[導(dǎo)讀]：前面的文章介紹了移動(dòng)平均濾波器、IIR濾波器、梳狀濾波器，今天來談?wù)?a href="/tags/FIR" target="_blank">FIR濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

本篇文章依然采用4W1H進(jìn)行描述，從What Why Where When How幾個(gè)維度展開。為了便于理解4W1H，依然把5W1H的圖附上。

FIR濾波器之What？

LTI線性時(shí)不變系統(tǒng)沖激響應(yīng)按照其是有限長(zhǎng)還是無限長(zhǎng)可分為FIR(Finite Impulse Response)有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)以及無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)IIR(Infinite Impulse Response)系統(tǒng)。FIR是全零點(diǎn)系統(tǒng)，也即Z傳遞函數(shù)在Z復(fù)平面極點(diǎn)全在Z=0處。至于這些概念是如何得來的，不是本文重點(diǎn)，如果有興趣深究，可以查閱數(shù)字信號(hào)處理方面的書籍。

FIR濾波器具有多種實(shí)現(xiàn)形式，比如直接型、二階級(jí)聯(lián)型、Lattice結(jié)構(gòu)，都只是上述基本傳遞函數(shù)的不同數(shù)學(xué)表達(dá)形式，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是在具體算法實(shí)現(xiàn)上各具特點(diǎn)。這里將二階級(jí)聯(lián)形式描述如下。

二階級(jí)聯(lián)的意思是將上述傳遞函數(shù)分解為二階多項(xiàng)式塊連乘的形式，其數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

為啥稱前面的傳遞函數(shù)形式的系統(tǒng)為有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)呢？要從概念上理解，首先須從沖激響應(yīng)說起，什么是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)？系統(tǒng)在單位沖激函數(shù)激勵(lì)下引起的零狀態(tài)響應(yīng)被稱之為該系統(tǒng)的“沖激響應(yīng)”。

那么什么又是沖激函數(shù)呢？

單位沖激函數(shù)（Unit-Impulse Function）是信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)科中的一個(gè)重要概念。它是一個(gè)面積等于1的理想化了的窄脈沖。也就是說，這個(gè)脈沖的幅度等于它的寬度的倒數(shù)。當(dāng)這個(gè)脈沖的寬度愈來愈小時(shí)，它的幅度就愈來愈大。當(dāng)它的寬度按照數(shù)學(xué)上極限法則趨近于零時(shí)，那么它的幅度就趨近于無限大，這樣的一個(gè)脈沖就是“單位沖激函數(shù)”。在實(shí)際工程中，像“單位沖激函數(shù)”這樣的信號(hào)是不存在的，至多也就是近似而已。在理論上定義這樣一個(gè)函數(shù)，完全是為了分析研究方便的需要。<百度百科>

單位沖激函數(shù)又稱為狄拉克函數(shù)，定義為：

• 當(dāng) 時(shí),    
• 
  

這玩意純數(shù)學(xué)表達(dá)僅為從嚴(yán)謹(jǐn)角度出發(fā)，卻不易懂，在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域或者稱為離散系統(tǒng)領(lǐng)域，定義單位沖激（也有的稱為單位采樣/單位函數(shù)/單位脈沖，管它張三、李四）這里只需要明白其物理含義即可：

那么所謂單位沖激函數(shù)響應(yīng)，就是一個(gè)系統(tǒng)輸入這樣一個(gè)能量激勵(lì)，在輸出端所觀測(cè)到的響應(yīng)信號(hào)，那么對(duì)于FIR系統(tǒng)而言，其響應(yīng)在經(jīng)過有限長(zhǎng)的序列后，最后將穩(wěn)定在0，這就是有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的內(nèi)涵，而無限長(zhǎng)則是有這樣一個(gè)沖激激勵(lì)后，其響應(yīng)經(jīng)過無限長(zhǎng)序列后仍不會(huì)穩(wěn)定到0。再進(jìn)一步思考，為什么呢？因?yàn)镕IR系統(tǒng)輸出不會(huì)反饋回輸入端，則保證其輸出響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列， 因此，“有限沖激響應(yīng)”幾乎與“無反饋”等價(jià)。但是，如果采用反饋，但脈沖響應(yīng)是有限的，則濾波器仍然是FIR。一個(gè)示例是移動(dòng)平均濾波器，其中每次有新采樣進(jìn)入時(shí)都會(huì)減去（反饋）第N個(gè)先前的采樣。即使使用反饋，該濾波器也具有有限的脈沖響應(yīng)：在N個(gè)采樣樣本之后，輸出 將始終為零。IIR濾波器使用反饋，因此，當(dāng)輸入脈沖時(shí)，理論上輸出會(huì)無限地振蕩。所以對(duì)于這兩個(gè)概念的區(qū)分從字面去理解即可。

