手把手教你系列之FIR濾波器設計實現(xiàn)

時間：2020-05-07 01:01:16

關鍵字：濾波器設計 FIR濾波器 BSP SAMPLE

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[導讀]關注、星標嵌入式客棧，干貨及時送達 [導讀]：前面的文章介紹了移動平均濾波器、IIR濾波器、梳狀濾波器，今天來談談FIR濾波器的設計實現(xiàn)。本篇文章依然采用4W1H進行描述，從What Why Where When How幾個維度展開。為了便于理解4W1H，依然把5W1H的圖附上。 FI

關注、星標嵌入式客棧，干貨及時送達

[導讀]：前面的文章介紹了移動平均濾波器、IIR濾波器、梳狀濾波器，今天來談談FIR濾波器的設計實現(xiàn)。

本篇文章依然采用4W1H進行描述，從What Why Where When How幾個維度展開。為了便于理解4W1H，依然把5W1H的圖附上。

FIR濾波器之What？

LTI線性時不變系統(tǒng)沖激響應按照其是有限長還是無限長可分為FIR(Finite Impulse Response)有限長沖激響應系統(tǒng)以及無限長沖激響應IIR(Infinite Impulse Response)系統(tǒng)。FIR是全零點系統(tǒng)，也即Z傳遞函數(shù)在Z復平面極點全在Z=0處。至于這些概念是如何得來的，不是本文重點，如果有興趣深究，可以查閱數(shù)字信號處理方面的書籍。

FIR濾波器具有多種實現(xiàn)形式，比如直接型、二階級聯(lián)型、Lattice結構，都只是上述基本傳遞函數(shù)的不同數(shù)學表達形式，沒有本質區(qū)別，只是在具體算法實現(xiàn)上各具特點。這里將二階級聯(lián)形式描述如下。

二階級聯(lián)的意思是將上述傳遞函數(shù)分解為二階多項式塊連乘的形式，其數(shù)學表達如下：

FIR濾波器之Why？

為啥稱前面的傳遞函數(shù)形式的系統(tǒng)為有限長沖激響應呢？要從概念上理解，首先須從沖激響應說起，什么是系統(tǒng)的沖激響應？系統(tǒng)在單位沖激函數(shù)激勵下引起的零狀態(tài)響應被稱之為該系統(tǒng)的“沖激響應”。

那么什么又是沖激函數(shù)呢？

單位沖激函數(shù)（Unit-Impulse Function）是信號與系統(tǒng)學科中的一個重要概念。它是一個面積等于1的理想化了的窄脈沖。也就是說，這個脈沖的幅度等于它的寬度的倒數(shù)。當這個脈沖的寬度愈來愈小時，它的幅度就愈來愈大。當它的寬度按照數(shù)學上極限法則趨近于零時，那么它的幅度就趨近于無限大，這樣的一個脈沖就是“單位沖激函數(shù)”。在實際工程中，像“單位沖激函數(shù)”這樣的信號是不存在的，至多也就是近似而已。在理論上定義這樣一個函數(shù)，完全是為了分析研究方便的需要。<百度百科>

單位沖激函數(shù)又稱為狄拉克函數(shù)，定義為：

當時,

這玩意純數(shù)學表達僅為從嚴謹角度出發(fā)，卻不易懂，在數(shù)字信號處理領域或者稱為離散系統(tǒng)領域，定義單位沖激（也有的稱為單位采樣/單位函數(shù)/單位脈沖，管它張三、李四）這里只需要明白其物理含義即可：

