量基礎(chǔ)

時(shí)間：2018-06-25 15:00:19

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[導(dǎo)讀] 1. 基本信號(hào)分析計(jì)算分析信號(hào)的基本計(jì)算包括：將雙邊功率譜轉(zhuǎn)換為單邊功率譜、調(diào)整頻率精度并繪制頻譜、使用FFT，以及將功率和振幅轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)單位。功率譜返回一個(gè)數(shù)組，包含時(shí)域信號(hào)的雙邊功

1. 基本信號(hào)分析計(jì)算

分析信號(hào)的基本計(jì)算包括：將雙邊功率譜轉(zhuǎn)換為單邊功率譜、調(diào)整頻率精度并繪制頻譜、使用FFT，以及將功率和振幅轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)單位。

功率譜返回一個(gè)數(shù)組，包含時(shí)域信號(hào)的雙邊功率譜。該數(shù)組的值與組成時(shí)域信號(hào)的每個(gè)頻率分量的幅值平方成正比。雙邊功率譜的一條曲線顯示正負(fù)極頻率分量的高度為

其中Ak代表正弦分量在頻率k處的峰值振幅。DC分量的高度為A02，其中A0代表信號(hào)中DC分量的振幅。

圖1顯示了時(shí)域信號(hào)的功率譜，包含一個(gè)128 Hz的3 Vrms正弦波、一個(gè)256 Hz的3 Vrms正弦波和一個(gè)2 VDC的DC分量。3 Vrms正弦波的峰值電壓為3.0，約等于4.2426 V。通過基本FFT函數(shù)計(jì)算得出功率譜。關(guān)于該方程的實(shí)例，請(qǐng)參考本應(yīng)用筆記的使用FFT計(jì)算章節(jié)。

圖1.信號(hào)的雙邊功率譜

關(guān)于功率譜的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的功率譜章節(jié)。

將雙邊功率譜轉(zhuǎn)換為單邊功率譜

大多數(shù)真實(shí)世界的頻率分析儀器只顯示頻率譜的正極，因?yàn)檎鎸?shí)世界的信號(hào)是以DC為中心對(duì)稱的。因此無需再顯示負(fù)極的頻率信息。圖1顯示了分析函數(shù)的雙邊結(jié)果，先是圖譜的正極，然后是負(fù)極。

在雙邊頻譜中，一半的能量顯示在正頻率，另一半能量顯示在負(fù)頻率。因此，若需將雙邊頻譜轉(zhuǎn)換為單邊頻譜，只要舍棄數(shù)組的第二部分，并將除DC外的每個(gè)點(diǎn)乘以2。

其中SAA(i)代表雙邊功率譜，GAA(i)代表單邊功率譜，N代表雙邊功率譜的長度。雙邊功率譜SAA

的余數(shù)為

單邊功率譜的非DC值的高度為

等于

其中

為正弦分量在頻率k處的均方根(rms)。因此，功率譜的單位通常被稱為數(shù)量平方均方根，其中數(shù)量是時(shí)域信號(hào)的單位。例如，電壓波形的單邊功率譜單位為伏特均方根的平方。

圖2顯示信號(hào)的單邊功率譜，其雙邊功率譜見圖1。

圖2.圖1中信號(hào)的單邊功率譜

可見，非DC頻率分量的高度是圖1中的兩倍，而頻率譜的頻率只有圖1中的一半。

關(guān)于功率譜的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的功率譜章節(jié)。

調(diào)整頻率精度并繪制圖譜

圖1和圖2顯示了時(shí)域信號(hào)的功率和頻率。頻譜曲線x軸的頻率范圍和精度取決于采樣率以及采集到的點(diǎn)的數(shù)量。圖2中，頻率點(diǎn)或線的數(shù)量等于

其中N為所采集時(shí)域信號(hào)中點(diǎn)的數(shù)量。第一條頻率線位于0 Hz，即DC。最后一條頻率線位于

其中Fs是采樣時(shí)域信號(hào)時(shí)的頻率。頻率線出現(xiàn)的間隔為f，其中

也可將頻率線稱為頻率倉或FFT倉，因?yàn)槟蓪FT看做一系列帶寬為f的并行濾波器，以各頻率為中心，增幅如下：

f的另一種計(jì)算方法是：

其中t為采樣周期。因此是包含所采集時(shí)域信號(hào)的時(shí)間記錄的長度。圖1和圖2中的信號(hào)包含1,024個(gè)在1.024 kHz時(shí)采樣的點(diǎn)，產(chǎn)生的f = 1 Hz，且頻率范圍為DC至511 Hz。

頻率軸的計(jì)算表明，采樣頻率決定頻譜的頻率范圍或帶寬，且對(duì)于一個(gè)給定的采樣頻率，在時(shí)域信號(hào)記錄中的采樣點(diǎn)的數(shù)量決定精度頻率。為了提高給定頻率范圍的頻率精度，可增加相同采樣頻率下采樣點(diǎn)的數(shù)量。例如，在1.024 kHz下采集2,048個(gè)點(diǎn)，將產(chǎn)生f = 0.5 Hz，頻率范圍為0至511.5 Hz。而如果在10.24 kHz下采集1,024個(gè)點(diǎn)，則f = 10 Hz，頻率范圍為0至5.11 kHz。

