Sigmoid函數(shù)的擬合法分析及其高效處理

摘 要： 使用分段非線性逼近算法計算超越函數(shù)，以神經(jīng)網(wǎng)絡中應用最為廣泛的Sigmoid函數(shù)為例，結(jié)合函數(shù)自身對稱的性質(zhì)及其導數(shù)不均勻的特點提出合理的分段方法，給出分段方式同逼近多項式階數(shù)對逼近結(jié)果精度的影響。完成算法在FPGA上的硬件實現(xiàn)，給出一種使用三階多項式處理Sigmoid函數(shù)的擬合結(jié)果及流水線架構(gòu)，處理精度達到10-5數(shù)量級，最大頻率達到127.327 MHz，滿足了高速、高精度的處理要求。
 

在實時圖像處理、數(shù)字信號處理等領域內(nèi)，經(jīng)常需要對非線性函數(shù)進行高速計算[1]。而在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中更是需要對大量的非線性函數(shù)進行計算。因此，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡的研究領域內(nèi)，研究如何高速地處理非線性函數(shù)具有十分重要的意義。在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中應用最為廣泛的是Sigmoid函數(shù)。目前對于Sigmoid函數(shù)實現(xiàn)技術(shù)的研究主要分為軟件實現(xiàn)和硬件實現(xiàn)兩個方面。由于軟件相比硬件而言速度較慢并且并行程度很低，所以無法滿足其快速處理的要求[2]。因此，在超大規(guī)模集成電路快速發(fā)展的當今時期，研究如何利用硬件快速處理Sigmoid函數(shù)顯然更加有意義。

FPGA憑借其可重構(gòu)技術(shù)的靈活性，成為解決Sigmoid函數(shù)高速計算問題的有力工具。目前利用FPGA計算Sigmoid函數(shù)常用的方法有查找表法、CORDIC算法、Taylor級數(shù)展開法和分段線性逼近法。查找表法[3]提前將所有的計算結(jié)果保存在一個ROM中，這種方法計算方便且容易實現(xiàn)，但是隨著函數(shù)計算精度的提高和擬合區(qū)間的增加，其所需求的存儲資源會顯著增加，資源消耗很高。CORDIC算法[4]通過多次迭代將一些復雜的運算轉(zhuǎn)換成為簡單的運算，但是隨著精度增高，其算法的迭代次數(shù)也會提高，計算速度會減慢。Taylor級數(shù)展開法[5]在精度要求較高的條件下會增加乘法器和加法器的使用，資源消耗巨大。分段線性逼近法[6-7]將查找表和低階多項式相結(jié)合，計算速度較快，是當前解決此問題的主流方法，然而在有限的分段區(qū)間用低階的多項式進行擬合運算，其計算結(jié)果在精度上并沒有優(yōu)勢，難以實現(xiàn)高精度的運算要求。

為了解決上述問題，本文采用傳統(tǒng)的分段非線性逼近法來處理Sigmoid函數(shù)。文獻[8]中使用了分段非線性逼近法來處理神經(jīng)網(wǎng)絡中常見的雙曲正切函數(shù)，然而文中并沒有給出分段方法的依據(jù)，同時在各小段的分段區(qū)間所得到的精度也差異很大。因此，本文針對這一問題，以Sigmoid函數(shù)為研究對象，結(jié)合Sigmoid函數(shù)自身對稱及其導數(shù)不均勻的性質(zhì)，利用數(shù)值分析中的最小二乘法作為逼近原理，給出合理的分段方式。同時給出對比均勻分段的處理方式下逼近精度的差異情況。利用硬件描述語言實現(xiàn)硬件結(jié)構(gòu)的設計，并在Xilinx Virtex-5系列的XC5VLX110T器件上完成實際驗證和性能測試，從資源使用、運算速度同計算精度等方面對設計結(jié)果進行合理評估。

分段非線性逼近法的基本原理是用高階多項式來逼近曲線。首先將待逼近函數(shù)按照一定的方式進行分段，之后對每一個小段構(gòu)建高階多項式近似地代替原曲線，從而將復雜的非線性函數(shù)的計算問題轉(zhuǎn)換成為多項式的計算問題。

由泰勒公式的原理可知，函數(shù)在某一點按照泰勒公式展開，隨著展開的項數(shù)越來越多，逼近式的誤差會越來越小。并且，隨著項數(shù)的增加，每一項在數(shù)值上逐漸遞減，并最終趨向于無窮小。函數(shù)在某一點按照泰勒公式展開，保留N階多項式時，其之后的所有項數(shù)均影響誤差，并且(N+1)階導函數(shù)的數(shù)值直接影響N階多項式的逼近結(jié)果。具體影響的方式為：N+1階導數(shù)取絕對值后，其值越大，表明函數(shù)在這一點處使用N階多項式逼近的誤差越高，因此在這點處對應的分段區(qū)間間隔應該相對較??；其值越小，表明函數(shù)在這一點處使用N階多項式逼近的誤差越低，因此在這點處對應的分段區(qū)間間隔應該相對較大。在考慮分段時，可以根據(jù)N+1階導數(shù)的數(shù)值大小，將函數(shù)的分段區(qū)間進行動態(tài)調(diào)整，避免造成誤差過大。通過這樣的處理方式，可以對分段方式進行一些優(yōu)化。下面結(jié)合Sigmoid函數(shù)進行具體分析。

首先分析Sigmoid函數(shù)及其導函數(shù)的性質(zhì)，如圖1。F(x)為Sigmoid函數(shù)，G(x)為其4階導函數(shù)。在保證足夠的分段區(qū)間時，使用3階多項式就能夠得到較高的逼近精度。因此，本文使用3階多項式逼近Sigmoid函數(shù)，4階導函數(shù)G(x)直接影響逼近的誤差。通過研究圖像，得出以下結(jié)論：

(1)Sigmoid函數(shù)F(x)是以點(0，0.5)為對稱中心的函數(shù)，因此在計算Sigmoid函數(shù)值時只需計算正區(qū)間或負區(qū)間，另一半可通過對稱關(guān)系得到；

(2)以正區(qū)間為研究對象，Sigmoid函數(shù)的4階導數(shù)在x=1處附近取得最大值，并向兩側(cè)衰減，隨著x的不斷增大，4階導數(shù)最終趨向于0。