在實(shí)踐中，即使是IIR系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)也通常接近零，并且可以忽略不計(jì)。但是，引起IIR或FIR響應(yīng)的物理系統(tǒng)是不同的，這就是區(qū)別的重要性。例如，由電阻器，電容器和/或電感器（也許還有線性放大器）組成的模擬電子濾波器通常是IIR濾波器。另一方面，基于不使用反饋的抽頭延遲線的離散時(shí)間濾波器（通常是數(shù)字濾波器）必然是FIR濾波器。模擬濾波器中的電容器（或電感器）具有“記憶特性也即儲(chǔ)能特性”，其內(nèi)部能量不會(huì)因脈沖而消失而馬上消失。但是在后一種情況下，在脈沖到達(dá)抽頭延遲線的末端之后，系統(tǒng)不再對(duì)該脈沖進(jìn)行存儲(chǔ)，并返回到其初始狀態(tài)。超出該點(diǎn)的脈沖響應(yīng)恰好為零。多說一句，在使用IIR時(shí)，是否穩(wěn)定包括在模擬電路設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮的一個(gè)重要指標(biāo)就是其系統(tǒng)的相位裕度的概念。有興趣的可以去研究一下。

FIR濾波器之Where？

FIR濾波器的應(yīng)用領(lǐng)域非常的廣泛：

• 音頻信號(hào)處理領(lǐng)域，會(huì)在信號(hào)處理層大量運(yùn)用FIR濾波器進(jìn)行信號(hào)濾波
• Sigma-Delta ADC芯片內(nèi)部就利用數(shù)字邏輯電路實(shí)現(xiàn)了FIR濾波器
• 涉及到采集信號(hào)的儀器儀表領(lǐng)域廣為應(yīng)用
• 系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域，對(duì)于系統(tǒng)建模也常常采用濾波器濾除采集信號(hào)，以消除噪聲提高建模的準(zhǔn)確性
• 圖像處理領(lǐng)域也廣為應(yīng)用
• ......

說了這么多，就是想說這個(gè)東東非常有用，個(gè)人認(rèn)為這是電子類開發(fā)工程師進(jìn)階神器，值得深入研究，反復(fù)探究，這也是為什么花這么多精力寫這個(gè)系列的初心，希望自己的一些經(jīng)驗(yàn)?zāi)隳軒椭狡渌娜?。所以如果你沒有這方面的經(jīng)驗(yàn)，剛好看到這系列的文章，還請(qǐng)幫忙轉(zhuǎn)發(fā)分享以幫助到更多的人，哈哈哈。當(dāng)然如果您是這方面的行家里手如果發(fā)現(xiàn)文中有錯(cuò)誤或者需要改進(jìn)的地方，也真誠(chéng)的期待能告訴與我，幫助我糾正錯(cuò)誤。所以導(dǎo)讀中所說懇請(qǐng)指正，絕非套話。

FIR濾波器之When？

當(dāng)實(shí)現(xiàn)傳感器時(shí)，個(gè)人建議首先理清楚信號(hào)鏈模型，信號(hào)的頻域帶寬，是否有潛在混入噪聲的可能。是故個(gè)人認(rèn)為：

• 如果在硬件電路處理后任然有噪聲，此時(shí)就可以考慮采用濾波器，如果所用芯片算力不錯(cuò)，就可以考慮采用FIR濾波器
• 如果在硬件也能實(shí)現(xiàn)有源濾波器能解決產(chǎn)品中的噪聲干擾，但是發(fā)現(xiàn)硬件的方法需要成本比較高，或者PCB面積受限時(shí)，也推薦考慮采用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)。因?yàn)橥性礊V波器要實(shí)現(xiàn)一個(gè)比較好的通頻帶高Q值時(shí)，其階數(shù)往往很高，而且可能需要一些特殊規(guī)格的電阻電容實(shí)現(xiàn)所需的頻帶，此時(shí)數(shù)字濾波器僅需要一段代碼搞定，而且效果往往比硬件濾波器更好也更靈活。
• 如果在系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)采用IIR拓?fù)漕愋蜑V波器無法滿足線性相位需求，或者發(fā)現(xiàn)使用IIR濾波器，濾波器輸出出現(xiàn)嚴(yán)重失真或者不穩(wěn)定現(xiàn)象時(shí)，推薦考慮采用FIR濾波器。
• 再比如你是用FPGA設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，也需要實(shí)現(xiàn)模擬信號(hào)采集，此時(shí)也可以考慮直接用數(shù)字電路直接實(shí)現(xiàn)FIR濾波器，因?yàn)镕PGA的硬并行特性為實(shí)現(xiàn)高階FIR濾波器提供了非常好硬件基礎(chǔ)。
• ......