使用FFT計(jì)算

功率譜將功率顯示為每條頻率線上的均方振幅，但不包括相位信息。由于功率譜丟失了相位信息，您需要使用FFT查看信號(hào)的頻率和相位信息。

FFT產(chǎn)生的相位信息是相對(duì)于時(shí)域信號(hào)起始的相位。因此，您必須從信號(hào)的同一點(diǎn)進(jìn)行觸發(fā)，以獲得連續(xù)的相位讀數(shù)。正弦波在正弦波頻率上顯示一個(gè)-90°的相位。余弦波顯示0°的相位。很多情況下，您關(guān)心的是分量間的相對(duì)相位，或兩個(gè)同時(shí)采集的信號(hào)間的相位差。您可使用高級(jí)FFT函數(shù)查看兩個(gè)信號(hào)間的相位差。關(guān)于這些函數(shù)的詳細(xì)描述，請(qǐng)查看本應(yīng)用筆記的基于FFT的網(wǎng)絡(luò)測量章節(jié)。

FFT返回復(fù)數(shù)形式的雙邊譜（包含實(shí)部和虛部），您必須縮放并轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式以獲得幅值和相位。其頻率軸與雙邊功率譜中的相同。FFT的振幅與時(shí)域信號(hào)中點(diǎn)的數(shù)量相關(guān)。使用下列公式計(jì)算FFT中頻率的振幅和相位。

其中，反正切函數(shù)返回的相位值在 -至+之間，全量程2弧度。使用反正切至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換函數(shù)，將復(fù)數(shù)數(shù)組

轉(zhuǎn)換為振幅(r)和相位(ø)，與使用之前的公式等價(jià)。

雙邊振幅譜實(shí)際上顯示了正極和負(fù)極頻率上一半的峰值振幅。如需轉(zhuǎn)換為單邊形式，可將除DC外的每個(gè)頻率乘以2，并舍棄數(shù)組的后半部分。這時(shí)，單邊振幅譜的單位達(dá)到量的峰值，并顯示組成時(shí)域信號(hào)的每個(gè)正弦分量的峰值振幅。對(duì)于單邊相位譜，舍棄數(shù)組的后半部分。

若需以伏特（或其他量）rms查看振幅譜，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)換為單邊形式，然后將非DC分量除以根號(hào)2。由于非DC分量在從雙邊轉(zhuǎn)裝換為單邊的過程中乘以了2，您可從雙邊振幅譜直接計(jì)算rms振幅譜，方法是將非DC分量乘以根號(hào)2，并舍棄數(shù)組的后半部分。下列公式顯示了將雙邊FFT轉(zhuǎn)換為單邊振幅譜的完整計(jì)算過程。

其中i是A的FFT的頻率線數(shù)（數(shù)組索引）。

以伏特rms為單位的振幅顯示了時(shí)域信號(hào)每個(gè)正弦分量的方均根電壓。

可使用以下公式，以角度形式查看相位譜。

振幅譜和功率譜關(guān)系密切。將單邊方均根振幅譜平方，便可得到單邊功率譜。反之，將功率譜開平方，便可得到振幅譜。雙邊功率譜實(shí)際上是通過以下FFT計(jì)算得出的。

其中FFT*(A)表示FFT(A)的復(fù)共軛。舍棄FFT(A)的虛部，便可得到復(fù)共軛。

在LabVIEW和LabWindows/CVI中使用FFT時(shí)，注意功率譜的速度和FFT計(jì)算取決于采集到的點(diǎn)的數(shù)量。若N可以分解為小素?cái)?shù)，LabVIEW和LabWindows/CVI將使用高效的Cooley-Tukey混合基FFT算法。其他情況下（大素?cái)?shù)時(shí)），LabVIEW采用其他算法計(jì)算離散傅立葉變換(DFT)，通常需要消耗更長的時(shí)間。例如，計(jì)算1000點(diǎn)和1024點(diǎn)FFT的時(shí)間幾乎相同，而計(jì)算1023點(diǎn)FFT可能需要兩倍的時(shí)間。經(jīng)典臺(tái)式儀器使用1,024和2,048點(diǎn)的FFT。

現(xiàn)在，您了解的顯示單位包括電壓峰值、伏特方均根和伏特方均根平方，伏特方均根等于均方伏特。某些頻譜顯示中，Vrms符號(hào)省略了rms，用V表示Vrms，V2表示Vrms2，即均方伏特。

關(guān)于使用FFT進(jìn)行計(jì)算的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的計(jì)算幅度譜和相位譜章節(jié)。

轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)單位

通常，振幅或功率譜以對(duì)數(shù)單位分貝(dB)的形式顯示。該測量單位有助于查看寬動(dòng)態(tài)范圍，即可在存在較大信號(hào)分量時(shí)方便地查看小信號(hào)分量。分貝是比例單位，其計(jì)算方式如下。

其中P是測量功率，Pr是參考功率。

使用下列公式從振幅值計(jì)算分貝值。

其中A是測量振幅，Ar是參考振幅。

使用振幅或功率作為同一信號(hào)的振幅平方時(shí)，結(jié)果分貝水平是完全一致的。將分貝比乘以2，等同于將比例平方。因此，無論使用振幅或功率譜，都將得到相同的分貝水平和顯示。

從之前的功率和振幅公式可以看出，測量分貝必須提供參考。該參考將對(duì)應(yīng)為0 dB水平。這里涉及多種慣例。其中一個(gè)常見慣例是，使用參考1 Vrms作為振幅，或1 Vrms平方作為功率，產(chǎn)生的單位是dBV或dBVrms。此時(shí)，1 Vrms對(duì)應(yīng)0 dB。dB的另一個(gè)常見形式是dBm。當(dāng)負(fù)載的無線電頻率為50時(shí)，0 dB為0.22 Vrms；當(dāng)無線電頻率為600時(shí)，0 dB為0.78 Vrms。

關(guān)于轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)單位的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)單位章節(jié)。

