■ 前言

在網(wǎng)文 「An Electronic Mesurement of the Boltzmann's Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode」^[1] 中介紹了使用三極管2N3094來測量 「Boltzmann Constant」 的方法。

由于這個(gè)方法簡便易行，所使用的設(shè)備也是大多數(shù)電子實(shí)驗(yàn)室都具備，所以稱為很多電子類課程中，學(xué)生喜歡做的電子實(shí)驗(yàn)。

玻爾茲曼常數(shù)（Boltzmann constant），通常使用 表示，是指有關(guān)于溫度及能量的一個(gè)物理常數(shù)。玻爾茲曼是一位奧地利物理學(xué)家，在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的理論有重大貢獻(xiàn)，玻爾茲曼常數(shù)具有相當(dāng)重要的地位。

01實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

1.基于2N3904的Boltzmann常數(shù)

在PN結(jié)兩邊，存在一個(gè)由電子-空穴擴(kuò)散而形成的耗散區(qū)，以及伴隨著的接觸電位 區(qū)，只有熱量動(dòng)能超過 的電子才能夠從n型區(qū)域穿越到p型區(qū)域。根據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)原理，處在熱平衡下電子的動(dòng)能分布遵循 「玻爾茲曼分布」^[2] 。具有能量為 的概率為：

其中 是漂移電流， 是比例常數(shù)， 是溫度， 是玻爾茲曼常數(shù)。

這股漂移電流在耗散區(qū)建立一個(gè)電場 。到外部電壓 施加在PN結(jié)，產(chǎn)生電場 ，產(chǎn)生電流：

這樣，外部總電流為：

在推文開始提到的文章中，使用 「2N3904」^[3] 測試二極管的I-V特性。對于2N23904的電流放大和轉(zhuǎn)換，選擇了 「LF356」 運(yùn)放進(jìn)行I-V轉(zhuǎn)換。LF356的偏置電壓為10mA和偏置電流為30pA。

下面是實(shí)驗(yàn)所使用的電路圖。根據(jù)「Measurement of Boltzmann's constant」^[4] 文獻(xiàn)中描述，測量A，B兩點(diǎn)的電壓，便可以建立起 的發(fā)射結(jié)對應(yīng)的電壓與電流之間的關(guān)系。

后級(jí)的 「LF351」^[5] 組成電流-電壓轉(zhuǎn)換電路，根據(jù)電路中的參數(shù)，B點(diǎn)的電壓與流經(jīng) 集電極電流之間的關(guān)系為： 。

在實(shí)驗(yàn)中，使用「DP1308可編程直流電源」^[6]的-25V輸出電壓串聯(lián)一個(gè)10kΩ電阻做為A點(diǎn)給定電源。使用「FLUKE45」測量A點(diǎn)電位，使用「DM3068」 位數(shù)字萬用表測量B點(diǎn)的電壓并自動(dòng)記錄。

2. 測量數(shù)據(jù)分析

設(shè)置數(shù)字直流電源DP1308輸出電壓從**-0.2到-10V**，同時(shí)測量A,B兩點(diǎn)的電壓變化，并換算成PN結(jié)的電壓-電流關(guān)系，繪制如下。

利用模型（3）匹配上述測量數(shù)據(jù)，將模式簡化成下帶有參數(shù)[a,b,c]的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，利用前面測量的PN結(jié)I-V數(shù)據(jù)，使用SCIPY.OPTIMIZE中的curve_fit函數(shù)進(jìn)行函數(shù)擬合，獲得參數(shù)[a,b,c]的數(shù)值。

測量參數(shù)為：

a=2.33332986e-11 

b=3.79731168e+01 

c=8.85188988e-03

由模式(3)可以知道，參數(shù)b與Boltzmann常數(shù)之間的關(guān)系：

將常數(shù)e, T = 300(27攝氏度)代入上面公式，可以得到:

這個(gè)數(shù)值比現(xiàn)在測到得到精確的Botlzmann常數(shù)大了1.9%左右。在上述時(shí)間條件下，這個(gè)數(shù)值非常精確了。

3. 基于NPN 8050測試Boltzmann常數(shù)

將前面所使用的三極管2N3904更換成另外一款NPN性的硅三極管8050，使用相同的測試方案完成8050的b-e結(jié)的電壓-電流測試，所得到的數(shù)據(jù)曲線如下：

使用相同的方法進(jìn)行建模，并計(jì)算參數(shù)：

這個(gè)數(shù)值比精確Boltzmann常數(shù)大了3.29%。

4. 將2N3904的C.E對換測量

測量三級(jí)管b-c之間的PN結(jié)的電壓與電流曲線。在上述實(shí)驗(yàn)中將2N3904的c，e管腳互換，測量得到的PN結(jié)電流-電壓曲線如下：

這個(gè)結(jié)果比精確Boltzmann常數(shù)大了14.2%。

5. 只使用2N3904的b-e的PN結(jié)進(jìn)行測量

根據(jù)測量的電壓電流曲線，可以得到對應(yīng)的模型參數(shù)和Boltzmann常數(shù)如下：

這個(gè)數(shù)值比起精確的Boltzmann常數(shù)的數(shù)值高了78.1%。

02二極管的分段特性對結(jié)果的影響

在博文 「二極管極低電流I-V特性測量」^[7] 中，給出了二極管PN結(jié)的分段指數(shù)特性，即模型（3）中的電流 在不同的前向電流的情況下取值是不同相同，這個(gè)變化也會(huì)導(dǎo)致測量的Boltzmann常數(shù)發(fā)生變化。

在實(shí)驗(yàn)[02-1]中，選擇不同測量數(shù)據(jù)的來擬合估算Boltzmann常數(shù)會(huì)產(chǎn)生一定的變化。下面選擇2N3904測量數(shù)據(jù)中，從數(shù)據(jù)編號(hào)n=10（對應(yīng)電流：0.06mA）開始，結(jié)束數(shù)據(jù)編號(hào)n從50變化到100，使用模型（3）計(jì)算相應(yīng)的Boltzmann常數(shù)，對應(yīng)的誤差曲線如下：

從數(shù)值計(jì)算結(jié)果來看，使用前面數(shù)據(jù)測量范圍（10~78），對應(yīng)電流（0.06mA變化到0.7mA）時(shí)，測到得到的Boltzmann的誤差最小。

※ 結(jié)論

1.PN測量不同方案比較

使用相同的PN結(jié)的模型，對于四種不同的方案測量了Boltzmann常數(shù)，其中包括有兩種不同型號(hào)硅NPN雙極性三極管，三極管的b-e,b-c結(jié)的測量，以及直接測量b-e的PN結(jié)電壓電流的情況。

通過前面的實(shí)驗(yàn)，可以看到使用2N3904基極接地的配置，測量的結(jié)果誤差最小。更換NPN晶體管為8050，測量的結(jié)果偏大一些。如果將2N3904的C,E極進(jìn)行對換，雖然從晶體管的結(jié)構(gòu)上是對稱的，但是結(jié)果誤差更大。

由于PN結(jié)電壓-電流模型中的參數(shù)隨著電流不同，導(dǎo)致PN結(jié)附近半導(dǎo)體內(nèi)部的電子與空閑運(yùn)動(dòng)模式變化，從而使得模型參數(shù)也發(fā)生變化。所以使用不同電流范圍數(shù)據(jù)，測量數(shù)的Boltzmann的數(shù)據(jù)有所變化

2.參考文獻(xiàn)

1. 「Measurement of Boltzmann's constant」 ^[4] .  Phys. Educ. 20 1996. Printed in Great Britain.

Reference