FIR濾波器之How？

設(shè)計(jì)FIR濾波器從書本知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)有窗函數(shù)法、切比雪夫逼近法、最小均方差等方法，這些方法從數(shù)學(xué)理論上給出了設(shè)計(jì)原理，但作為工程師而言，個(gè)人認(rèn)為只需要理解其概念內(nèi)涵即可。學(xué)以致用才是目的，所以強(qiáng)大的MATLAB 工具fdatool以及實(shí)現(xiàn)了這些基本的設(shè)計(jì)方法。當(dāng)然如果對(duì)于MATLAB函數(shù)很熟悉，直接來段MATLAB程序效果也是一樣的。這里仍然利用fdatool來示例如何設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)FIR濾波器。

本文以實(shí)現(xiàn)采樣頻率20kHz，帶寬為100Hz～5KHz帶通濾波器。

假設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)64階的FIR帶通濾波器，其指標(biāo)為：

• Fstop1為60Hz, Fpass1為100Hz
• Fpass2為5000Hz, Fstop1為5100Hz
• Wstop1 為40dB,Wstop2 為40dB,

其幅頻響應(yīng)為：

相頻響應(yīng)如下圖，可見在通頻帶內(nèi)，隨頻率的增加，其相位延遲也是線性增加的，這就是線性相位的含義。

前面說到?jīng)_激響應(yīng)，這里將圖附上幫助理解。

其參數(shù)太長(zhǎng)就不貼在這里了，直接放到測(cè)試代碼中。

接下來就進(jìn)行C代碼實(shí)現(xiàn)，由其Z傳遞函數(shù)，比較容易得到其差分方程為：

C語言實(shí)現(xiàn)及測(cè)試程序如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>

#define FIR_RANK  64
typedef float E_SAMPLE;
typedef float E_COEFF;

typedef struct _t_FIR_STATE
{
    E_SAMPLE x[FIR_RANK];
    int index;
}t_FIR_STATE;
typedef struct _t_FIR_COFF
{
    E_COEFF coeff[FIR_RANK+1];
}t_FIR_COFF;

void fir_init(t_FIR_STATE * pFir)
{
    memset(pFir,0,sizeof(t_FIR_STATE));
    pFir->index = -1;
}

E_SAMPLE fir_filter(t_FIR_STATE * pFir,const t_FIR_COFF *pCff,E_SAMPLE xn)
{
    double yn=0;
    int i=0;
    if(pFir->index==-1)
    {
        for(i=0;i<FIR_RANK;i++)
        {
            pFir->x[i] = xn;
        }
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    }

    yn = pCff->coeff[0]*xn;
    for(i=pFir->index+1;i<FIR_RANK;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    for(i=0;i<=pFir->index;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[FIR_RANK+i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    /*存儲(chǔ)xn為下次迭代準(zhǔn)備*/
    pFir->x[pFir->index] = xn;


    if(pFir->index==0)
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    else
        pFir->index--;