那么所謂單位沖激函數(shù)響應，就是一個系統(tǒng)輸入這樣一個能量激勵，在輸出端所觀測到的響應信號，那么對于FIR系統(tǒng)而言，其響應在經過有限長的序列后，最后將穩(wěn)定在0，這就是有限長沖激響應的內涵，而無限長則是有這樣一個沖激激勵后，其響應經過無限長序列后仍不會穩(wěn)定到0。再進一步思考，為什么呢？因為FIR系統(tǒng)輸出不會反饋回輸入端，則保證其輸出響應是有限長序列，因此，“有限沖激響應”幾乎與“無反饋”等價。但是，如果采用反饋，但脈沖響應是有限的，則濾波器仍然是FIR。一個示例是移動平均濾波器，其中每次有新采樣進入時都會減去（反饋）第N個先前的采樣。即使使用反饋，該濾波器也具有有限的脈沖響應：在N個采樣樣本之后，輸出將始終為零。IIR濾波器使用反饋，因此，當輸入脈沖時，理論上輸出會無限地振蕩。所以對于這兩個概念的區(qū)分從字面去理解即可。

在實踐中，即使是IIR系統(tǒng)，其脈沖響應也通常接近零，并且可以忽略不計。但是，引起IIR或FIR響應的物理系統(tǒng)是不同的，這就是區(qū)別的重要性。例如，由電阻器，電容器和/或電感器（也許還有線性放大器）組成的模擬電子濾波器通常是IIR濾波器。另一方面，基于不使用反饋的抽頭延遲線的離散時間濾波器（通常是數(shù)字濾波器）必然是FIR濾波器。模擬濾波器中的電容器（或電感器）具有“記憶特性也即儲能特性”，其內部能量不會因脈沖而消失而馬上消失。但是在后一種情況下，在脈沖到達抽頭延遲線的末端之后，系統(tǒng)不再對該脈沖進行存儲，并返回到其初始狀態(tài)。超出該點的脈沖響應恰好為零。多說一句，在使用IIR時，是否穩(wěn)定包括在模擬電路設計時，需要考慮的一個重要指標就是其系統(tǒng)的相位裕度的概念。有興趣的可以去研究一下。

FIR濾波器之Where？

FIR濾波器的應用領域非常的廣泛：

音頻信號處理領域，會在信號處理層大量運用FIR濾波器進行信號濾波
Sigma-Delta ADC芯片內部就利用數(shù)字邏輯電路實現(xiàn)了FIR濾波器
涉及到采集信號的儀器儀表領域廣為應用
系統(tǒng)辨識領域，對于系統(tǒng)建模也常常采用濾波器濾除采集信號，以消除噪聲提高建模的準確性
圖像處理領域也廣為應用
......

說了這么多，就是想說這個東東非常有用，個人認為這是電子類開發(fā)工程師進階神器，值得深入研究，反復探究，這也是為什么花這么多精力寫這個系列的初心，希望自己的一些經驗你能幫助到其他的人。所以如果你沒有這方面的經驗，剛好看到這系列的文章，還請幫忙轉發(fā)分享以幫助到更多的人，哈哈哈。當然如果您是這方面的行家里手如果發(fā)現(xiàn)文中有錯誤或者需要改進的地方，也真誠的期待能告訴與我，幫助我糾正錯誤。所以導讀中所說懇請指正，絕非套話。

FIR濾波器之When？

當實現(xiàn)傳感器時，個人建議首先理清楚信號鏈模型，信號的頻域帶寬，是否有潛在混入噪聲的可能。是故個人認為：

如果在硬件電路處理后任然有噪聲，此時就可以考慮采用濾波器，如果所用芯片算力不錯，就可以考慮采用FIR濾波器
如果在硬件也能實現(xiàn)有源濾波器能解決產品中的噪聲干擾，但是發(fā)現(xiàn)硬件的方法需要成本比較高，或者PCB面積受限時，也推薦考慮采用數(shù)字濾波器實現(xiàn)。因為往往有源濾波器要實現(xiàn)一個比較好的通頻帶高Q值時，其階數(shù)往往很高，而且可能需要一些特殊規(guī)格的電阻電容實現(xiàn)所需的頻帶，此時數(shù)字濾波器僅需要一段代碼搞定，而且效果往往比硬件濾波器更好也更靈活。
如果在系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)采用IIR拓撲類型濾波器無法滿足線性相位需求，或者發(fā)現(xiàn)使用IIR濾波器，濾波器輸出出現(xiàn)嚴重失真或者不穩(wěn)定現(xiàn)象時，推薦考慮采用FIR濾波器。
再比如你是用FPGA設計一個系統(tǒng)，也需要實現(xiàn)模擬信號采集，此時也可以考慮直接用數(shù)字電路直接實現(xiàn)FIR濾波器，因為FPGA的硬并行特性為實現(xiàn)高階FIR濾波器提供了非常好硬件基礎。
......

