淺談傅里葉變換

下面進(jìn)行簡單的討論，首先對時域?qū)?yīng)的一組基底進(jìn)行說明。在時域離散條件下，這個命題相對來說很好理解。如函數(shù) ，可以看成基底為 ，坐標(biāo)為 的向量。也就是說，時域離散條件下，只需將不同位置的脈沖信號拆成單位脈沖信號與幅值的疊加就行了。

如果推廣到連續(xù)情況下，我們很自然的會想到連續(xù)信號的單位沖激函數(shù)。也就是說，我們把 作為一組基底，這里  取所有實數(shù)。而對應(yīng)的系數(shù)，很自然的就是 的數(shù)值。但這里要注意一點：在基底是連續(xù)的條件下，內(nèi)積的定義不應(yīng)是對應(yīng)項簡單的直接相乘再相加，而應(yīng)該是在積分的意義下取得的。

下圖對這種時域上的基底進(jìn)行了簡單說明。

之后我們進(jìn)入重頭戲——頻域。首先還是要強調(diào)時域中基底分解的一點：在時域上進(jìn)行基底分解，基底中的每一個基向量都是一個函數(shù)。同樣，在頻域中，我們的基底也是一組正交函數(shù)，也就是我們熟悉的   函數(shù)。注意，這里的函數(shù)也是一個關(guān)于t的函數(shù)，而ω的作用是確定函數(shù)本身的一個量，作用類似于時域中  的作用。在離散條件下，就是我們所討論過的傅里葉級數(shù)分解，坐標(biāo)對應(yīng)的數(shù)值應(yīng)當(dāng)為對應(yīng)項的系數(shù)；而在連續(xù)條件下，這組基底對應(yīng)的坐標(biāo)即為傅里葉變換之后得到的對應(yīng)頻率下函數(shù)的取值。這里的連續(xù)條件下，也要在積分的意義下求基底與坐標(biāo)的內(nèi)積。

我們在某種意義上也可以這樣想：傅里葉變換使得一個信號在時域這組基底表示下的坐標(biāo)變成了在頻域這組基底表示下的坐標(biāo)，如果在幾何空間中就是乘上一個兩組基底之間的一個基變換矩陣。那么傅里葉變換就是時域坐標(biāo)和頻域坐標(biāo)兩組基底之間的基變換矩陣，如果加上歸一化條件，傅里葉變換則可以看做是一個正交陣。為了便于溝通時域和頻域，我們可以構(gòu)建一根假想的軸。

首先來看復(fù)平面。根據(jù)歐拉公式，我們知道 是一個模長為1的向量，端點落在單位圓上，這個向量會隨著時間的增加而以勻速旋轉(zhuǎn)，ω越大旋轉(zhuǎn)速度越快。我們假設(shè)有好多好多這樣的復(fù)平面，每個平面內(nèi)都有一個這樣的向量，其角速度各不相同。我們按照順序?qū)⑦@些復(fù)平面疊起來，用一根角速度軸數(shù)值串起來，那么我們會得到一個在三維空間中不斷轉(zhuǎn)動的軸。在0時刻，所有復(fù)平面內(nèi)的每個向量都等于1，而當(dāng)時間開始運轉(zhuǎn)，除了角速度等于0的那張平面里的向量始終等于1，不發(fā)生轉(zhuǎn)動，其他每個向量都會按照各自的角速度發(fā)生旋轉(zhuǎn)，離角速度原點越遠(yuǎn)，旋轉(zhuǎn)越快。另外我們還能看出， 、 對應(yīng)的兩個向量旋轉(zhuǎn)速度相同，但方向相反。

這根軸具體應(yīng)該怎么用呢？可以想到，「我們將每一個旋轉(zhuǎn)的向量與信號頻譜中對應(yīng)頻率的系數(shù)相乘，然后對全頻譜這樣的向量相加（連續(xù)情況便是積分），即可得到復(fù)平面內(nèi)原來信號隨時間的變化情況。這種相乘的實際效果體現(xiàn)在：對單位向量的長度進(jìn)行倍乘，倍乘的系數(shù)為 幅度譜的對應(yīng)值，之后再進(jìn)行一個旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為相位譜的對應(yīng)角度，可以正向也可以反向。而所有向量相加（積分）的實質(zhì)便是傅里葉級數(shù)求和（傅里葉逆變換）」。

我們用這根旋轉(zhuǎn)的軸會很容易地理解負(fù)頻率的實際物理意義。同時，也會方便后面傅里葉變換一些性質(zhì)的直觀理解。

傅里葉變換及其性質(zhì)