    return yn;
}

#define SAMPLE_RATE 20000.0f
#define SAMPLE_SIZE 1024
#define PI 3.415926f
const t_FIR_COFF coff={
-0.011262440038163873,-0.013943401141922421,-0.0081737662228137248,-0.0098154763556324871,
-0.02113385595071398,-0.02217110374674186, -0.0086760432252453272,-0.0053777731960091618,
-0.020684485378668873,-0.026487927162555332,-0.0099598536658154907,-0.0020760557762302574,
-0.020234665687863043,-0.030631983578413714,-0.010974822973539177, 0.0018520388094555051,
-0.019945227624679929,-0.035904990372740073,-0.011725945979530706, 0.0077957069084101244,
-0.019771168997491595,-0.044197538806107613,-0.012256200606615813, 0.018808015681099421,
-0.01967177670413162, -0.06116090480347313, -0.012595538855093001, 0.047238864700837428,
-0.019621294906038051,-0.12211186053365741,-0.012761289558492961, 0.30206303190057837,
 0.4803940881892042,   0.30206303190057837,-0.012761289558492961,-0.12211186053365741,
-0.019621294906038051, 0.047238864700837428,-0.012595538855093001,-0.06116090480347313,
-0.01967177670413162,  0.018808015681099421,-0.012256200606615813,-0.044197538806107613,
-0.019771168997491595, 0.0077957069084101244,-0.011725945979530706,-0.035904990372740073,
-0.019945227624679929, 0.0018520388094555051,-0.010974822973539177,-0.030631983578413714,
-0.020234665687863043,-0.0020760557762302574,-0.0099598536658154907,-0.026487927162555332,
-0.020684485378668873,-0.0053777731960091618,-0.0086760432252453272,-0.02217110374674186,
-0.02113385595071398, -0.0098154763556324871,-0.0081737662228137248,-0.013943401141922421,
-0.011262440038163873
};
int main()
{
    E_SAMPLE rawSin[SAMPLE_SIZE];
    E_SAMPLE outSin[SAMPLE_SIZE];

    t_FIR_STATE fir;

    FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("simulationSin.csv opened failed");
        return -1;
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        rawSin[i]  = 5*sin(2*PI*20*i/SAMPLE_RATE);//+rand()%10;
        rawSin[i] += 5*sin(2*PI*7000*i/SAMPLE_RATE);
        rawSin[i] += 10*sin(2*PI*2500*i/SAMPLE_RATE);
    }

    /*初始化*/
    fir_init(&fir);
    /*濾波*/
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        outSin[i]=fir_filter(&fir,&coff,rawSin[i]);
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",rawSin[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",outSin[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

同樣利用excel生成波形：

可見濾波效果不錯(cuò)。下面進(jìn)行總結(jié)：

FIR濾波器與IIR濾波器相比的優(yōu)勢(shì)：

• 可以很容易地將它們?cè)O(shè)計(jì)為“線性相位”（通常是）。簡(jiǎn)而言之，線性相位濾波器會(huì)延遲輸入信號(hào)，但不會(huì)使其相位失真。
• 很容易實(shí)現(xiàn)。在大多數(shù)DSP微處理器上，可以通過循環(huán)一條指令來完成FIR計(jì)算。
• 適合于多速率應(yīng)用。所謂多速率，是指“抽取”（降低采樣率），“內(nèi)插”（提高采樣率）或兩者兼而有之。有興趣的可進(jìn)一步深入研究，無論是抽取還是插值，F(xiàn)IR濾波器的使用都可以省略某些計(jì)算，從而提供了重要的計(jì)算效率。相反，如果使用IIR濾波器，則即使要丟棄每個(gè)輸出，每個(gè)輸出也必須單獨(dú)計(jì)算。
• 具有令人滿意的數(shù)值屬性。實(shí)際上，大部分DSP濾波器都必須使用有限精度算法（即有限的定點(diǎn)位數(shù)）來實(shí)現(xiàn)。由于使用了反饋，因此在IIR濾波器中使用有限精度算術(shù)會(huì)引起嚴(yán)重的誤差問題，但是沒有反饋的FIR濾波器通?？梢允褂酶俚奈粊韺?shí)現(xiàn)，并且設(shè)計(jì)人員需要解決的與非理想算術(shù)有關(guān)的實(shí)際問題也更少。
• 可以使用分?jǐn)?shù)算法來實(shí)現(xiàn)。與IIR濾波器不同，始終可以使用幅度小于1.0的系數(shù)來實(shí)現(xiàn)FIR濾波器。（如果需要，可以在FIR濾波器的輸出處調(diào)整其總增益。）使用定點(diǎn)DSP時(shí)，這是一個(gè)重要的考慮因素，因?yàn)樗箤?shí)現(xiàn)更加簡(jiǎn)單。

FIR濾波器與IIR濾波器相比的劣勢(shì)：

• 需要更多的內(nèi)存和/或計(jì)算才能實(shí)現(xiàn)給定的濾波器響應(yīng)特性。而且，某些響應(yīng)對(duì)于用FIR濾波器不易實(shí)現(xiàn)，因?yàn)殡A數(shù)太高。

另外如果使用的芯片具有乘累加指令，則非常利于實(shí)現(xiàn)FIR濾波器。

文章真是潛心撰寫，如果覺得文章對(duì)你有價(jià)值，勞駕點(diǎn)個(gè)在看可好？