淺談傅里葉變換

下面進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論，首先對(duì)時(shí)域?qū)?yīng)的一組基底進(jìn)行說(shuō)明。在時(shí)域離散條件下，這個(gè)命題相對(duì)來(lái)說(shuō)很好理解。如函數(shù) ，可以看成基底為 ，坐標(biāo)為 的向量。也就是說(shuō)，時(shí)域離散條件下，只需將不同位置的脈沖信號(hào)拆成單位脈沖信號(hào)與幅值的疊加就行了。

如果推廣到連續(xù)情況下，我們很自然的會(huì)想到連續(xù)信號(hào)的單位沖激函數(shù)。也就是說(shuō)，我們把 作為一組基底，這里  取所有實(shí)數(shù)。而對(duì)應(yīng)的系數(shù)，很自然的就是 的數(shù)值。但這里要注意一點(diǎn)：在基底是連續(xù)的條件下，內(nèi)積的定義不應(yīng)是對(duì)應(yīng)項(xiàng)簡(jiǎn)單的直接相乘再相加，而應(yīng)該是在積分的意義下取得的。

下圖對(duì)這種時(shí)域上的基底進(jìn)行了簡(jiǎn)單說(shuō)明。

之后我們進(jìn)入重頭戲——頻域。首先還是要強(qiáng)調(diào)時(shí)域中基底分解的一點(diǎn)：在時(shí)域上進(jìn)行基底分解，基底中的每一個(gè)基向量都是一個(gè)函數(shù)。同樣，在頻域中，我們的基底也是一組正交函數(shù)，也就是我們熟悉的   函數(shù)。注意，這里的函數(shù)也是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，而ω的作用是確定函數(shù)本身的一個(gè)量，作用類似于時(shí)域中  的作用。在離散條件下，就是我們所討論過(guò)的傅里葉級(jí)數(shù)分解，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)值應(yīng)當(dāng)為對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)；而在連續(xù)條件下，這組基底對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為傅里葉變換之后得到的對(duì)應(yīng)頻率下函數(shù)的取值。這里的連續(xù)條件下，也要在積分的意義下求基底與坐標(biāo)的內(nèi)積。

我們?cè)谀撤N意義上也可以這樣想：傅里葉變換使得一個(gè)信號(hào)在時(shí)域這組基底表示下的坐標(biāo)變成了在頻域這組基底表示下的坐標(biāo)，如果在幾何空間中就是乘上一個(gè)兩組基底之間的一個(gè)基變換矩陣。那么傅里葉變換就是時(shí)域坐標(biāo)和頻域坐標(biāo)兩組基底之間的基變換矩陣，如果加上歸一化條件，傅里葉變換則可以看做是一個(gè)正交陣。為了便于溝通時(shí)域和頻域，我們可以構(gòu)建一根假想的軸。

首先來(lái)看復(fù)平面。根據(jù)歐拉公式，我們知道 是一個(gè)模長(zhǎng)為1的向量，端點(diǎn)落在單位圓上，這個(gè)向量會(huì)隨著時(shí)間的增加而以勻速旋轉(zhuǎn)，ω越大旋轉(zhuǎn)速度越快。我們假設(shè)有好多好多這樣的復(fù)平面，每個(gè)平面內(nèi)都有一個(gè)這樣的向量，其角速度各不相同。我們按照順序?qū)⑦@些復(fù)平面疊起來(lái)，用一根角速度軸數(shù)值串起來(lái)，那么我們會(huì)得到一個(gè)在三維空間中不斷轉(zhuǎn)動(dòng)的軸。在0時(shí)刻，所有復(fù)平面內(nèi)的每個(gè)向量都等于1，而當(dāng)時(shí)間開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)，除了角速度等于0的那張平面里的向量始終等于1，不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，其他每個(gè)向量都會(huì)按照各自的角速度發(fā)生旋轉(zhuǎn)，離角速度原點(diǎn)越遠(yuǎn)，旋轉(zhuǎn)越快。另外我們還能看出， 、 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量旋轉(zhuǎn)速度相同，但方向相反。