下面，我們用之前討論過的一些東西來解釋傅里葉變換的一些性質(zhì)。

奇偶虛實特性

課堂上老師講過，實信號的頻譜幅度譜是一個偶函數(shù)，而相位譜是一個奇函數(shù)。這是為什么呢？

因為原始信號為實信號，也就是 乘上旋轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的向量始終在實數(shù)范圍內(nèi)。我們知道，旋轉(zhuǎn)軸上掛著的單位向量旋轉(zhuǎn)速度除了彼此相對于角速度原點對稱的兩個向量之外，各不相同。所以我們直覺上可以猜想（實際上也很容易證明）：如果要求信號為實信號，那么必須要求每一組的 、 對應(yīng)的兩個向量乘上對應(yīng)的系數(shù)再加和必須為實數(shù)，或者說，如果1Hz的信號出現(xiàn)了虛數(shù)，那么無論其他頻率的信號怎么努力也都無法消除1Hz的信號在虛數(shù)上的頻率。也就是說： 為實數(shù)。因此，我們可以得到 和 互為共軛，也就是實信號的頻譜共軛對稱。

那么，如果信號為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，頻譜所表現(xiàn)出的虛奇函數(shù)以及偶實函數(shù)的特性又該如何解釋呢？

先從偶函數(shù)開始。信號為偶函數(shù)，也就是指在時間原點前后 位置，對應(yīng)信號的值相同，且為實數(shù)。由于時間原點的時候，所有單位向量都指向1，也就是每個單位向量都處在相位為0的位置。如果傅里葉頻譜上有一處含有虛信號，那么必定會給對應(yīng)的頻率添加附加相位，情況類似于由 變成了 ，這樣便會使得信號不再滿足時間上的偶對稱性。所以，頻譜應(yīng)當(dāng)為實函數(shù)。再加上共軛對稱的條件，便會推導(dǎo)出偶實函數(shù)的結(jié)論。

之后我們來討論奇函數(shù)。奇函數(shù)信號的原點處為0，且原點前后的數(shù)值相反。和剛才的分析類似，如果頻譜有實數(shù)分量的話，便有某個頻率的向量初始相位不為90度，也就是不能滿足信號的奇對稱性。

時域微分與積分特性

其實這兩個特性從數(shù)學(xué)式子上觀察更為直觀，但是用旋轉(zhuǎn)軸的方法也可以給出解釋。由于信號是所有頻率信號分量的加和，因此對信號求微分或者積分，可以轉(zhuǎn)換成對每一個頻率的信號進(jìn)行微分和積分。以微分為例，由于每個信號的解析式為 ，因此信號對時間的微分就是 ，然后將多出來的系數(shù)與原來的頻域結(jié)合即可得到新的信號的頻域，即原頻域前面加上一個 。而積分相對于微分的區(qū)別在于， 的信號為恒定的F(0)，對全時域積分會產(chǎn)生一個沖激信號，因此信號積分的頻譜會多出一個沖激信號項。

時移特性和頻移特性

時移特性指將信號向左或者向右移動，頻域的變化。這一點當(dāng)然可以通過公式運算得到。我們也試著用上面的旋轉(zhuǎn)軸來嘗試一下直觀理解。

假設(shè)一個信號在時間上延遲 ，我們以時間原點作為觀察點。原本情況下，在 時所有單位向量都等于1，而在延遲（即時移）的情況下，  的時候才有所有向量都等于1。那么從0到 這段時間，難道說這些單位向量就不轉(zhuǎn)動了嗎？肯定不是，這些向量無論在何時何地都會按照自己的固有速度進(jìn)行轉(zhuǎn)動。所以，為了讓 的時候所有向量都等于1，我們必須給一個轉(zhuǎn)動的提前量，即改變 時的信號的相位。這個信號相位的改變量是讓所有向量經(jīng)過  時間之后全部走完，也就是這個附加的相位應(yīng)該與頻率呈負(fù)線性關(guān)系。而最終這種相位的附加值會反應(yīng)到頻譜上，即讓頻譜乘上  。同樣的，信號向左時移也可以用同樣的方式得到。這就解釋了時移特性。

至于頻移特性，我們一方面可以通過傅里葉變換和逆變換形式大體相同這一點來得到對應(yīng)結(jié)論，但這就又用到了數(shù)學(xué)。我們盡量不用公式，這樣有助于理解實際的物理含義。假設(shè)頻譜向右移動m，那么相當(dāng)于原本應(yīng)當(dāng)作用在頻率為 的向量上的頻域系數(shù) 最終作用到了頻率為 的向量上，可以認(rèn)為整體信號的旋轉(zhuǎn)速度“加快”了（這里實際上不準(zhǔn)確，因為正頻率部分加快了，但是負(fù)頻率部分減慢了。這里只是為了方便大家直觀上理解），相對于原有的信號，原本的本來應(yīng)當(dāng)作用在一個轉(zhuǎn)的慢的向量上的系數(shù)換乘到了轉(zhuǎn)的快的向量上，這種快慢之間的差距會造成相同系數(shù)對應(yīng)的向量之間會產(chǎn)生一個隨著時間流逝而線性增大的相位差，這個相位差可以知道，就是 。這對于每一個向量都成立，那么作用到整體信號上，便是整體信號添加一個相位差，即新信號的時域會在原來基礎(chǔ)上乘一個  。這就解釋了頻移特性。

