MySQL索引底層：B+樹(shù)詳解

前言

當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)SQL執(zhí)行很慢的時(shí)候，自然而然想到的就是加索引。對(duì)于范圍查詢，索引的底層結(jié)構(gòu)就是B+樹(shù)。今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)一下B+樹(shù)哈~

• 樹(shù)簡(jiǎn)介、樹(shù)種類(lèi)
• B-樹(shù)、B+樹(shù)簡(jiǎn)介
• B+樹(shù)插入
• B+樹(shù)查找
• B+樹(shù)刪除
• B+樹(shù)經(jīng)典面試題

樹(shù)的簡(jiǎn)介

樹(shù)的簡(jiǎn)介

樹(shù)跟數(shù)組、鏈表、堆棧一樣，是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它由有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，組成具有層次關(guān)系的集合。因?yàn)樗雌饋?lái)像一棵樹(shù)，所以得其名。一顆普通的樹(shù)如下:

樹(shù)是包含n（n為整數(shù)，大于0）個(gè)結(jié)點(diǎn)， n-1條邊的有窮集，它有以下特點(diǎn)：

• 每個(gè)結(jié)點(diǎn)或者無(wú)子結(jié)點(diǎn)或者只有有限個(gè)子結(jié)點(diǎn)；
• 有一個(gè)特殊的結(jié)點(diǎn),它沒(méi)有父結(jié)點(diǎn)，稱(chēng)為根結(jié)點(diǎn)；
• 每一個(gè)非根節(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)；
• 樹(shù)里面沒(méi)有環(huán)路

一些有關(guān)于樹(shù)的概念：

• 結(jié)點(diǎn)的度：一個(gè)結(jié)點(diǎn)含有的子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的度；
• 樹(shù)的度：一棵樹(shù)中，最大結(jié)點(diǎn)的度稱(chēng)為樹(shù)的度；
• 父結(jié)點(diǎn)：若一個(gè)結(jié)點(diǎn)含有子結(jié)點(diǎn)，則這個(gè)結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為其子結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)；
• 深度：對(duì)于任意結(jié)點(diǎn)n,n的深度為從根到n的唯一路徑長(zhǎng)，根結(jié)點(diǎn)的深度為0；
• 高度：對(duì)于任意結(jié)點(diǎn)n,n的高度為從n到一片樹(shù)葉的最長(zhǎng)路徑長(zhǎng)，所有樹(shù)葉的高度為0；

樹(shù)的種類(lèi)

按照有序性，可以分為有序樹(shù)和無(wú)序樹(shù)：

• 無(wú)序樹(shù)：樹(shù)中任意節(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)之間沒(méi)有順序關(guān)系
• 有序樹(shù)：樹(shù)中任意節(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)之間有順序關(guān)系

按照節(jié)點(diǎn)包含子樹(shù)個(gè)數(shù)，可以分為B樹(shù)和二叉樹(shù)，二叉樹(shù)可以分為以下幾種：

• 二叉樹(shù)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多含有兩個(gè)子樹(shù)的樹(shù)稱(chēng)為二叉樹(shù)；
• 二叉查找樹(shù)：首先它是一顆二叉樹(shù)，若左子樹(shù)不空，則左子樹(shù)上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值；若右子樹(shù)不空，則右子樹(shù)上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于它的根結(jié)點(diǎn)的值；左、右子樹(shù)也分別為二叉排序樹(shù)；
• 滿二叉樹(shù)：葉節(jié)點(diǎn)除外的所有節(jié)點(diǎn)均含有兩個(gè)子樹(shù)的樹(shù)被稱(chēng)為滿二叉樹(shù)；
• 完全二叉樹(shù)：如果一顆二叉樹(shù)除去最后一層節(jié)點(diǎn)為滿二叉樹(shù)，且最后一層的結(jié)點(diǎn)依次從左到右分布
• 霍夫曼樹(shù)：帶權(quán)路徑最短的二叉樹(shù)。
• 紅黑樹(shù)：紅黑樹(shù)是一顆特殊的二叉查找樹(shù)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是黑色或者紅色，根節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)是黑色。如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是紅色的，則它的子節(jié)點(diǎn)必須是黑色的。
• 平衡二叉樹(shù)（AVL）：一 棵空樹(shù)或它的左右兩個(gè)子樹(shù)的高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1，并且左右兩個(gè)子樹(shù)都是一棵平衡二叉樹(shù)