FIR濾波器之How？

設計FIR濾波器從書本知識，可以發(fā)現(xiàn)有窗函數(shù)法、切比雪夫逼近法、最小均方差等方法，這些方法從數(shù)學理論上給出了設計原理，但作為工程師而言，個人認為只需要理解其概念內涵即可。學以致用才是目的，所以強大的MATLAB 工具fdatool以及實現(xiàn)了這些基本的設計方法。當然如果對于MATLAB函數(shù)很熟悉，直接來段MATLAB程序效果也是一樣的。這里仍然利用fdatool來示例如何設計實現(xiàn)FIR濾波器。

本文以實現(xiàn)采樣頻率20kHz，帶寬為100Hz～5KHz帶通濾波器。

假設設計一個64階的FIR帶通濾波器，其指標為：

Fstop1為60Hz, Fpass1為100Hz
Fpass2為5000Hz, Fstop1為5100Hz
Wstop1 為40dB,Wstop2 為40dB,

其幅頻響應為：

相頻響應如下圖，可見在通頻帶內，隨頻率的增加，其相位延遲也是線性增加的，這就是線性相位的含義。

前面說到沖激響應，這里將圖附上幫助理解。

其參數(shù)太長就不貼在這里了，直接放到測試代碼中。

接下來就進行C代碼實現(xiàn)，由其Z傳遞函數(shù)，比較容易得到其差分方程為：

C語言實現(xiàn)及測試程序如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>

#define FIR_RANK  64
typedef float E_SAMPLE;
typedef float E_COEFF;

typedef struct _t_FIR_STATE
{
    E_SAMPLE x[FIR_RANK];
    int index;
}t_FIR_STATE;
typedef struct _t_FIR_COFF
{
    E_COEFF coeff[FIR_RANK+1];
}t_FIR_COFF;

void fir_init(t_FIR_STATE * pFir)
{
    memset(pFir,0,sizeof(t_FIR_STATE));
    pFir->index = -1;
}

E_SAMPLE fir_filter(t_FIR_STATE * pFir,const t_FIR_COFF *pCff,E_SAMPLE xn)
{
    double yn=0;
    int i=0;
    if(pFir->index==-1)
    {
        for(i=0;i<FIR_RANK;i++)
        {
            pFir->x[i] = xn;
        }
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    }

    yn = pCff->coeff[0]*xn;
    for(i=pFir->index+1;i<FIR_RANK;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    for(i=0;i<=pFir->index;i++)
    {
        yn += pCff->coeff[FIR_RANK+i-pFir->index]*pFir->x[i];
    }

    /*存儲xn為下次迭代準備*/
    pFir->x[pFir->index] = xn;


    if(pFir->index==0)
        pFir->index = FIR_RANK-1;
    else
        pFir->index--;