這根軸具體應(yīng)該怎么用呢？可以想到，「我們將每一個(gè)旋轉(zhuǎn)的向量與信號(hào)頻譜中對(duì)應(yīng)頻率的系數(shù)相乘，然后對(duì)全頻譜這樣的向量相加（連續(xù)情況便是積分），即可得到復(fù)平面內(nèi)原來(lái)信號(hào)隨時(shí)間的變化情況。這種相乘的實(shí)際效果體現(xiàn)在：對(duì)單位向量的長(zhǎng)度進(jìn)行倍乘，倍乘的系數(shù)為 幅度譜的對(duì)應(yīng)值，之后再進(jìn)行一個(gè)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為相位譜的對(duì)應(yīng)角度，可以正向也可以反向。而所有向量相加（積分）的實(shí)質(zhì)便是傅里葉級(jí)數(shù)求和（傅里葉逆變換）」。

我們用這根旋轉(zhuǎn)的軸會(huì)很容易地理解負(fù)頻率的實(shí)際物理意義。同時(shí)，也會(huì)方便后面傅里葉變換一些性質(zhì)的直觀理解。

傅里葉變換及其性質(zhì)

下面，我們用之前討論過(guò)的一些東西來(lái)解釋傅里葉變換的一些性質(zhì)。

奇偶虛實(shí)特性

課堂上老師講過(guò)，實(shí)信號(hào)的頻譜幅度譜是一個(gè)偶函數(shù)，而相位譜是一個(gè)奇函數(shù)。這是為什么呢？

因?yàn)樵夹盘?hào)為實(shí)信號(hào)，也就是 乘上旋轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)的向量始終在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。我們知道，旋轉(zhuǎn)軸上掛著的單位向量旋轉(zhuǎn)速度除了彼此相對(duì)于角速度原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)向量之外，各不相同。所以我們直覺(jué)上可以猜想（實(shí)際上也很容易證明）：如果要求信號(hào)為實(shí)信號(hào)，那么必須要求每一組的 、 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量乘上對(duì)應(yīng)的系數(shù)再加和必須為實(shí)數(shù)，或者說(shuō)，如果1Hz的信號(hào)出現(xiàn)了虛數(shù)，那么無(wú)論其他頻率的信號(hào)怎么努力也都無(wú)法消除1Hz的信號(hào)在虛數(shù)上的頻率。也就是說(shuō)： 為實(shí)數(shù)。因此，我們可以得到 和 互為共軛，也就是實(shí)信號(hào)的頻譜共軛對(duì)稱。

那么，如果信號(hào)為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，頻譜所表現(xiàn)出的虛奇函數(shù)以及偶實(shí)函數(shù)的特性又該如何解釋呢？

先從偶函數(shù)開(kāi)始。信號(hào)為偶函數(shù)，也就是指在時(shí)間原點(diǎn)前后 位置，對(duì)應(yīng)信號(hào)的值相同，且為實(shí)數(shù)。由于時(shí)間原點(diǎn)的時(shí)候，所有單位向量都指向1，也就是每個(gè)單位向量都處在相位為0的位置。如果傅里葉頻譜上有一處含有虛信號(hào)，那么必定會(huì)給對(duì)應(yīng)的頻率添加附加相位，情況類似于由 變成了 ，這樣便會(huì)使得信號(hào)不再滿足時(shí)間上的偶對(duì)稱性。所以，頻譜應(yīng)當(dāng)為實(shí)函數(shù)。再加上共軛對(duì)稱的條件，便會(huì)推導(dǎo)出偶實(shí)函數(shù)的結(jié)論。

之后我們來(lái)討論奇函數(shù)。奇函數(shù)信號(hào)的原點(diǎn)處為0，且原點(diǎn)前后的數(shù)值相反。和剛才的分析類似，如果頻譜有實(shí)數(shù)分量的話，便有某個(gè)頻率的向量初始相位不為90度，也就是不能滿足信號(hào)的奇對(duì)稱性。

