圖像放大指增大圖像尺寸或提高其分辨率，同時保持較高的質量，以得到一個較好的視覺效果，或突出某些細節(jié)。圖像放大通?？煞謨刹竭M行：首先對圖像進行空間變換;其次對圖像進行灰度級插值、處理。
傳統(tǒng)的線性插值算法有最近鄰法、雙線性插值法以及三次樣條插值法等。這些方法用一些已知的簡單函數(shù)根據(jù)一定的光滑性要求逼近原圖像。它們有其固有的缺點，如放大后的圖像邊緣模糊化和邊緣鋸齒化，而且放大倍數(shù)越大，這些現(xiàn)象越明顯。自適應插值方法在空間上使插值系數(shù)較好地匹配邊緣附近的局部圖像結構，但在選擇和估計感興趣的邊緣時會導致誤差。邊緣指導的插值方法利用有限的對于邊緣的方向和幅度的量化來擬合圖像的亞像素邊緣，阻止跨邊緣的插值，因而能夠產(chǎn)生尖銳的邊緣，但對于邊緣的擬合過于簡單和粗糙，且會丟失一些圖像特征。其他還有基于凸集投影的迭代方法，基于小波變換和數(shù)學形態(tài)學的方法等，這些方法在性能上仍然有待提高，特別是在圖像含有噪聲的情況下。
基于偏微分方程(ParTIal DifferenTIal EquaTIons，PDE)的圖像放大方法是在插值圖像的基礎上，通過迭代演化求解擴散方程，從而得到高分辨率圖像，并去除噪聲和人工痕跡等的影響。由于可以很方便地引入先驗知識，其獲得了良好的處理性能，已引起了廣泛關注，其中主流是基于正則化的PDE方法。各向同性擴散的PDE模型放大圖像時容易出現(xiàn)邊緣模糊、細節(jié)特征丟失等現(xiàn)象。而各向異性擴散的PDE雖然能在某種程度上保持放大圖像的細節(jié)特征，但隨著迭代求解次數(shù)的增加，圖像部分重要信息會偏離原圖像，導致圖像模糊。采用總變分(Total V-ariaTIon，TV)模型進行圖像放大，能夠有效保持突變邊緣，且收斂速度快，但在平坦區(qū)域和漸變區(qū)域會產(chǎn)生分塊效應。而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點，將其用于圖像放大會避免分塊效應，但卻降低了邊緣等重要幾何結構的清晰度。
為充分運用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點，彌補總變分TV模型存在分塊效應的不足，同時也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點，本文提出了自適應耦合總變分TV和四階PDE的正則化圖像放大模型。根據(jù)圖像內容合理調整耦合系數(shù)，在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運用四階模型進行平滑，消除階梯效應和分塊效應;在圖像的突變區(qū)域著重運用TV模型進行平滑，保持突變邊緣。仿真實驗證明，本文算法能夠有效提高放大圖像的主觀視覺質量和客觀保真度。
1 自適應耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型
TV模型最初用于圖像恢復中。設g，u分別表示低分辨率圖像和高分辨率圖像，根據(jù)極大似然原理，圖像放大可以歸結為如下不帶約束的正則化能量方程的極小化問題：
式中：D為圖像分辨率退化模型矩陣，刻畫了圖像獲取中的低通濾波和下采樣過程;式中第一項為逼近項，表示圖像和退化圖像的差異;第二項為圖像的正則化函數(shù)，它依賴于圖像，函數(shù)R(·)對圖像u加以約束，一般取為梯度的Lp(p>0)范數(shù);λ>O為Lagrange乘子，在逼近項和正則化函數(shù)之間起平衡作用。
如果選擇圖像梯度的L2范數(shù)作為正則化函數(shù)，則因為拉普拉斯算子具有很強的各向同性擴散特性，造成邊緣保持特性較差?？傋兎諸V模型用圖像梯度的L1范數(shù)代替L2范數(shù)，具有很好的邊緣保持特性。圖像的TV定義為：
式中：Ω是圖像區(qū)域。于是圖像放大問題就轉化成為如下無約束極小化問題：
式中：等式右端第一項為圖像的總變分范數(shù)(TV范數(shù))，它依賴于圖像的變分幅度。
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