編程大佬眼中的線性代數(shù)，到底是什么樣的？

線性代數(shù)是什么？

在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中，線性代數(shù)是最為抽象的一門課，從初等數(shù)學(xué)到線性代數(shù)的思維跨度比微積分和概率統(tǒng)計(jì)要大得多。很多人學(xué)過以后一直停留在知其然不知 其所以然的階段，若干年之后接觸圖形編程或機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域才發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用無處不在，但又苦于不能很好地理解和掌握。的確，多數(shù)人很容易理解初等數(shù)學(xué) 的各種概念，函數(shù)、方程、數(shù)列一切都那么的自然，但是一進(jìn)入線性代數(shù)的世界就好像來到了另一個(gè)陌生的世界，在各種奇怪的符號(hào)和運(yùn)算里迷失了。

我在初接觸線性代數(shù)的時(shí)候簡(jiǎn)直感覺這是一門天外飛仙的學(xué)科，一個(gè)疑問在我腦子里浮現(xiàn)出來：

線性代數(shù)到底是一種客觀的自然規(guī)律還是人為的設(shè)計(jì)？

如果看到這個(gè)問題，你的反應(yīng)是“這還用問，數(shù)學(xué)當(dāng)然是客觀的自然規(guī)律了”，我一點(diǎn)兒都不覺得奇怪，我自己也曾這樣認(rèn)為。從中學(xué)的初等數(shù)學(xué)和初等物理 一路走來，很少人去懷疑一門數(shù)學(xué)學(xué)科是不是自然規(guī)律，當(dāng)我學(xué)習(xí)微積分、概率統(tǒng)計(jì)時(shí)也從來沒有懷疑過，唯獨(dú)線性代數(shù)讓我產(chǎn)生了懷疑，因?yàn)樗母鞣N符號(hào)和運(yùn)算 規(guī)則太抽象太奇怪，完全對(duì)應(yīng)不到生活經(jīng)驗(yàn)。所以，我還真要感謝線性代數(shù)，它引發(fā)了我去思考一門數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。其實(shí)，不止是學(xué)生，包括很多數(shù)學(xué)老師都不清 楚線性代數(shù)到底是什么、有什么用，不僅國(guó)內(nèi)如此，在國(guó)外也是這樣，國(guó)內(nèi)的孟巖寫過《理解矩陣》，國(guó)外的Sheldon Axler教授寫過《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》，但都還沒有從根本上講清楚線性代數(shù)的來龍去脈。對(duì)于我自己來講，讀大學(xué)的時(shí)候沒有學(xué)懂線性代數(shù)，反而是后來從編程的角度理解了它。很多人說數(shù)學(xué)好可以幫助編程，我恰好反過來了，對(duì)程序的理解幫助了我理解數(shù)學(xué)。

本文的目標(biāo)讀者是程序員，下面我就帶各位做一次程序員在線性代數(shù)世界的深度歷險(xiǎn)！既然是程序員，在進(jìn)入線性代數(shù)的領(lǐng)域之前，我們不妨先從考察一番程序世界，請(qǐng)思考這樣一個(gè)問題：

計(jì)算機(jī)里面有匯編、C/C++、Java、Python等通用語言，還有Makefile、CSS、SQL等DSL，這些語言是一種客觀的自然規(guī)律還是人為的設(shè)計(jì)呢？

為什么要問這樣一個(gè)看起來很蠢的問題呢？因?yàn)樗拇鸢革@而易見，大家對(duì)天天使用的程序語言的認(rèn)識(shí)一定勝過抽象的線性代數(shù)，很顯然程序語言雖然包含了 內(nèi)在的邏輯，但它們本質(zhì)上都是人為的設(shè)計(jì)。所有程序語言的共同性在于：建立了一套模型，定義了一套語法，并將每種語法映射到特定的語義。程序員和語言實(shí)現(xiàn) 者之間遵守語言契約：程序員保證代碼符合語言的語法，編譯器/解釋器保證代碼執(zhí)行的結(jié)果符合語法相應(yīng)的語義。比如，C++規(guī)定用new A()語法在堆上構(gòu)造對(duì)象A，你這樣寫了C++就必須保證相應(yīng)的執(zhí)行效果，在堆上分配內(nèi)存并調(diào)用A的構(gòu)造函數(shù)，否則就是編譯器違背語言契約。