2. 基于FFT的信號(hào)分析采用的抗混疊和采集前端方法

基于FFT的測量要求將連續(xù)信號(hào)數(shù)字化。根據(jù)奈奎特準(zhǔn)則，采樣頻率Fs必須至少是信號(hào)中最大頻率分量的兩倍。若違反該準(zhǔn)則，將發(fā)生混疊。圖3顯示了一個(gè)正確采樣的信號(hào)和欠采樣的信號(hào)。欠采樣的例子中，產(chǎn)生了一個(gè)混疊信號(hào)，表現(xiàn)出比實(shí)際信號(hào)更低的頻率。

圖3.正確及不正確的信號(hào)采樣

違反奈奎特準(zhǔn)則時(shí)，高于采樣頻率一半的頻率分量表現(xiàn)為低于采樣頻率一半的頻率分量，錯(cuò)誤地表現(xiàn)了信號(hào)。例如，頻率為

的分量表現(xiàn)出的頻率為Fs- f0。

圖4顯示的是以100 Hz的頻率采樣真實(shí)分量為25、70、160和510 Hz的信號(hào)時(shí)出現(xiàn)的混疊頻率?；殳B頻率表現(xiàn)為10、30和40 Hz。

圖4.以100 Hz的頻率采樣大于等于50 Hz的頻率分量時(shí)產(chǎn)生的混疊頻率

將信號(hào)數(shù)字化前，可通過抗混疊濾波器消除混疊，將大于等于采樣頻率一半的頻率分量降低至低于數(shù)模轉(zhuǎn)換器(ADC)的動(dòng)態(tài)范圍的水平。例如，若數(shù)字化儀的全量程范圍為80 dB，大于等于采樣頻率一半的頻率分量必須降低至全量程一下80 dB的范圍內(nèi)。

更高的頻率分量不影響測量。若您知道被測信號(hào)的頻率帶寬低于采樣頻率的一半，可選擇不使用抗混疊濾波器。圖5顯示了National Instruments PCI-4450系列動(dòng)態(tài)信號(hào)采集板卡的輸入頻率響應(yīng)，帶抗混疊濾波器。注意大于等于采樣頻率一半的輸入信號(hào)被極大地減弱了。

圖5.PCI-4450系列輸入與頻率的帶寬，歸一化為采樣率

采集前端的限制

除了減少大于等于采集頻率一半的頻率分量，您使用的采集前端還會(huì)在采集頻率一半以下引入某些帶寬限制。為了將大于等于采樣率一半的信號(hào)減少至測量范圍以下，抗混疊濾波器將在采樣率一半以下的某點(diǎn)開始降低頻率。因?yàn)檫@些濾波器降低了頻譜最高頻率的部分，特別是當(dāng)您需要將圖表限制到對(duì)測量有效的帶寬時(shí)。

例如，在圖5的PCI-4450系列中，振幅平整度保持在±0.1 dB以內(nèi)，對(duì)所有增益設(shè)置保持在采樣頻率的0.464至20 kHz之間，+1 dB至95 kHz，接著輸入增益開始降低。輸入的-3 dB點(diǎn)（或半功率帶寬）出現(xiàn)在輸入頻譜的0.493處。因此，您可選擇只顯示輸入頻譜的0.464，而不是顯示一直到采樣頻率一半的輸入頻譜。方法是將采集到的點(diǎn)數(shù)分別乘以0.464，計(jì)算需要顯示的頻率線數(shù)。

信號(hào)采集前段的特征將影響測量。National Instruments PCI-4450系列動(dòng)態(tài)信號(hào)采集板卡和NI 4551/NI 4552動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀是出色的采集前端，可進(jìn)行基于FFT的信號(hào)分析測量。這些板卡使用delta-sigma模塊化技術(shù)，提供優(yōu)秀的振幅平整度、高性能抗混疊濾波器以及圖5中所示的寬動(dòng)態(tài)范圍。為獲得良好的多通道測量性能，同時(shí)也將對(duì)輸入通道進(jìn)行采樣。

采樣頻率為51.2 kHz時(shí)，這些板卡可進(jìn)行的頻率測量范圍為DC至23.75 kHz。DC至23.75 kHz的振幅平整度為最大±0.1 dB。關(guān)于這些板卡的更多信息，請(qǐng)參考PCI-4451/4452/4453/4454用戶手冊(cè)。

計(jì)算給定采樣頻率的測量帶寬或線數(shù)

動(dòng)態(tài)信號(hào)采集板卡在數(shù)字化過程中內(nèi)置了抗混疊濾波器。此外，截止濾波器頻率隨采樣率縮放，以符合圖5所示的奈奎特準(zhǔn)則。這些板卡上抗混疊濾波器的快速截止表明，在1,024點(diǎn)的基于FFT的頻譜中，有用的頻率線為475線，其振幅平整性為±0.1 dB。

計(jì)算給定采樣頻率的測量帶寬的方法是，將平整性為±0.1 dB的采樣頻率乘以0.464。另外，F(xiàn)FT越大，頻率線的數(shù)量越大。2,048點(diǎn)的FFT將產(chǎn)生上例中兩倍的線數(shù)?？煞謩e與典型臺(tái)式儀器對(duì)比，它們對(duì)1,024點(diǎn)FFT有400條有用線，對(duì)2,048點(diǎn)FFT有800條有用線。