    return yn;
}

#define SAMPLE_RATE 20000.0f
#define SAMPLE_SIZE 1024
#define PI 3.415926f
const t_FIR_COFF coff={
-0.011262440038163873,-0.013943401141922421,-0.0081737662228137248,-0.0098154763556324871,
-0.02113385595071398,-0.02217110374674186, -0.0086760432252453272,-0.0053777731960091618,
-0.020684485378668873,-0.026487927162555332,-0.0099598536658154907,-0.0020760557762302574,
-0.020234665687863043,-0.030631983578413714,-0.010974822973539177, 0.0018520388094555051,
-0.019945227624679929,-0.035904990372740073,-0.011725945979530706, 0.0077957069084101244,
-0.019771168997491595,-0.044197538806107613,-0.012256200606615813, 0.018808015681099421,
-0.01967177670413162, -0.06116090480347313, -0.012595538855093001, 0.047238864700837428,
-0.019621294906038051,-0.12211186053365741,-0.012761289558492961, 0.30206303190057837,
 0.4803940881892042,   0.30206303190057837,-0.012761289558492961,-0.12211186053365741,
-0.019621294906038051, 0.047238864700837428,-0.012595538855093001,-0.06116090480347313,
-0.01967177670413162,  0.018808015681099421,-0.012256200606615813,-0.044197538806107613,
-0.019771168997491595, 0.0077957069084101244,-0.011725945979530706,-0.035904990372740073,
-0.019945227624679929, 0.0018520388094555051,-0.010974822973539177,-0.030631983578413714,
-0.020234665687863043,-0.0020760557762302574,-0.0099598536658154907,-0.026487927162555332,
-0.020684485378668873,-0.0053777731960091618,-0.0086760432252453272,-0.02217110374674186,
-0.02113385595071398, -0.0098154763556324871,-0.0081737662228137248,-0.013943401141922421,
-0.011262440038163873
};
int main()
{
    E_SAMPLE rawSin[SAMPLE_SIZE];
    E_SAMPLE outSin[SAMPLE_SIZE];

    t_FIR_STATE fir;

    FILE *pFile=fopen("./simulationSin.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("simulationSin.csv opened failed");
        return -1;
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        rawSin[i]  = 5*sin(2*PI*20*i/SAMPLE_RATE);//+rand()%10;
        rawSin[i] += 5*sin(2*PI*7000*i/SAMPLE_RATE);
        rawSin[i] += 10*sin(2*PI*2500*i/SAMPLE_RATE);
    }

    /*初始化*/
    fir_init(&fir);
    /*濾波*/
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        outSin[i]=fir_filter(&fir,&coff,rawSin[i]);
    }

    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",rawSin[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<SAMPLE_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",outSin[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

同樣利用excel生成波形：

可見濾波效果不錯。下面進行總結：

FIR濾波器與IIR濾波器相比的優(yōu)勢：

可以很容易地將它們設計為“線性相位”（通常是）。簡而言之，線性相位濾波器會延遲輸入信號，但不會使其相位失真。
很容易實現(xiàn)。在大多數(shù)DSP微處理器上，可以通過循環(huán)一條指令來完成FIR計算。
適合于多速率應用。所謂多速率，是指“抽取”（降低采樣率），“內插”（提高采樣率）或兩者兼而有之。有興趣的可進一步深入研究，無論是抽取還是插值，F(xiàn)IR濾波器的使用都可以省略某些計算，從而提供了重要的計算效率。相反，如果使用IIR濾波器，則即使要丟棄每個輸出，每個輸出也必須單獨計算。
具有令人滿意的數(shù)值屬性。實際上，大部分DSP濾波器都必須使用有限精度算法（即有限的定點位數(shù)）來實現(xiàn)。由于使用了反饋，因此在IIR濾波器中使用有限精度算術會引起嚴重的誤差問題，但是沒有反饋的FIR濾波器通常可以使用更少的位來實現(xiàn)，并且設計人員需要解決的與非理想算術有關的實際問題也更少。
可以使用分數(shù)算法來實現(xiàn)。與IIR濾波器不同，始終可以使用幅度小于1.0的系數(shù)來實現(xiàn)FIR濾波器。（如果需要，可以在FIR濾波器的輸出處調整其總增益。）使用定點DSP時，這是一個重要的考慮因素，因為它使實現(xiàn)更加簡單。

FIR濾波器與IIR濾波器相比的劣勢：