從應(yīng)用的角度，我們能不能把線性代數(shù)視為一門程序語言呢？答案是肯定的，我們可以用語言契約作為標(biāo)準(zhǔn)來試試。假設(shè)你有一個(gè)圖像，你想把它旋轉(zhuǎn)60 度，再沿x軸方向拉伸2倍；線性代數(shù)告訴你，“行！你按我的語法構(gòu)造一個(gè)矩陣，再按矩陣乘法規(guī)則去乘你的圖像，我保證結(jié)果就是你想要的”。

實(shí)際上，線性代數(shù)和SQL這樣的DSL非常相似，下面來作一些類比：

• 模型和語義：SQL是在低級(jí)語言之上建立了關(guān)系模型，核心語義是關(guān)系和關(guān)系運(yùn)算；線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)之上建立了向量模型，核心語義是向量和線性變換

• 語法：SQL為每種語義定義了相應(yīng)的語法，如select, where, join等；線性代數(shù)也定義了向量、矩陣、矩陣乘法等語義概念相應(yīng)的語法

• 編譯/解釋：SQL可以被編譯/解釋為C語言；線性代數(shù)相關(guān)概念和運(yùn)算規(guī)則可以由初等數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋

• 實(shí)現(xiàn)：我們可以在MySQL、Oracle等關(guān)系數(shù)據(jù)庫上進(jìn)行SQL編程；我們也可以在MATLAB、Mathematica等數(shù)學(xué)軟件上進(jìn)行線性代數(shù)編程

所以，從應(yīng)用的角度看，線性代數(shù)是一種人為設(shè)計(jì)的領(lǐng)域特定語言(DSL)，它建立了一套模型并通過符號(hào)系統(tǒng)完成語法和語義的映射。實(shí)際上，向量、矩陣、運(yùn)算規(guī)則的語法和語義都是人為的設(shè)計(jì)，這和一門語言中的各種概念性質(zhì)相同，它是一種創(chuàng)造，但是前提是必須滿足語言契約。

為什么要有線性代數(shù)？

可能有人對(duì)把線性代數(shù)當(dāng)成一門DSL不放心，我給你一個(gè)矩陣，你就把我的圖形旋轉(zhuǎn)了60度沿x軸拉伸了2倍，我總感覺不踏實(shí)啊，我都不知道你“底 層”是怎么做！其實(shí)，這就像有的程序員用高級(jí)語言不踏實(shí)，覺得底層才是程序的本質(zhì)，老是想知道這句話編譯成匯編是什么樣？那個(gè)操作又分配了多少內(nèi)存？別人 在Shell里直接敲一個(gè)wget命令就能取下一個(gè)網(wǎng)頁，他非要用C語言花幾十分鐘來寫一堆代碼才踏實(shí)。其實(shí)，所謂底層和上層只是一種習(xí)慣性的說法，并不 是誰比誰更本質(zhì)。程序的編譯和解釋本質(zhì)上是不同模型間的語義映射，通常情況下是高級(jí)語言映射為低級(jí)語言，但是完全也可以把方向反過來。Fabrice Bellard用JavaScript寫了一個(gè)虛擬機(jī)，把Linux跑在JavaScript虛擬機(jī)上，這就是把機(jī)器模型往JavaScript模型上映射。

建立新模型肯定依賴于現(xiàn)有的模型，但這是建模的手段而不是目的，任何一種新模型的目的都為了更簡(jiǎn)單地分析和解決某一類問題。線性代數(shù)在建立的時(shí)候，它的各種概念和運(yùn)算規(guī)則依賴于初等數(shù)學(xué)的知識(shí)，但是一旦建立起來這層抽象模型之后，我們就應(yīng)該習(xí)慣于直接利用高層次的抽象模型去分析和解決問題。