動(dòng)態(tài)范圍規(guī)范

PCI-4450系列板卡的信噪比(SNR)為93 dB。SNR的定義為

其中Vs和Vn分別是信號(hào)和噪音的rms振幅。通常會(huì)為SNR指定帶寬。這里，帶寬指的是板卡輸入的頻率范圍，與圖5所示的采樣率有關(guān)。96 dB的SNR意味著您可以檢測到小至板卡全量程范圍以下93 dB的頻率分量。這是因?yàn)橛刹杉岸艘鸬目傒斎朐胍羲綖榘蹇ㄈ砍梯斎敕秶韵碌?3 dB。

若您監(jiān)測的是窄帶寬信號(hào)（即信號(hào)能量集中在窄帶寬頻率內(nèi)），您可以檢測到低于-93 dB的信號(hào)。這是因?yàn)榘蹇ǖ脑胍裟芰吭谡麄€(gè)輸入頻率范圍內(nèi)散發(fā)開了。關(guān)于窄帶和寬帶水平的更多信息，請(qǐng)參考本應(yīng)用筆記的計(jì)算噪聲水平和功率譜密度章節(jié)。

動(dòng)態(tài)信號(hào)采集板卡的無雜波動(dòng)態(tài)范圍是95 dB。除了輸入噪聲，由于諧波或模塊間失真，采集前端還可能將雜波頻率引入測量的頻譜。95 dB的水平意味著，任何雜波頻率在至少比板卡全量程輸入范圍低95 dB。

信號(hào)對(duì)總諧波失真(THD)加信噪比（排除模塊間失真）在0至20 kHz時(shí)為90 dB。THD測量的是由采集前端的非線性行為引入信號(hào)的失真量。該諧波失真表現(xiàn)為諧波能量，附加在輸入信號(hào)每個(gè)離散頻率分量的頻譜上。

這些板卡的寬動(dòng)態(tài)范圍規(guī)范主要是由16位精度ADC導(dǎo)致的。圖6顯示了PCI-4450系列動(dòng)態(tài)范圍的典型頻譜圖，輸入了一個(gè)全量程的997 Hz信號(hào)?？梢钥吹?97 Hz輸入信號(hào)的諧波、本底噪音及其他雜波頻率都低于95 dB。作為對(duì)比，臺(tái)式儀器的動(dòng)態(tài)范圍規(guī)范通常在70至80 dB之間，使用12位和13位 ADC技術(shù)。

圖6.PCI-4450系列頻譜圖，輸入信號(hào)997 Hz，全量程（全量程 = 0 dB）

3. 正確使用窗口

簡介部分提到，基于FFT的測量關(guān)鍵在于正確使用窗口。本章將介紹頻譜泄漏、窗口的作用、選擇窗口的策略以及縮放窗口的重要性。

頻譜泄漏

對(duì)于精確頻譜測量，使用合適的信號(hào)采集技術(shù)無法獲得合理縮放的單邊譜。您可能會(huì)遇到頻譜泄漏。頻譜泄漏是由FFT算法中的一個(gè)假設(shè)導(dǎo)致的，即持續(xù)精確地重復(fù)時(shí)間記錄，且時(shí)間記錄中包含的信號(hào)在對(duì)應(yīng)時(shí)間記錄長度的間隔內(nèi)呈周期性。若時(shí)間記錄的周期數(shù)為非整數(shù)，便違反該假設(shè)，導(dǎo)致頻譜泄漏。另一種看法是，信號(hào)的非整數(shù)周期頻率分量未與頻譜頻率線之一精確吻合。

您僅可在兩種情況下保證獲得整數(shù)周期。第一種情況是，您對(duì)測量的信號(hào)進(jìn)行同步采樣，因此可按需獲取整數(shù)周期。

另一種情況是，您捕獲的瞬時(shí)信號(hào)可完全融入時(shí)間記錄。但是，多數(shù)情況下，您測量的未知信號(hào)是平穩(wěn)的，即該信號(hào)在采集前、中、后都存在。這時(shí)，您就無法保證采樣的是整數(shù)周期。頻譜泄漏對(duì)測量造成干擾，來自給定頻率分量的能量將分散至相鄰的頻率線或倉。您可使用窗口，將在非整數(shù)周期內(nèi)進(jìn)行FFT產(chǎn)生的效果最小化。

圖7顯示了3種不同窗口的效果 -- 無（均勻）、Hanning（也稱為Hann）和Flat Top -- 圖中采集的周期是整數(shù)，256周期，1,024點(diǎn)記錄。注意，關(guān)注頻率周圍的窗口有一個(gè)主瓣。該主瓣是窗口的頻域特征。均勻窗口的瓣最低，而Hann和Flat Top窗口引入了一些散布。Flat Top窗口的主瓣最寬。對(duì)于整數(shù)周期，所有窗口都產(chǎn)生同樣的峰值振幅讀數(shù)，且振幅精確度優(yōu)良。

圖7還顯示了每種窗口在254 Hz至258 Hz頻率線處對(duì)應(yīng)的值。每種窗口在256 Hz時(shí)的幅值誤差為0 dB。圖表顯示的頻譜值為240至272 Hz。每種窗口（254至258 Hz時(shí)）在結(jié)果頻譜數(shù)組中的實(shí)際值顯示在圖表下方。f等于1 Hz。

圖7.1 Vrms信號(hào)在256 Hz時(shí)的功率譜，分別使用均勻、Hann和Flat Top窗口

圖8顯示了采集256.5周期時(shí)的泄漏效果。注意，非整數(shù)周期時(shí)，Hann和Flat Top窗口引入的頻譜泄漏遠(yuǎn)小于均勻窗口。另外，Hann和Flat Top窗口的幅值誤差也更小。Flat Top窗口展示了很好的幅值精確度，但其散布和旁瓣比Hann窗口更高。

