在網(wǎng)上看了不少與卡爾曼濾波相關(guān)的博客、論文，要么是只談理論、缺乏感性，或者有感性認(rèn)識，缺乏理論推導(dǎo)。能兼顧二者的少之又少，直到我看到了國外的一篇博文，真的驚艷到我了，不得不佩服作者這種細(xì)致入微的精神，翻譯過來跟大家分享一下。
我不得不說說卡爾曼濾波，因?yàn)樗茏龅降氖虑楹喼弊屓梭@嘆!意外的是很少有軟件工程師和科學(xué)家對對它有所了解，這讓我感到沮喪，因?yàn)榭柭鼮V波是一個如此強(qiáng)大的工具，能夠在不確定性中融合信息，與此同時，它提取精確信息的能力看起來不可思議。
什么是卡爾曼濾波?
你可以在任何含有不確定信息的動態(tài)系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波，對系統(tǒng)下一步的走向做出有根據(jù)的預(yù)測，即使伴隨著各種干擾，卡爾曼濾波總是能指出真實(shí)發(fā)生的情況。
在連續(xù)變化的系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波是非常理想的，它具有占用內(nèi)存小的優(yōu)點(diǎn)(除了前一個狀態(tài)量外，不需要保留其它歷史數(shù)據(jù))，并且速度很快，很適合應(yīng)用于實(shí)時問題和嵌入式系統(tǒng)。
在Google上找到的大多數(shù)關(guān)于實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)公式看起來有點(diǎn)晦澀難懂，這個狀況有點(diǎn)糟糕。實(shí)際上，如果以正確的方式看待它，卡爾曼濾波是非常簡單和容易理解的，下面我將用漂亮的圖片和色彩清晰的闡述它，你只需要懂一些基本的概率和矩陣的知識就可以了。
我們能用卡爾曼濾波做什么?
用玩具舉例：你開發(fā)了一個可以在樹林里到處跑的小機(jī)器人，這個機(jī)器人需要知道它所在的確切位置才能導(dǎo)航。
我們可以說機(jī)器人有一個狀態(tài)，表示位置和速度：
注意這個狀態(tài)只是關(guān)于這個系統(tǒng)基本屬性的一堆數(shù)字，它可以是任何其它的東西。在這個例子中是位置和速度，它也可以是一個容器中液體的總量，汽車發(fā)動機(jī)的溫度，用戶手指在觸摸板上的位置坐標(biāo)，或者任何你需要跟蹤的信號。
這個機(jī)器人帶有GPS，精度大約為10米，還算不錯，但是，它需要將自己的位置精確到10米以內(nèi)。樹林里有很多溝壑和懸崖，如果機(jī)器人走錯了一步，就有可能掉下懸崖，所以只有GPS是不夠的。
或許我們知道一些機(jī)器人如何運(yùn)動的信息：例如，機(jī)器人知道發(fā)送給電機(jī)的指令，知道自己是否在朝一個方向移動并且沒有人干預(yù)，在下一個狀態(tài)，機(jī)器人很可能朝著相同的方向移動。當(dāng)然，機(jī)器人對自己的運(yùn)動是一無所知的：它可能受到風(fēng)吹的影響，輪子方向偏了一點(diǎn)，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，輪子轉(zhuǎn)過的長度并不能精確表示機(jī)器人實(shí)際行走的距離，預(yù)測也不是很完美。
GPS 傳感器告訴了我們一些狀態(tài)信息，我們的預(yù)測告訴了我們機(jī)器人會怎樣運(yùn)動，但都只是間接的，并且伴隨著一些不確定和不準(zhǔn)確性。但是，如果使用所有對我們可用的信息，我們能得到一個比任何依據(jù)自身估計(jì)更好的結(jié)果嗎?回答當(dāng)然是YES，這就是卡爾曼濾波的用處。
卡爾曼濾波是如何看到你的問題的
下面我們繼續(xù)以只有位置和速度這兩個狀態(tài)的簡單例子做解釋。
我們并不知道實(shí)際的位置和速度，它們之間有很多種可能正確的組合，但其中一些的可能性要大于其它部分：
卡爾曼濾波假設(shè)兩個變量(位置和速度，在這個例子中)都是隨機(jī)的，并且服從高斯分布。每個變量都有一個均值 μ，表示隨機(jī)分布的中心(最可能的狀態(tài))，以及方差，表示不確定性。
在上圖中，位置和速度是不相關(guān)的，這意味著由其中一個變量的狀態(tài)無法推測出另一個變量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相關(guān)的，觀測特定位置的可能性取決于當(dāng)前的速度：
這種情況是有可能發(fā)生的，例如，我們基于舊的位置來估計(jì)新位置。如果速度過高，我們可能已經(jīng)移動很遠(yuǎn)了。如果緩慢移動，則距離不會很遠(yuǎn)。跟蹤這種關(guān)系是非常重要的，因?yàn)樗鼛Ыo我們更多的信息：其中一個測量值告訴了我們其它變量可能的值，這就是卡爾曼濾波的目的，盡可能地在包含不確定性的測量數(shù)據(jù)中提取更多信息!