時(shí)域微分與積分特性

其實(shí)這兩個(gè)特性從數(shù)學(xué)式子上觀察更為直觀，但是用旋轉(zhuǎn)軸的方法也可以給出解釋。由于信號(hào)是所有頻率信號(hào)分量的加和，因此對(duì)信號(hào)求微分或者積分，可以轉(zhuǎn)換成對(duì)每一個(gè)頻率的信號(hào)進(jìn)行微分和積分。以微分為例，由于每個(gè)信號(hào)的解析式為 ，因此信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分就是 ，然后將多出來(lái)的系數(shù)與原來(lái)的頻域結(jié)合即可得到新的信號(hào)的頻域，即原頻域前面加上一個(gè) 。而積分相對(duì)于微分的區(qū)別在于， 的信號(hào)為恒定的F(0)，對(duì)全時(shí)域積分會(huì)產(chǎn)生一個(gè)沖激信號(hào)，因此信號(hào)積分的頻譜會(huì)多出一個(gè)沖激信號(hào)項(xiàng)。

時(shí)移特性和頻移特性

時(shí)移特性指將信號(hào)向左或者向右移動(dòng)，頻域的變化。這一點(diǎn)當(dāng)然可以通過(guò)公式運(yùn)算得到。我們也試著用上面的旋轉(zhuǎn)軸來(lái)嘗試一下直觀理解。

假設(shè)一個(gè)信號(hào)在時(shí)間上延遲 ，我們以時(shí)間原點(diǎn)作為觀察點(diǎn)。原本情況下，在 時(shí)所有單位向量都等于1，而在延遲（即時(shí)移）的情況下，  的時(shí)候才有所有向量都等于1。那么從0到 這段時(shí)間，難道說(shuō)這些單位向量就不轉(zhuǎn)動(dòng)了嗎？肯定不是，這些向量無(wú)論在何時(shí)何地都會(huì)按照自己的固有速度進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，為了讓 的時(shí)候所有向量都等于1，我們必須給一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的提前量，即改變 時(shí)的信號(hào)的相位。這個(gè)信號(hào)相位的改變量是讓所有向量經(jīng)過(guò)  時(shí)間之后全部走完，也就是這個(gè)附加的相位應(yīng)該與頻率呈負(fù)線性關(guān)系。而最終這種相位的附加值會(huì)反應(yīng)到頻譜上，即讓頻譜乘上  。同樣的，信號(hào)向左時(shí)移也可以用同樣的方式得到。這就解釋了時(shí)移特性。

至于頻移特性，我們一方面可以通過(guò)傅里葉變換和逆變換形式大體相同這一點(diǎn)來(lái)得到對(duì)應(yīng)結(jié)論，但這就又用到了數(shù)學(xué)。我們盡量不用公式，這樣有助于理解實(shí)際的物理含義。假設(shè)頻譜向右移動(dòng)m，那么相當(dāng)于原本應(yīng)當(dāng)作用在頻率為 的向量上的頻域系數(shù) 最終作用到了頻率為 的向量上，可以認(rèn)為整體信號(hào)的旋轉(zhuǎn)速度“加快”了（這里實(shí)際上不準(zhǔn)確，因?yàn)檎l率部分加快了，但是負(fù)頻率部分減慢了。這里只是為了方便大家直觀上理解），相對(duì)于原有的信號(hào)，原本的本來(lái)應(yīng)當(dāng)作用在一個(gè)轉(zhuǎn)的慢的向量上的系數(shù)換乘到了轉(zhuǎn)的快的向量上，這種快慢之間的差距會(huì)造成相同系數(shù)對(duì)應(yīng)的向量之間會(huì)產(chǎn)生一個(gè)隨著時(shí)間流逝而線性增大的相位差，這個(gè)相位差可以知道，就是 。這對(duì)于每一個(gè)向量都成立，那么作用到整體信號(hào)上，便是整體信號(hào)添加一個(gè)相位差，即新信號(hào)的時(shí)域會(huì)在原來(lái)基礎(chǔ)上乘一個(gè)  。這就解釋了頻移特性。

卷積定理

傅里葉變換中一個(gè)非常重要的知識(shí)便是卷積定理。然而用上面的模型很難直觀地解釋卷積定理，我們不得不另辟蹊徑，用另外的方式來(lái)理解時(shí)域的卷積等于頻域的乘積。

首先需要理解卷積本身干了一件什么事情。我們了解的最多的卷積的作用，也是目前我們唯一學(xué)過(guò)的卷積的作用，就是已知單位沖激響應(yīng)和LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)，求解輸出信號(hào)的運(yùn)算。其本質(zhì)即是將輸入信號(hào)按照之前時(shí)域基底分解的方法進(jìn)行分解，然后對(duì)每一個(gè)沖激信號(hào)分別求其響應(yīng)，最后在時(shí)域上疊加。我們要牢牢把握住這個(gè)定義來(lái)理解后面的變換。