圖8.1 Vrms信號(hào)在256.5 Hz時(shí)的功率譜，分別使用均勻、Hann和Flat Top窗口

除了造成幅值精確度誤差外，頻譜泄漏還會(huì)模糊臨近頻率峰值。圖9顯示兩個(gè)接近的頻率分量在未使用窗口和使用Hann窗口時(shí)的頻譜圖。

圖9.頻譜泄漏模糊臨近的頻率分量

關(guān)于頻譜泄漏的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的頻譜泄漏和加窗信號(hào)章節(jié)。

窗口特征

為了理解特定窗口如何影響頻譜，您需要了解更多關(guān)于窗口頻率特征的信息。輸入數(shù)據(jù)的加窗等同于用窗口的頻譜對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行卷積，如圖10所示。即使您沒有使用窗口，信號(hào)也會(huì)通過均勻高度的矩形窗口進(jìn)行卷積，這是在輸入信號(hào)的時(shí)間內(nèi)拍攝快照的本質(zhì)。該卷積擁有一個(gè)正弦函數(shù)特性頻譜。因此，不使用窗口通常被稱為均勻或矩形窗口，因?yàn)槿源嬖诖翱谛Ч?br />
窗口的實(shí)際圖表顯示，窗口的頻率特征是一個(gè)連續(xù)頻譜，含有一個(gè)主瓣和數(shù)個(gè)旁瓣。主瓣以時(shí)域信號(hào)的每個(gè)頻率分量為中心，旁瓣在主瓣兩邊接近零，間隔為

圖10.加窗頻譜的頻率特征

FFT產(chǎn)生離散的頻譜。FFT采樣的是連續(xù)的、周期性的頻譜，ADC也是以這種方式采樣時(shí)域信號(hào)的。出現(xiàn)在FFT各條頻率線的是在每條FFT頻率線的連續(xù)卷積頻譜的值。有時(shí)稱之為柵格效應(yīng)，因?yàn)镕FT的結(jié)果類似于透過柵格查看連續(xù)的加窗頻譜，柵格的間隔對(duì)應(yīng)于頻率線。

若原始信號(hào)的頻率分量正好符合一條頻率線，就像您獲得了整數(shù)次周期，您將只看到頻譜的主瓣。不出現(xiàn)旁瓣，因?yàn)榇翱诘念l譜在主瓣兩側(cè)接近零，間隔為f。圖7顯示的就是這種情況。

若時(shí)間記錄不包含整數(shù)個(gè)周期，窗口的連續(xù)頻譜將偏離主瓣中心f個(gè)部分，對(duì)應(yīng)于頻率分量和FFT線頻率之間的差。該偏移將使旁瓣出現(xiàn)在頻譜中。此外，頻率峰值處有一些幅值誤差，如圖8所示。因?yàn)橹靼瓴蓸訒r(shí)偏離了中心（頻譜遭到了污染）。

圖11顯示了更詳細(xì)的窗口頻譜特征。窗口的旁瓣特征直接影響到相鄰頻率分量影響（泄漏到）相鄰頻率區(qū)間的程度。一個(gè)強(qiáng)正弦信號(hào)的旁瓣響應(yīng)可能超過附近的一個(gè)弱正弦信號(hào)的主瓣響應(yīng)。

圖11.窗口的頻率響應(yīng)

窗口頻譜的另一個(gè)重要特征是主瓣寬度。加窗信號(hào)的頻率精度受限于窗口頻譜的主瓣寬度。因此，窗口分辨兩個(gè)相鄰頻譜分量的能力與主瓣寬度成反比。隨著主瓣變窄且頻域分辨率增加，窗口能量將擴(kuò)散到旁瓣中去，加劇了頻譜泄漏。一般需要在抑制泄漏和頻譜精度間進(jìn)行取舍。

關(guān)于窗口特性的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的加窗信號(hào)和不同平滑窗口的特性章節(jié)。

定義窗口特征

為了簡化選擇窗口的過程，您需要定義一系列特征，以便比較不同的窗口。圖11顯示了典型窗口的頻譜。為了描述主瓣形狀的特征，我們定義了-3 dB和-6 dB作為主瓣（在FFT區(qū)間或頻率線中）的寬度，其中窗口響應(yīng)分別變成主瓣峰值增益的0.707 (-3 dB)和0.5 (-6 dB)。

為了描述窗口旁瓣的特征，我們定義了最大旁瓣水平和旁瓣下降率。旁瓣的最大值是與主瓣峰值增益相對(duì)的最大旁瓣分貝值。旁瓣下降率是從旁瓣峰值開始每衰減10Hz的漸近衰減率的分貝值。表1列舉了多種窗口函數(shù)的特征及其對(duì)頻譜泄漏和精度的影響。

表1.窗口函數(shù)的特征

窗口

-3 dB主瓣寬度（區(qū)間）

-6 dB主瓣寬度（區(qū)間）

最大旁瓣水平(dB)

旁瓣下降率(dB/decade)

均勻（無）

0.89

1.21

-13

Hanning (Hann)

1.44

2.00

-31

Hamming

1.30

1.82

-43

Blackman-Harris

1.62

2.27

-71

Exact Blackman

1.61

2.25

-68

Blackman

1.64

2.30

-58

Flat Top

3.72

4.58

-93

關(guān)于窗口特征的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的不同平滑窗口的特征章節(jié)。

選擇窗口的策略

每種窗口有其自身特性，不同的窗口用于不同的應(yīng)用。選擇頻譜窗口時(shí)，必須估計(jì)信號(hào)頻率內(nèi)容。若信號(hào)包含離關(guān)注頻率很遠(yuǎn)的強(qiáng)干擾頻率分量，請(qǐng)選擇高旁瓣下降率的窗口。若在關(guān)注頻率附近存在強(qiáng)干擾信號(hào)，請(qǐng)選擇最大旁瓣水平較低的窗口。

