清華老師講解：調(diào)制中的頻譜混疊

人類在無線通信的實(shí)踐過程中使用信號(hào)調(diào)制的方式來將傳遞的信號(hào)的頻譜搬移到高頻，通過天線完成電磁波的發(fā)送與接收。這種信號(hào)調(diào)制方式作為信號(hào)頻譜分析的應(yīng)用，也是信號(hào)與系統(tǒng)課程中的重要內(nèi)容。

本文對(duì)信號(hào)幅度調(diào)制和解調(diào)進(jìn)行討論。通過公式、波形、頻譜分析對(duì)幅度調(diào)制中的混疊現(xiàn)象進(jìn)行描述。

幅度調(diào)制

信號(hào)調(diào)制中，幅度調(diào)制形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。在形式可以描述成信號(hào) 與載波信號(hào) 的乘積關(guān)系。在實(shí)際工程中，載波信號(hào)的頻率 通常遠(yuǎn)大于信號(hào) 的最高頻率。后期通過同步解調(diào)方式，可以從調(diào)制信號(hào)中恢復(fù)出原來的信號(hào)。

下面公式描述了幅度調(diào)制（載波抑制調(diào)幅）的過程：

實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)框圖顯示如下：

下面通過波形顯示了幅度正弦調(diào)制的過程。其中信號(hào) 的頻率為1kHz，載波的頻率為30kHz。這樣選擇只是為了能夠從波形上還可以看出兩個(gè)信號(hào)的波形。實(shí)際中往往載波的頻譜 比調(diào)制信號(hào) 的頻率高出兩三個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

下圖顯示了信號(hào) 與載波信號(hào) 相乘之后的調(diào)幅波形。

幅度調(diào)制后的信號(hào)頻譜是原來信號(hào)的頻譜分別左右搬移到載波頻率附近的位置，形成高頻信號(hào)。下面顯示了前面正弦信號(hào)調(diào)制后的頻譜。

下面顯示了對(duì)高斯信號(hào)調(diào)制后的信號(hào)波形：

高斯信號(hào)條幅后的波形如下圖所示。它對(duì)應(yīng)的頻譜與前面正弦波調(diào)制后的頻譜相比只是將原來的一對(duì)沖激頻譜改成了高斯信號(hào)頻譜。這是由于高斯信號(hào)的傅里葉變換也是高斯信號(hào)。

同步解調(diào)

相比與普通調(diào)幅信號(hào)，這種載波抑制的調(diào)幅需要使用同步檢波的方式來解調(diào)。具體過程通過數(shù)學(xué)描述如下：

將調(diào)幅波形再乘以載波信號(hào)，相當(dāng)于再幅度調(diào)制。在生成信號(hào)中包括兩個(gè)成分，一個(gè)是信號(hào)本身 ，幅度降低了一半；另一個(gè)是信號(hào)與兩倍的載頻波形的乘積。后面再通過一個(gè)低通濾波器便可以將調(diào)制信號(hào) 進(jìn)行恢復(fù)。

下圖顯示了同步解調(diào)的過程 以及各部分的波形。

對(duì)于前面給出的實(shí)驗(yàn)波形，下面繪制出了信號(hào)乘以載波之后的波形。可以看出，其中的低頻分量就是被調(diào)制的信號(hào)。

頻率混疊

在前面講述信號(hào)的幅度調(diào)制與解調(diào)過程中，都是假設(shè)信號(hào)的頻譜遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于載波的頻率。這樣信號(hào)被調(diào)制后，它的頻譜搬移到高頻時(shí)，左右的頻譜之間沒有重疊。但是如果調(diào)制頻譜低，小于信號(hào)中最高頻率，那么調(diào)制后的信號(hào)頻譜中，左右兩個(gè)搬移后的頻譜之間就會(huì)有混疊。這就為后面進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)埋下了隱患。

下面將前面實(shí)驗(yàn)中載波的頻率從原來的30kHz，降低到0.5kHz，給出對(duì)應(yīng)的調(diào)制波形。

同樣使用同步解調(diào)，所得到的信號(hào)中，信號(hào)本身 與兩倍頻調(diào)制的信號(hào) 之間頻譜也同樣存在著混疊，這樣就會(huì)使得低通濾波器無法將信號(hào)本身恢復(fù)出來了。

下圖顯示了上面調(diào)幅信號(hào)與載波信號(hào)相乘之后的結(jié)果（藍(lán)色的AM曲線），對(duì)比原來的高斯信號(hào)（橙色Low Frequency曲線），可以看出使用普通的低通濾波器很難從藍(lán)色曲線恢復(fù)出橙色曲線了。

復(fù)震蕩信號(hào)調(diào)制

為了避免幅度調(diào)制后的頻率混疊帶來信號(hào)恢復(fù)的困難，在實(shí)踐中，可以采用復(fù)震蕩信號(hào)調(diào)制的方式。也就是將原來的信號(hào)調(diào)制在一對(duì)相位相差90°（正交）的載波信號(hào)上，形成一對(duì)正交調(diào)制信號(hào)。在數(shù)學(xué)上，可以將這對(duì)信號(hào)看成復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，所組成的復(fù)值信號(hào)的頻譜則是原來信號(hào)的頻譜往右平移，自然就沒有了混疊的問題。

下面公式表示復(fù)指數(shù)震蕩信號(hào)的調(diào)制的過程：

下圖顯示了上面復(fù)指數(shù)調(diào)制后的實(shí)部、虛部?jī)陕沸盘?hào)波形。

如果需要恢復(fù)出原來的信號(hào)，則將原來的信號(hào)乘以前面復(fù)震蕩信號(hào)的共軛信號(hào) ，所生成信號(hào)的實(shí)部就是恢復(fù)的原來信號(hào)了。

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)乘積的實(shí)部等于原來兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相乘，減去虛部相乘的結(jié)果。

因此對(duì)應(yīng)的復(fù)指數(shù)震蕩信號(hào)同步解調(diào)過程就是：

下圖顯示了使用復(fù)指數(shù)調(diào)制后的實(shí)部和虛部分別與 相乘之后的波形（藍(lán)色，橙色），他們相加之后的波形（綠色）就是回復(fù)后的高斯波形。

如果信號(hào)f(t) 的幅值始終大于零0，即f(t)≥0，那么從復(fù)震蕩調(diào)制信號(hào)恢復(fù)原來信號(hào)還可以簡(jiǎn)單的通過求復(fù)調(diào)制信號(hào)的幅度來恢復(fù)：

來源：公眾號(hào) TsinghuaJoking，謝謝！