高斯濾波器的原理和實(shí)現(xiàn)

高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內(nèi)的像素的均值作為輸出。其窗口模板的系數(shù)和均值濾波器不同，均值濾波器的模板系數(shù)都是相同的為1;而高斯濾波器的模板系數(shù)，則隨著距離模板中心的增大而系數(shù)減小。所以，高斯濾波器相比于均值濾波器對(duì)圖像個(gè)模糊程度較小。

什么是高斯濾波器

既然名稱為高斯濾波器，那么其和高斯分布(正態(tài)分布)是有一定的關(guān)系的。一個(gè)二維的高斯函數(shù)如下：

其中(x,y)(x,y)為點(diǎn)坐標(biāo)，在圖像處理中可認(rèn)為是整數(shù);σσ是標(biāo)準(zhǔn)差。要想得到一個(gè)高斯濾波器的模板，可以對(duì)高斯函數(shù)進(jìn)行離散化，得到的高斯函數(shù)值作為模板的系數(shù)。例如：要產(chǎn)生一個(gè)3×33×3的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行取樣。模板在各個(gè)位置的坐標(biāo)，如下所示(x軸水平向右，y軸豎直向下)

這樣，將各個(gè)位置的坐標(biāo)帶入到高斯函數(shù)中，得到的值就是模板的系數(shù)。

對(duì)于窗口模板的大小為(2k+1)×(2k+1)，模板中各個(gè)元素值的計(jì)算公式如下：

這樣計(jì)算出來(lái)的模板有兩種形式：小數(shù)和整數(shù)。

小數(shù)形式的模板，就是直接計(jì)算得到的值，沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何的處理;

整數(shù)形式的，則需要進(jìn)行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會(huì)具體介紹。使用整數(shù)的模板時(shí)，需要在模板的前面加一個(gè)系數(shù)，系數(shù)為也就是模板系數(shù)和的倒數(shù)。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，實(shí)現(xiàn)起來(lái)也就不困難了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double?sigma)
{
static const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標(biāo)的原點(diǎn)
double x2, y2;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
window[i][j] = g;
}
}
double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數(shù)歸一化為1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] *= k;
}
}
}
需要一個(gè)二維數(shù)組，存放生成的系數(shù)(這里假設(shè)模板的最大尺寸不會(huì)超過(guò)11);第二個(gè)參數(shù)是模板的大小(不要超過(guò)11);第三個(gè)參數(shù)就比較重要了，是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

生成的過(guò)程，首先根據(jù)模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍歷，根據(jù)高斯分布的函數(shù)，計(jì)算模板中每個(gè)系數(shù)的值。

需要注意的是，最后歸一化的過(guò)程，使用模板左上角的系數(shù)的倒數(shù)作為歸一化的系數(shù)(左上角的系數(shù)值被歸一化為1)，模板中的每個(gè)系數(shù)都乘以該值(左上角系數(shù)的倒數(shù))，然后將得到的值取整，就得到了整數(shù)型的高斯濾波器模板。

下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板

對(duì)上述解結(jié)果取整后得到如下模板：

這個(gè)模板就比較熟悉了，其就是根據(jù)σ=0.8的高斯函數(shù)生成的模板。

至于小數(shù)形式的生成也比較簡(jiǎn)單，去掉歸一化的過(guò)程，并且在求解過(guò)程后，模板的每個(gè)系數(shù)要除以所有系數(shù)的和。具體代碼如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
staTIc const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標(biāo)的原點(diǎn)
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
sum += g;
window[i][j] = g;
}
}
//double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數(shù)歸一化為1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] /= sum;
}
}
}
3×3,σ=0.8的小數(shù)型模板。

σσ值的意義及選取

通過(guò)上述的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，高斯濾波器模板的生成最重要的參數(shù)就是高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σσ。標(biāo)準(zhǔn)差代表著數(shù)據(jù)的離散程度，如果σσ較小，那么生成的模板的中心系數(shù)較大，而周圍的系數(shù)較小，這樣對(duì)圖像的平滑效果就不是很明顯;反之，σσ較大，則生成的模板的各個(gè)系數(shù)相差就不是很大，比較類似均值模板，對(duì)圖像的平滑效果比較明顯。

來(lái)看下一維高斯分布的概率分布密度圖：

橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個(gè)曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σσ(標(biāo)準(zhǔn)差)決定了這個(gè)圖形的寬度，可以得出這樣的結(jié)論：σσ越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩;σσ越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實(shí)很好理解，如果sigma也就是標(biāo)準(zhǔn)差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬(分布越分散);同理，當(dāng)σσ越小時(shí)，說(shuō)明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄!

于是可以得到如下結(jié)論：

σσ越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類似于平均模板；

σσ越小，分布越集中，中間部分所占比重遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他元素值，于是自然而然就相當(dāng)于中間值得點(diǎn)運(yùn)算。

基于OpenCV的實(shí)現(xiàn)

在生成高斯模板好，其簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)和其他的空間濾波器沒(méi)有區(qū)別，具體代碼如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像
const staTIc double pi = 3.1415926;
// 根據(jù)窗口大小和sigma生成高斯濾波器模板
// 申請(qǐng)一個(gè)二維數(shù)組，存放生成的高斯模板矩陣
double **templatematrix?= new double*[ksize];
for (int i = 0; i < ksize; i++)
templateMatrix[i] = new double[ksize];
int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點(diǎn)
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - origin, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - origin, 2);
// 高斯函數(shù)前的常數(shù)可以不用計(jì)算，會(huì)在歸一化的過(guò)程中給消去
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
sum += g;
templateMatrix[i][j] = g;
}
}
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
templateMatrix[i][j] /= sum;
cout