若關(guān)注頻率包含兩個(gè)或以上互相非常接近的信號(hào)，頻譜精度就變得重要。這時(shí)，最好選擇主瓣非常狹窄的窗口。若特定頻率區(qū)間中，單個(gè)頻率分量的幅值精度比該分量的精確位置更重要，請(qǐng)選擇主瓣較寬的窗口。若信號(hào)頻譜的頻率內(nèi)容較為平坦或?qū)拵?，?qǐng)使用均勻窗口（即無窗口）。通常來說，Hann窗口能滿足95%的情況。它擁有良好的頻率精度，并能減少頻譜泄漏。

Flat Top窗口的幅值精確度良好，但由于主瓣較寬，其頻率精度較差，且頻譜泄漏較多。Flat Top窗口的最大旁瓣水平低于Hann窗口，但Hann窗口的下降率較大。若您不了解信號(hào)內(nèi)容，但需要采用窗口，請(qǐng)首先使用Hann窗口。圖7和圖8對(duì)比了均勻、Hann和Flat Top窗口的不同特性。

若您分析的是瞬時(shí)信號(hào)，如沖擊和響應(yīng)信號(hào)，最好避免使用頻譜窗口，因?yàn)檫@些窗口會(huì)在采樣信號(hào)塊開始時(shí)減弱重要信息。請(qǐng)使用Force和指數(shù)窗口。Force窗用于分析沖擊模擬，因?yàn)樗苋コ盘?hào)末端的散雜信號(hào)。指數(shù)窗用于分析瞬時(shí)響應(yīng)信號(hào)，因?yàn)樗鼘p弱信號(hào)末端，以確保在采樣信號(hào)塊末端達(dá)到充分衰減。

選擇窗口函數(shù)并不簡單。事實(shí)上，并沒有通用的辦法。但是，表2能幫助您進(jìn)行初步的選擇。請(qǐng)比較不同窗口函數(shù)的性能，找到最適合應(yīng)用的一個(gè)。關(guān)于窗口的更多信息，請(qǐng)參考本應(yīng)用筆記結(jié)尾處的參考資料。

表2.根據(jù)信號(hào)內(nèi)容，初步選擇窗口

信號(hào)內(nèi)容

窗口

正弦波或正弦波組合 Hann 正弦波（幅值精確度優(yōu)先） Flat Top 窄帶隨機(jī)信號(hào)（振動(dòng)信號(hào)） Hann 寬帶隨機(jī)（白噪聲）均勻相鄰正弦波均勻，Hamming 激勵(lì)信號(hào)（槌擊） Force 響應(yīng)信號(hào) 指數(shù) 未知內(nèi)容 Hann

使用FFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)，窗口可有效降低頻譜泄漏。但是，由于疊加了采集的時(shí)域信號(hào)，窗口本身也帶來了失真效應(yīng)。窗口改變了信號(hào)的總幅值。產(chǎn)生圖7和圖8中曲線的窗口經(jīng)過了縮放，方法是將加窗數(shù)組除以窗口的相干增益。結(jié)果是，每個(gè)窗口在其精度限制內(nèi)產(chǎn)生了相同的頻譜幅值結(jié)果。

您可以將FFT看做一系列并行濾波器，每個(gè)帶寬為f。由于窗口的分散效應(yīng)，每個(gè)窗口會(huì)增加FFT的有效帶寬，該增量又稱為窗口的等效噪聲-功率帶寬。特定頻率峰值的功率計(jì)算方法是，累加峰值兩側(cè)的相鄰頻率區(qū)間，并通過窗口的帶寬放大。當(dāng)您根據(jù)頻譜進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須考慮到這種放大效果。關(guān)于范例計(jì)算，請(qǐng)參考“與頻譜相關(guān)的計(jì)算”章節(jié)。

表3列出了偏離中心的分量在多種常見窗口中造成的縮放因子（或相干增益）、噪聲功率帶寬以及最差峰值精確度。

表3.窗口的修正因子和最差幅值誤差

窗口

縮放因子
（相干增益）

噪聲功率
帶寬

最差幅值
誤差(dB)

均勻（無）

1.00

3.92

Hann

0.50

1.50

1.42

Hamming

0.54

1.36

1.75

Blackman-Harris

0.42

1.71

1.13

Exact Blackman

0.43

1.69

1.15

Blackman

0.42

1.73

1.10

Flat Top

0.22

3.77

< 0.01

關(guān)于窗口特性的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的不同平滑窗口的特征章節(jié)。

4. 與頻譜相關(guān)的計(jì)算

當(dāng)您擁有振幅或功率譜，就可以計(jì)算多種輸入信號(hào)的有用特征，如功率和頻率、噪聲水平及功率譜密度。

估算功率和頻率

之前的加窗范例顯示，若在兩條頻率線間存在頻率分量，該分量將顯示為散布在相鄰頻率線間的能量，振幅降低。實(shí)際峰值位于兩條頻率線之間。圖8中，256.5 Hz處的振幅誤差產(chǎn)生的原因是，窗口是在其主瓣周圍±0.5 Hz處采樣的，若是在中心采樣，振幅誤差將為0。這就是本應(yīng)用筆記的“窗口特征”章節(jié)解釋的柵格效應(yīng)。

您可估算離散頻率分量的實(shí)際頻率，精度大于FFT規(guī)定的f。方法是在功率譜中對(duì)波峰周圍的頻率進(jìn)行權(quán)重平均計(jì)算。