說到線性代數(shù)是為了比初等數(shù)學(xué)更容易地分析和解決問題，下面我們通過一個(gè)例子來實(shí)際感受一下它的好處：

給定三角形的頂點(diǎn)(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，求三角形的面積。

初等數(shù)學(xué)中三角形面積最著名的計(jì)算公式是area = 1/2 * base * height ，當(dāng)三角形有一條邊恰好在坐標(biāo)軸上時(shí)我們就很容易算出它的面積。但是，假如同樣一個(gè)三角形我們把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一下，讓它的邊不在坐標(biāo)軸上，怎么辦？我們還能得到它的底和高嗎？答案肯定是可以的，但是就明顯復(fù)雜了，而且還要分很多種情況去分別討論。

相反，如果我們用線性代數(shù)知識(shí)來解決這個(gè)問題就非常輕松。在線性代數(shù)中兩個(gè)向量a，b的叉積(Cross Product)是一個(gè)向量，其方向與a，b垂直，其大小等于a，b構(gòu)成的平行四邊形的面積:

我們可以把三角形的邊視為向量，所以三角形的面積等于兩個(gè)邊向量的叉積除以二的絕對(duì)值：

area = abs(1/2 * cross_product((x2 - x1, y2 - y1), (x3 - x1, y3 - y1)))

注：abs表示取絕對(duì)值，cross_product表示兩個(gè)向量的叉積。

這樣一個(gè)在初等數(shù)學(xué)里面有點(diǎn)兒小難的問題在線性代數(shù)中瞬間搞定！可能有人會(huì)說，你直接基于叉積來做，當(dāng)然簡(jiǎn)單了，但是叉積本身不是也挺復(fù)雜的嗎？你把它展開試試看呢？是的，模型的作用就是把一部分復(fù)雜性隱藏到模型中，使得模型的使用者可以更加簡(jiǎn)單地解決問題。曾經(jīng)有人質(zhì)疑C++太復(fù)雜，C++之父Bjarne Stroustrup這樣回答：

Complexity will go somewhere: if not the language then the application code.

在特定環(huán)境下，問題的復(fù)雜性是由其本質(zhì)決定的，C++把一部分的復(fù)雜性納入了語言和標(biāo)準(zhǔn)庫，目的是使得應(yīng)用程序更為簡(jiǎn)單。當(dāng)然，并非所有場(chǎng)合C++ 都使得問題更加簡(jiǎn)單，但是從原理上講，C++的復(fù)雜性是有道理的。除了C++，Java、SQL、CSS等各種語言和框架莫不如是，想象一下，如果不使用 數(shù)據(jù)庫，動(dòng)不動(dòng)就自己去做數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和管理是多么復(fù)雜啊！這樣我們就不難理解為什么線性代數(shù)要定義叉積這樣奇怪的運(yùn)算了，它和C++把很多常用的算法和容器 納入STL是同一道理。同樣的，甚至你還可以在線性代數(shù)中定義自己想要的運(yùn)算拿來復(fù)用。所以，數(shù)學(xué)一點(diǎn)兒不死板，它和程序一樣是活活潑潑的，你理解了它的 來龍去脈就能駕馭自如。說到這里，我們就順便回答一個(gè)很常見的疑惑：

線性代數(shù)的點(diǎn)積、叉積還有矩陣運(yùn)算都很奇怪，為什么要定義這些運(yùn)算呢？它們的定義又為什么是這個(gè)樣子呢？

其實(shí)，和程序復(fù)用一樣，線性代數(shù)定義點(diǎn)積、叉積和矩陣運(yùn)算是因?yàn)樗鼈兊膽?yīng)用非常廣，有很大的復(fù)用價(jià)值，可以作為我們分析和解決問題的基礎(chǔ)。比如，很多問題都涉及到一個(gè)向量到另一個(gè)向量的投影或是求兩個(gè)向量的夾角，那么就會(huì)考慮專門定義點(diǎn)積(Dot Product)這個(gè)運(yùn)算：

點(diǎn)積概念的提出屬于設(shè)計(jì)，有發(fā)揮創(chuàng)造的余地；一旦設(shè)計(jì)定了，具體公式就不能隨意發(fā)揮了，必須符合邏輯，保證它映射到初等數(shù)學(xué)模型的正確性。這就像一門高級(jí)語言可以定義很多概念，什么高階函數(shù)、閉包等等，但是它必須保證映射到底層實(shí)現(xiàn)時(shí)在執(zhí)行產(chǎn)生的效果符合其定義的規(guī)范。