卷積定理

傅里葉變換中一個非常重要的知識便是卷積定理。然而用上面的模型很難直觀地解釋卷積定理，我們不得不另辟蹊徑，用另外的方式來理解時域的卷積等于頻域的乘積。

首先需要理解卷積本身干了一件什么事情。我們了解的最多的卷積的作用，也是目前我們唯一學(xué)過的卷積的作用，就是已知單位沖激響應(yīng)和LTI系統(tǒng)的輸入信號，求解輸出信號的運算。其本質(zhì)即是將輸入信號按照之前時域基底分解的方法進(jìn)行分解，然后對每一個沖激信號分別求其響應(yīng)，最后在時域上疊加。我們要牢牢把握住這個定義來理解后面的變換。

之前說過，時域和頻域只是同一個信號在不同正交基底下的兩個不同坐標(biāo)。既然上面卷積的第一步是將信號按照時域分解，那么我們現(xiàn)在嘗試對信號從頻域這組基底上進(jìn)行描述。

首先考慮單位沖擊響應(yīng)這一物理概念。這個概念描述了系統(tǒng)輸入是單位沖激信號的輸出。我們知道，單位沖激信號的頻譜實際上是覆蓋全頻域的恒為1。這里我們假設(shè)單位沖擊響應(yīng)的頻譜為 。這里我們注意到，這個系統(tǒng)實際上是一個線性時不變系統(tǒng)，也就是說，這個系統(tǒng)的輸出信號的頻率只可能取輸入信號所有可能的頻率，并且不同頻率的信號之間不會互相影響。所以重新審視單位沖擊響應(yīng)的頻譜，實際上是對不同頻率輸入信號的頻率響應(yīng)，甚至可以說是這個LTI系統(tǒng)的“波特圖”，只不過坐標(biāo)軸是線性的而非對數(shù)而已。

這樣我們會發(fā)現(xiàn)，卷積在傅里葉變換的作用下成為乘積便是很顯然的：將輸入信號按照頻域展開（運算上便是進(jìn)行傅里葉變換），然后對于每一個頻率的輸入信號，都直接乘上H(ω)中對應(yīng)的系數(shù)（也就是這個頻率對應(yīng)的放大倍數(shù)），便可得到輸出信號對應(yīng)頻率的系數(shù)，從全頻率考慮便是相當(dāng)于單位沖擊響應(yīng)的頻譜與輸入信號的頻譜相乘，即可得到輸出信號的頻譜。這里如果從代數(shù)的角度考慮，如果把LTI系統(tǒng)看做對輸入信號進(jìn)行一個線性變換（也就是乘一個變換矩陣），那么這個矩陣是可“對角化”的，并且將其對角化所需要乘的可逆矩陣即是傅里葉變換，空間基底由時域的“單位沖激信號正交函數(shù)族”變成了頻域的“旋轉(zhuǎn)向量正交函數(shù)族”，而這個矩陣的特征值便是這個系統(tǒng)在各個輸入信號頻率的放大倍數(shù)，也是單位沖激響應(yīng)的頻域上的函數(shù)值。（剛剛又稍微想了一下，如果把傅里葉變換對信號做的變化看做矩陣A的話，那么 ，I為單位陣，這個可以通過傅里葉變換的對稱性推出。算是一種更為特殊的性質(zhì)吧）

最后

本來這一部分我最初想放一些自己最初沒有想清楚的問題，希望和大家一起討論，但是在總結(jié)上面東西的同時，我發(fā)現(xiàn)自己原來那些問題竟然都想通了?？磥肀M管整理這一篇亂七八糟的東西花了好多時間，但是也是一個沉淀知識，使思維系統(tǒng)化的一個過程。由于自己水平有限，寫的東西肯定有不合理之處，但是希望自己總結(jié)的東西能夠?qū)Υ蠹矣兴鶐椭?。。盡管做題用上面的想法來做會很慢，但是我認(rèn)為加深對知識本身的理解是比熟練度更為重要的（嘗試為自己菜找借口）

最后最后，因為自己在整理的時候是以第一人稱視角，是在已知自己結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行整理，可能有些推導(dǎo)結(jié)論的地方，大家以第三視角來看會有些迷惑。。。如果大家有疑問或者改正意見，歡迎大家批評指正！