其中j是關(guān)注頻率的顯波峰的數(shù)組索引，且

區(qū)間j±3是合理的，因?yàn)樗砹吮却翱谥靼旮鼘挼纳⒉?，如?中所示。

類似地，您可估算特定峰值離散頻率分量的功率（以Vrms2為單位），方法是累加峰值附近區(qū)間中的頻率（計(jì)算峰值以下的區(qū)域）

注意，該方法僅對(duì)由離散頻率分量組成的頻譜有效，而對(duì)連續(xù)頻譜無效。另外，若6條線中含有兩個(gè)或以上頻率峰值，將使估算的功率變大，并歪曲實(shí)際頻率?？蓽p少先前計(jì)算散布的線的數(shù)量，以弱化該效應(yīng)的影響。若兩個(gè)峰值如此接近，它們很可能已經(jīng)因?yàn)轭l譜泄漏而互相干擾了。

類似地，若您希望總功率在特定的頻率范圍內(nèi)，可在頻率范圍內(nèi)計(jì)算每個(gè)區(qū)間的功率之和，并除以窗口的噪聲頻率帶寬。

關(guān)于估算功率和頻率的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的與頻譜相關(guān)的計(jì)算章節(jié)。

計(jì)算噪聲水平和功率譜密度

噪聲水平的測量依賴于測量的帶寬。查看功率譜的本底噪聲時(shí)，就是在查看每個(gè)FFT區(qū)間的窄帶噪聲水平。因此，給定功率譜的本底噪聲取決于頻譜的f，該項(xiàng)由采樣率和點(diǎn)的數(shù)量控制。換句話說，讀取每條頻率線的噪聲水平時(shí)，就像在該頻率線中心使用f Hz的濾波器進(jìn)行測量。因此，對(duì)于給定采樣率，將采集的點(diǎn)數(shù)翻倍會(huì)使出現(xiàn)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的噪聲功率降低3 dB。離散頻率分量理論上帶寬為0，因此不隨FFT的點(diǎn)數(shù)或頻率范圍進(jìn)行縮放。

計(jì)算SNR時(shí)，比較關(guān)注頻率中的峰值功率和寬帶噪聲水平。計(jì)算以Vrms2為單位的寬帶噪聲水平，方法是計(jì)算所有功率譜區(qū)間的總和，除去峰值和DC分量，并將總和除以窗口的等效噪音帶寬。例如，圖6中，本底噪聲顯示為大于全量程下120 dB，雖然PCI-4450系列動(dòng)態(tài)范圍僅為93 dB。若您計(jì)算所有區(qū)間的總和，減去DC、諧波或其他峰值分量，并除以所使用窗口的噪聲功率帶寬，相對(duì)于全量程的噪聲功率水平將為-93 dB左右。

由于噪聲水平隨f縮放，噪聲測量的頻譜通常顯示為稱作功率或振幅頻譜密度的歸一化形式。這將歸一化功率或振幅頻譜，使其可被1 Hz寬的方波濾波器測量，符合噪聲水平測量的規(guī)范。接著讀取每條頻率線的水平，就像通過以該頻率線為中心的1 Hz濾波器測量一樣。

功率譜密度的計(jì)算方法如下：

單位為：

振幅譜密度的計(jì)算方法如下：

單位為：

頻譜密度格式適用于隨機(jī)或噪聲信號(hào)，但不適用于離散頻率分量，因?yàn)楹笳呃碚撋蠋挒?。

關(guān)于計(jì)算噪聲水平和功率譜密度的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的與頻譜相關(guān)的計(jì)算章節(jié)。

5. 基于FFT的網(wǎng)絡(luò)測量

當(dāng)您了解如何處理FFT和功率譜計(jì)算，以及窗口對(duì)頻譜的影響，您就可以計(jì)算多種基于FFT的函數(shù)，它們對(duì)網(wǎng)絡(luò)分析非常有效。包括頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和相干函數(shù)。關(guān)于上述函數(shù)的更多信息，請(qǐng)參考本應(yīng)用筆記的“頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析”章節(jié)。關(guān)于Chirp信號(hào)和寬帶噪聲信號(hào)的更多信息，請(qǐng)參考“用于頻率響應(yīng)測量的信號(hào)源”章節(jié)。

單邊互功率譜

另一個(gè)構(gòu)建模塊是單邊互功率譜。單邊互功率譜通常不用于直接測量，而是作為其他測量的重要構(gòu)建。

兩個(gè)時(shí)域信號(hào)A和B的雙邊互功率譜計(jì)算方法如下：

單邊互功率譜采取雙邊復(fù)數(shù)形式。為了轉(zhuǎn)換為幅度和相位，可使用“極坐標(biāo)至直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換”函數(shù)。為了轉(zhuǎn)換為單邊形式，可使用本應(yīng)用筆記“將雙邊功率譜轉(zhuǎn)換為單邊功率譜”章節(jié)中的方法。單邊形式的單位為伏特（或其他單位）rms平方。

當(dāng)信號(hào)A和B是同一個(gè)信號(hào)時(shí)，功率譜等效于單邊互功率譜。因此，功率譜通常稱為自功率譜或自譜。單邊互功率譜產(chǎn)生A和B的rms振幅，以及兩個(gè)信號(hào)間的相位差。

當(dāng)您學(xué)會(huì)如何使用構(gòu)件后，就可以使用其他有用的函數(shù)，如“頻率響應(yīng)”函數(shù)。

關(guān)于單邊互功率譜的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的單邊互功率譜章節(jié)。

頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析

三種用于描述網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)特性的函數(shù)是：頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和相干函數(shù)。