之前說(shuō)過(guò)，時(shí)域和頻域只是同一個(gè)信號(hào)在不同正交基底下的兩個(gè)不同坐標(biāo)。既然上面卷積的第一步是將信號(hào)按照時(shí)域分解，那么我們現(xiàn)在嘗試對(duì)信號(hào)從頻域這組基底上進(jìn)行描述。

首先考慮單位沖擊響應(yīng)這一物理概念。這個(gè)概念描述了系統(tǒng)輸入是單位沖激信號(hào)的輸出。我們知道，單位沖激信號(hào)的頻譜實(shí)際上是覆蓋全頻域的恒為1。這里我們假設(shè)單位沖擊響應(yīng)的頻譜為 。這里我們注意到，這個(gè)系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，也就是說(shuō)，這個(gè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)的頻率只可能取輸入信號(hào)所有可能的頻率，并且不同頻率的信號(hào)之間不會(huì)互相影響。所以重新審視單位沖擊響應(yīng)的頻譜，實(shí)際上是對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的頻率響應(yīng)，甚至可以說(shuō)是這個(gè)LTI系統(tǒng)的“波特圖”，只不過(guò)坐標(biāo)軸是線性的而非對(duì)數(shù)而已。

這樣我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，卷積在傅里葉變換的作用下成為乘積便是很顯然的：將輸入信號(hào)按照頻域展開(kāi)（運(yùn)算上便是進(jìn)行傅里葉變換），然后對(duì)于每一個(gè)頻率的輸入信號(hào)，都直接乘上H(ω)中對(duì)應(yīng)的系數(shù)（也就是這個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的放大倍數(shù)），便可得到輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)頻率的系數(shù)，從全頻率考慮便是相當(dāng)于單位沖擊響應(yīng)的頻譜與輸入信號(hào)的頻譜相乘，即可得到輸出信號(hào)的頻譜。這里如果從代數(shù)的角度考慮，如果把LTI系統(tǒng)看做對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行一個(gè)線性變換（也就是乘一個(gè)變換矩陣），那么這個(gè)矩陣是可“對(duì)角化”的，并且將其對(duì)角化所需要乘的可逆矩陣即是傅里葉變換，空間基底由時(shí)域的“單位沖激信號(hào)正交函數(shù)族”變成了頻域的“旋轉(zhuǎn)向量正交函數(shù)族”，而這個(gè)矩陣的特征值便是這個(gè)系統(tǒng)在各個(gè)輸入信號(hào)頻率的放大倍數(shù)，也是單位沖激響應(yīng)的頻域上的函數(shù)值。（剛剛又稍微想了一下，如果把傅里葉變換對(duì)信號(hào)做的變化看做矩陣A的話，那么 ，I為單位陣，這個(gè)可以通過(guò)傅里葉變換的對(duì)稱性推出。算是一種更為特殊的性質(zhì)吧）

最后

本來(lái)這一部分我最初想放一些自己最初沒(méi)有想清楚的問(wèn)題，希望和大家一起討論，但是在總結(jié)上面東西的同時(shí)，我發(fā)現(xiàn)自己原來(lái)那些問(wèn)題竟然都想通了?？磥?lái)盡管整理這一篇亂七八糟的東西花了好多時(shí)間，但是也是一個(gè)沉淀知識(shí)，使思維系統(tǒng)化的一個(gè)過(guò)程。由于自己水平有限，寫的東西肯定有不合理之處，但是希望自己總結(jié)的東西能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?。。盡管做題用上面的想法來(lái)做會(huì)很慢，但是我認(rèn)為加深對(duì)知識(shí)本身的理解是比熟練度更為重要的（嘗試為自己菜找借口）

最后最后，因?yàn)樽约涸谡淼臅r(shí)候是以第一人稱視角，是在已知自己結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行整理，可能有些推導(dǎo)結(jié)論的地方，大家以第三視角來(lái)看會(huì)有些迷惑。。。如果大家有疑問(wèn)或者改正意見(jiàn)，歡迎大家批評(píng)指正！