線性代數(shù)好在哪里？

上面說了，線性代數(shù)是一種高層次抽象模型，我們可以采用學(xué)習(xí)一門程序語言的方法去學(xué)習(xí)它的語法和語義，但是這一認(rèn)識(shí)不只針對(duì)線性代數(shù)，它是對(duì)每一門數(shù)學(xué)學(xué)科通用的，可能有人會(huì)有疑問

微積分、概率論也是高層次抽象，那么線性代數(shù)這種高層次抽象的特點(diǎn)在哪里呢？

這就問到了根本上，線性代數(shù)的核心：向量模型。我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的坐標(biāo)系屬于笛卡爾所提出的解析模型，這個(gè) 模型很有用，但同時(shí)也有很大的缺點(diǎn)。坐標(biāo)系是人為加上的虛擬參考系，但是我們要解決的問題，比如求面積，圖形旋轉(zhuǎn)、拉伸等應(yīng)用都是和坐標(biāo)系無關(guān)的，建立一 個(gè)虛擬的坐標(biāo)系往往無助于解決問題，剛才三角形面積的例子就是這樣。

向量模型很好地克服了解析模型的缺點(diǎn)，如果說解析模型代表了某種“絕對(duì)性”的世界觀，那么向量模型就代表了某種“相對(duì)性”的世界觀，我推薦把向量模型和解析模型看作對(duì)立的兩種模型。

向量模型中定義了向量和標(biāo)量的概念。向量具有大小和方向，滿足線性組合法則；標(biāo)量是只有大小沒有方向的量（注：標(biāo)量的另一種更深刻的定義是在坐標(biāo)變換中保持不變的量）。向量模型的優(yōu)點(diǎn)之一是其坐標(biāo)系無關(guān)性， 也就是相對(duì)性，它在定義向量和運(yùn)算規(guī)則的時(shí)候從一開始就拋開了坐標(biāo)系的束縛，不管你坐標(biāo)軸怎么旋轉(zhuǎn)，我都能適應(yīng)，向量的線性組合、內(nèi)積、叉積、線性變換等 等運(yùn)算全部都是坐標(biāo)系無關(guān)的。注意，所謂坐標(biāo)系無關(guān)性不是說就沒有坐標(biāo)系了，還是有的，剛才三角形例子的頂點(diǎn)就是用坐標(biāo)表示的，只是在解決問題的時(shí)候不同 的坐標(biāo)系不會(huì)構(gòu)成影響。用一個(gè)比喻，Java號(hào)稱平臺(tái)無關(guān)，不是說Java就是空中樓閣，而是說你用Java編程時(shí)底層是Linux還是Windows往 往對(duì)你沒有影響。

向量模型有什么好處呢？除了剛才三角形面積問題是一個(gè)例子，下面我再舉一個(gè)幾何的例子：

給定三維坐標(biāo)系中的一點(diǎn)(x0, y0, z0)和一個(gè)平面a*x + b*y + c*z + d = 0，求點(diǎn)到平面的垂直距離？

這個(gè)問題如果是要從解析幾何的角度去解決幾乎復(fù)雜到?jīng)]法下手，除非是平面恰好是過坐標(biāo)軸的特殊情況，但是如果從向量模型考慮就很簡(jiǎn)單：根據(jù)平面方程，平面的法向量(Normal Vector)是v=(a, b, c)，設(shè)從平面上任意一點(diǎn)(x, y, z)到(x0, y0, z0)的向量為w，那么通過內(nèi)積dot_product(w, v)算出w到v的投影向量p，其大小就是(x0, y0, z0)到平面a*x + b*y + c*z + d = 0的垂直距離。這里用到了向量模型的基本概念：法向量，投影向量，內(nèi)積，整個(gè)問題解決過程簡(jiǎn)潔明快。

下面再給大家留一道相似的練習(xí)題（熟悉機(jī)器學(xué)習(xí)的朋友可能會(huì)發(fā)現(xiàn)這是線性代數(shù)在線性分類中的應(yīng)用）：

給定n維空間中的兩點(diǎn)(a1, a2, ... an)，(b1, b2, ... bn)和一個(gè)超平面c1*x1 + c2*x2 ... + cn*xn + d = 0，請(qǐng)判斷兩點(diǎn)在超平面的同側(cè)或異側(cè)？