這種相關(guān)性用協(xié)方差矩陣來表示，簡而言之，矩陣中的每個元素表示第 i 個和第 j 個狀態(tài)變量之間的相關(guān)度。(你可能已經(jīng)猜到協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣，這意味著可以任意交換 i 和 j)。協(xié)方差矩陣通常用“”來表示，其中的元素則表示為“”。
使用矩陣來描述問題
我們基于高斯分布來建立狀態(tài)變量，所以在時刻 k 需要兩個信息：最佳估計(jì)(即均值，其它地方常用 μ 表示)，以及協(xié)方差矩陣。
(1)
(當(dāng)然，在這里我們只用到了位置和速度，實(shí)際上這個狀態(tài)可以包含多個變量，代表任何你想表示的信息)。接下來，我們需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)(k-1 時刻)來預(yù)測下一狀態(tài)(k 時刻)。記住，我們并不知道對下一狀態(tài)的所有預(yù)測中哪個是“真實(shí)”的，但我們的預(yù)測函數(shù)并不在乎。它對所有的可能性進(jìn)行預(yù)測，并給出新的高斯分布。
我們可以用矩陣來表示這個預(yù)測過程：
它將我們原始估計(jì)中的每個點(diǎn)都移動到了一個新的預(yù)測位置，如果原始估計(jì)是正確的話，這個新的預(yù)測位置就是系統(tǒng)下一步會移動到的位置。那我們又如何用矩陣來預(yù)測下一個時刻的位置和速度呢?下面用一個基本的運(yùn)動學(xué)公式來表示：
現(xiàn)在，我們有了一個預(yù)測矩陣來表示下一時刻的狀態(tài)，但是，我們?nèi)匀徊恢涝趺锤聟f(xié)方差矩陣。此時，我們需要引入另一個公式，如果我們將分布中的每個點(diǎn)都乘以矩陣 A，那么它的協(xié)方差矩陣會怎樣變化呢?很簡單，下面給出公式：
結(jié)合方程(4)和(3)得到：
外部控制量
我們并沒有捕捉到一切信息，可能存在外部因素會對系統(tǒng)進(jìn)行控制，帶來一些與系統(tǒng)自身狀態(tài)沒有相關(guān)性的改變。
以火車的運(yùn)動狀態(tài)模型為例，火車司機(jī)可能會操縱油門，讓火車加速。相同地，在我們機(jī)器人這個例子中，導(dǎo)航軟件可能會發(fā)出一個指令讓輪子轉(zhuǎn)向或者停止。如果知道這些額外的信息，我們可以用一個向量來表示，將它加到我們的預(yù)測方程中做修正。
假設(shè)由于油門的設(shè)置或控制命令，我們知道了期望的加速度，根據(jù)基本的運(yùn)動學(xué)方程可以得到：
以矩陣的形式表示就是：
稱為控制矩陣，稱為控制向量(對于沒有外部控制的簡單系統(tǒng)來說，這部分可以忽略)。讓我們再思考一下，如果我們的預(yù)測并不是100%準(zhǔn)確的，該怎么辦呢?
外部干擾
如果這些狀態(tài)量是基于系統(tǒng)自身的屬性或者已知的外部控制作用來變化的，則不會出現(xiàn)什么問題。
但是，如果存在未知的干擾呢?例如，假設(shè)我們跟蹤一個四旋翼飛行器，它可能會受到風(fēng)的干擾，如果我們跟蹤一個輪式機(jī)器人，輪子可能會打滑，或者路面上的小坡會讓它減速。這樣的話我們就不能繼續(xù)對這些狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，如果沒有把這些外部干擾考慮在內(nèi)，我們的預(yù)測就會出現(xiàn)偏差。
在每次預(yù)測之后，我們可以添加一些新的不確定性來建立這種與“外界”(即我們沒有跟蹤的干擾)之間的不確定性模型：
原始估計(jì)中的每個狀態(tài)變量更新到新的狀態(tài)后，仍然服從高斯分布。我們可以說的每個狀態(tài)變量移動到了一個新的服從高斯分布的區(qū)域，協(xié)方差為。換句話說就是，我們將這些沒有被跟蹤的干擾當(dāng)作協(xié)方差為的噪聲來處理。
這產(chǎn)生了具有不同協(xié)方差(但是具有相同的均值)的新的高斯分布。
我們通過簡單地添加得到擴(kuò)展的協(xié)方差，下面給出預(yù)測步驟的完整表達(dá)式：
由上式可知，新的最優(yōu)估計(jì)是根據(jù)上一最優(yōu)估計(jì)預(yù)測得到的，并加上已知外部控制量的修正。
而新的不確定性由上一不確定性預(yù)測得到，并加上外部環(huán)境的干擾。
好了，我們對系統(tǒng)可能的動向有了一個模糊的估計(jì)，用和來表示。如果再結(jié)合傳感器的數(shù)據(jù)會怎樣呢?