測量網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的方法是，對(duì)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用激勵(lì)，如圖12所示，并計(jì)算來自激勵(lì)的頻率響應(yīng)和響應(yīng)信號(hào)。

圖12.網(wǎng)絡(luò)分析的配置

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析章節(jié)。

頻率響應(yīng)函數(shù)

頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)給出了網(wǎng)絡(luò)對(duì)于頻率的增益和相位，通常計(jì)算方法如下：

其中A是激勵(lì)信號(hào)，B是響應(yīng)信號(hào)。

頻率響應(yīng)函數(shù)采取雙邊復(fù)數(shù)形式。為了轉(zhuǎn)換為頻率響應(yīng)增益（振幅）和頻率響應(yīng)相位，可使用“極坐標(biāo)至直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換”函數(shù)。轉(zhuǎn)換為單邊形式時(shí)，舍棄數(shù)組的后半部分。

您可以獲取多個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)讀數(shù)，取其均值。方法是，求單邊互功率譜的平均值SAB(f)，即在轉(zhuǎn)換為振幅和相位前，以復(fù)數(shù)形式累加，接著除以總數(shù)，如此繼續(xù)。功率譜SAA(f)已經(jīng)是實(shí)數(shù)形式，且通常已被平均了。

關(guān)于頻率響應(yīng)函數(shù)的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析章節(jié)。

脈沖響應(yīng)函數(shù)

網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)函數(shù)是該網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域表現(xiàn)。它是在時(shí)間t = 0時(shí)對(duì)輸入應(yīng)用的脈沖產(chǎn)生的輸出時(shí)域信號(hào)。

為了計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)，請(qǐng)使用本應(yīng)用筆記頻率響應(yīng)函數(shù)章節(jié)中描述的雙邊復(fù)數(shù)響應(yīng)函數(shù)的反FFT。

結(jié)果為時(shí)域函數(shù)。為了求得多個(gè)讀數(shù)的平均值，可采用平均頻率響應(yīng)函數(shù)的反FFT。

關(guān)于脈沖響應(yīng)函數(shù)的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析章節(jié)。

相干函數(shù)

相干函數(shù)通常和頻率響應(yīng)函數(shù)一起使用，以顯示頻率響應(yīng)函數(shù)測量的質(zhì)量，并顯示有多少響應(yīng)能量與激勵(lì)能量相關(guān)聯(lián)。若響應(yīng)中存在另一個(gè)信號(hào)，不論是來自過度噪聲或其他信號(hào)，該網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)測量的質(zhì)量都較差。您可使用相干函數(shù)確定過度噪聲及因果關(guān)系，即哪些信號(hào)源影響了響應(yīng)信號(hào)。相干信號(hào)的計(jì)算方法如下：

結(jié)果是相對(duì)頻率的一個(gè)0到1之間的值。給定頻率線的結(jié)果為0，表示響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)間無因果關(guān)系。給定頻率線的結(jié)果為1，表示響應(yīng)能量100%是由激勵(lì)信號(hào)造成的，即該頻率無干擾。

相干函數(shù)要求兩個(gè)或更多激勵(lì)及響應(yīng)信號(hào)讀數(shù)的平均值，才可得出有效結(jié)果。只有一個(gè)讀數(shù)時(shí)，該函數(shù)在所有頻率得出統(tǒng)一結(jié)果。為了計(jì)算單邊互功率譜SAB(f)的平均值，將其在復(fù)數(shù)形式中求平均值，接著按照本應(yīng)用筆記的頻率響應(yīng)函數(shù)章節(jié)所示轉(zhuǎn)換為振幅和相位。自功率譜SAA(f)和SBB(f)已經(jīng)是實(shí)數(shù)形式，您只需正常對(duì)其取平均即可。

關(guān)于相干函數(shù)的最新信息，請(qǐng)參考LabVIEW幫助（見文末鏈接）的頻率響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)分析章節(jié)。

頻率響應(yīng)測量的信號(hào)源

為了獲得良好的頻率響應(yīng)測量結(jié)果，關(guān)注的頻率范圍內(nèi)必須存在明顯的激勵(lì)信號(hào)。兩種常用信號(hào)包括chirp信號(hào)和寬帶噪聲信號(hào)。Chirp信號(hào)是從開始頻率掃向截止頻率的正弦信號(hào)，因此在給定頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生能量。白噪聲及偽隨機(jī)噪聲擁有平坦的寬帶頻率譜，即能量存在于所有頻率。

分析頻率響應(yīng)信號(hào)時(shí)，最好不要使用窗口。若您以采集響應(yīng)的速率生成chirp激勵(lì)信號(hào)，采集框大小可符合chirp信號(hào)的長度。對(duì)應(yīng)寬帶信號(hào)源，無窗口通常是最好的選擇。因?yàn)橐恍┘?lì)信號(hào)在時(shí)間記錄的頻率中不是常量，使用窗口可能將模糊某些瞬時(shí)響應(yīng)的重要部分。

6. 總結(jié)

分析和測量來自插入式DAQ設(shè)備的信號(hào)時(shí)，需要考慮多種因素。用戶很容易在頻譜測量上犯錯(cuò)誤。用戶需要理解基于FFT的測量涉及的基本運(yùn)算、知道如何抗混疊、學(xué)習(xí)合理縮放和轉(zhuǎn)換為不同單位、選擇使用正確的窗口，并學(xué)習(xí)如何使用基于FFT的函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)測量，這些對(duì)于完成分析和測量任務(wù)十分重要。學(xué)習(xí)了這些知識(shí)，并使用本應(yīng)用筆記中介紹的工具，可助您在自己的應(yīng)用中取得成功。