離開向量，下面我們要請(qǐng)出線性代數(shù)的另一個(gè)主角：矩陣(Matrix)。

線性代數(shù)定義了矩陣和向量、矩陣和矩陣的乘法，運(yùn)算規(guī)則很復(fù)雜，用來做什么也不清楚，很多初學(xué)者都不能很好地理解，可以說矩陣是學(xué)好線性代數(shù)的攔路 虎。遇到復(fù)雜的東西，往往需要先避免一頭陷入細(xì)節(jié)，先從整體上把握它。其實(shí)，從程序的角度看，無論形式多么奇怪，它無非是一種語法，語法必然對(duì)應(yīng)了語義， 所以理解矩陣的重點(diǎn)在于理解其語義。矩陣的語義不止一種，在不同的環(huán)境中有不同的語義，在同一環(huán)境中也可以有不同的解讀，最常見的包括：1)表示一個(gè)線性 變換；2)表示列向量或行向量的集合；3)表示子矩陣的集合。

矩陣作為一個(gè)整體對(duì)應(yīng)的是線性變換語義：用矩陣A乘以一個(gè)向量v得到w，矩陣A就代表了v到w的線性變換。比如，如果想要把向量v0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度得到v'，只需要用旋轉(zhuǎn)變換矩陣（Rotation Matrix)去乘v0就可以了。

除了旋轉(zhuǎn)變換，拉伸變換也是一種常見的變換，比如，我們可以通過一個(gè)拉伸矩陣把向量沿x軸拉伸2倍（請(qǐng)?jiān)囍约航o出拉伸矩陣的形式）。更重要的是，矩陣乘法有一個(gè)很好的性質(zhì)：滿足結(jié)合率。這就意味著可以對(duì)線性變換進(jìn)行疊加，比如，我們可以把“沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度”的矩陣M和“沿x軸拉伸2倍”的矩陣N相乘，得到一個(gè)新矩陣T來代表“沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度并沿x軸拉伸2倍”。這是不是很像我們Shell中把多個(gè)命令通過管道進(jìn)行疊加呢？

上面重點(diǎn)介紹了向量模型的坐標(biāo)系無關(guān)性，除此之外，向量模型的另一優(yōu)點(diǎn)是：線性性，因而它能用來表示線性關(guān)系，下面我們來看一個(gè)熟悉的Fibonacci數(shù)列的例子：

Fibonacci數(shù)列定義為：f(n) = f(n-1) + f(n-2), f(0) = 0, f(1) = 1；問題：輸入n，請(qǐng)給出求f(n)的時(shí)間復(fù)雜度不超過O(logn)的算法。

首先，我們構(gòu)造兩個(gè)向量v1 = (f(n+1), f(n))和v2 = (f(n+2), f(n+1))，根據(jù)Fibonacci數(shù)列性質(zhì)，我們可以得到從v1到v2的遞推變換矩陣：

并進(jìn)一步得到：

這樣就把線性遞推問題轉(zhuǎn)化為了矩陣的n次冪經(jīng)典問題，在O（log n）時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)解決。除了線性遞推數(shù)列，初等數(shù)學(xué)中著名的n元一次方程組問題也可以轉(zhuǎn)化為矩陣和向量乘法形式更容易地解決。這個(gè)例子是想說明，凡是滿足 線性關(guān)系的系統(tǒng)都是向量模型的用武之地，我們往往可以把它轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)得到簡(jiǎn)潔高效的解決方案。

總之，我的體會(huì)是向量模型是整個(gè)線性代數(shù)的核心，向量的概念、性質(zhì)、關(guān)系、變換是掌握和運(yùn)用線性代數(shù)的重點(diǎn)。

總結(jié)

本文提出了一種觀點(diǎn)：從應(yīng)用的角度，我們可以把線性代數(shù)視為一門特定領(lǐng)域的程序語言。線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上建立了向量模型，定義了一套語法和語義，符合程序語言的語言契約。向量模型具有坐標(biāo)系無關(guān)性和線性性，它是整個(gè)線性代數(shù)的核心，是解決線性空間問題的最佳模型。

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