用測量值來修正估計(jì)值
我們可能會有多個傳感器來測量系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，哪個傳感器具體測量的是哪個狀態(tài)變量并不重要，也許一個是測量位置，一個是測量速度，每個傳感器間接地告訴了我們一些狀態(tài)信息。
注意，傳感器讀取的數(shù)據(jù)的單位和尺度有可能與我們要跟蹤的狀態(tài)的單位和尺度不一樣，我們用矩陣來表示傳感器的數(shù)據(jù)。
我們可以計(jì)算出傳感器讀數(shù)的分布，用之前的表示方法如下式所示：
卡爾曼濾波的一大優(yōu)點(diǎn)就是能處理傳感器噪聲，換句話說，我們的傳感器或多或少都有點(diǎn)不可靠，并且原始估計(jì)中的每個狀態(tài)可以和一定范圍內(nèi)的傳感器讀數(shù)對應(yīng)起來。
從測量到的傳感器數(shù)據(jù)中，我們大致能猜到系統(tǒng)當(dāng)前處于什么狀態(tài)。但是由于存在不確定性，某些狀態(tài)可能比我們得到的讀數(shù)更接近真實(shí)狀態(tài)。
我們將這種不確定性(例如：傳感器噪聲)用協(xié)方差表示，該分布的均值就是我們讀取到的傳感器數(shù)據(jù)，稱之為。
現(xiàn)在我們有了兩個高斯分布，一個是在預(yù)測值附近，一個是在傳感器讀數(shù)附近。
我們必須在預(yù)測值(粉紅色)和傳感器測量值(綠色)之間找到最優(yōu)解。
那么，我們最有可能的狀態(tài)是什么呢?對于任何可能的讀數(shù)，有兩種情況：(1)傳感器的測量值;(2)由前一狀態(tài)得到的預(yù)測值。如果我們想知道這兩種情況都可能發(fā)生的概率，將這兩個高斯分布相乘就可以了。
剩下的就是重疊部分了，這個重疊部分的均值就是兩個估計(jì)最可能的值，也就是給定的所有信息中的最優(yōu)估計(jì)。
瞧!這個重疊的區(qū)域看起來像另一個高斯分布。
如你所見，把兩個具有不同均值和方差的高斯分布相乘，你會得到一個新的具有獨(dú)立均值和方差的高斯分布!下面用公式講解。
融合高斯分布
先以一維高斯分布來分析比較簡單點(diǎn)，具有方差和 μ 的高斯曲線可以用下式表示：
如果把兩個服從高斯分布的函數(shù)相乘會得到什么呢?
將式(9)代入到式(10)中(注意重新歸一化，使總概率為1)可以得到：
將式(11)中的兩個式子相同的部分用 k 表示：
下面進(jìn)一步將式(12)和(13)寫成矩陣的形式，如果 Σ 表示高斯分布的協(xié)方差，表示每個維度的均值，則：
矩陣稱為卡爾曼增益，下面將會用到。放松!我們快要完成了!
將所有公式整合起來
我們有兩個高斯分布，預(yù)測部分，和測量部分，將它們放到式(15)中算出它們之間的重疊部分：
由式(14)可得卡爾曼增益為：
將式(16)和式(17)的兩邊同時左乘矩陣的逆(注意里面包含了)將其約掉，再將式(16)的第二個等式兩邊同時右乘矩陣的逆得到以下等式：
上式給出了完整的更新步驟方程。就是新的最優(yōu)估計(jì)，我們可以將它和放到下一個預(yù)測和更新方程中不斷迭代。
總結(jié)
以上所有公式中，你只需要用到式(7)、(18)、(19)。(如果忘了的話，你可以根據(jù)式(4)和(15)重新推導(dǎo)一下)
我們可以用這些公式對任何線性系統(tǒng)建立精確的模型，對于非線性系統(tǒng)來說，我們使用擴(kuò)展卡爾曼濾波，區(qū)別在于EKF多了一個把預(yù)測和測量部分進(jìn)行線性化的過程。
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