B-樹(shù)、B+樹(shù)簡(jiǎn)介

B-樹(shù) 簡(jiǎn)介

B-樹(shù)，也稱(chēng)為B樹(shù)，是一種平衡的多叉樹(shù)（可以對(duì)比一下平衡二叉查找樹(shù)），它比較適用于對(duì)外查找?？聪逻@幾個(gè)概念哈：

• 階數(shù)：一個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有多少個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)。（一般用字母m表示）
• 關(guān)鍵字：節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就是關(guān)鍵字
• 度：一個(gè)節(jié)點(diǎn)擁有的子節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。

一顆m階的B-樹(shù)，有以下特征：

• 根結(jié)點(diǎn)至少有兩個(gè)子女；
• 每個(gè)非根節(jié)點(diǎn)所包含的關(guān)鍵字個(gè)數(shù) j 滿足：?m/2? - 1 <= j <= m - 1.(??表示向上取整)
• 有k個(gè)關(guān)鍵字(關(guān)鍵字按遞增次序排列)的非葉結(jié)點(diǎn)恰好有k+1個(gè)孩子。
• 所有的葉子結(jié)點(diǎn)都位于同一層。

一棵簡(jiǎn)單的B-樹(shù)如下：

B+ 樹(shù)簡(jiǎn)介

B+樹(shù)是B-樹(shù)的變體，也是一顆多路搜索樹(shù)。一棵m階的B+樹(shù)主要有這些特點(diǎn)：

• 每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多有m個(gè)子女;
• 非根節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵值個(gè)數(shù)范圍：?m/2? - 1 <= k <= m-1
• 相鄰葉子節(jié)點(diǎn)是通過(guò)指針連起來(lái)的，并且是關(guān)鍵字大小排序的。

一顆3階的B+樹(shù)如下：

B+樹(shù)和B-樹(shù)的主要區(qū)別如下：

• B-樹(shù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是保存數(shù)據(jù)的;而B(niǎo)+樹(shù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是不保存數(shù)據(jù)的，只作索引作用，它的葉子節(jié)點(diǎn)才保存數(shù)據(jù)。
• B+樹(shù)相鄰的葉子節(jié)點(diǎn)之間是通過(guò)鏈表指針連起來(lái)的，B-樹(shù)卻不是。
• 查找過(guò)程中，B-樹(shù)在找到具體的數(shù)值以后就結(jié)束，而B(niǎo)+樹(shù)則需要通過(guò)索引找到葉子結(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)才結(jié)束
• B-樹(shù)中任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中，而B(niǎo)+樹(shù)可以出現(xiàn)多次。

B+樹(shù)的插入

B+樹(shù)插入要記住這幾個(gè)步驟：

• 1.B+樹(shù)插入都是在葉子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行的，就是插入前，需要先找到要插入的葉子結(jié)點(diǎn)。
• 2.如果被插入關(guān)鍵字的葉子節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前含有的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)量是小于階數(shù)m，則直接插入。
• 3.如果插入關(guān)鍵字后，葉子節(jié)點(diǎn)當(dāng)前含有的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目等于階數(shù)m，則插，該節(jié)點(diǎn)開(kāi)始 「分裂」為兩個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)包含?m/2? 個(gè)關(guān)鍵字，另外一個(gè)關(guān)鍵字包含?m/2?個(gè)關(guān)鍵值。（?m/2?表示向下取整，?m/2?表示向上取整，如?3/2?=2）。
• 4.分裂后，需要將第?m/2?的關(guān)鍵字上移到父結(jié)點(diǎn)。如果這時(shí)候父結(jié)點(diǎn)中包含的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)小于m，則插入操作完成。
• 5.分裂后，需要將?m/2?的關(guān)鍵字上移到父結(jié)點(diǎn)。如果父結(jié)點(diǎn)中包含的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)等于m，則繼續(xù)分裂父結(jié)點(diǎn)。

以一顆4階的B+樹(shù)為例子吧，4階的話，關(guān)鍵值最多3（m-1）個(gè)。假設(shè)插入以下數(shù)據(jù)43，48，36，32,37,49,28.

1. 在空樹(shù)中插入43

這時(shí)候根結(jié)點(diǎn)就一個(gè)關(guān)鍵值，此時(shí)它是根結(jié)點(diǎn)也是葉子結(jié)點(diǎn)。

1. 依次插入48，36

這時(shí)候跟節(jié)點(diǎn)擁有3個(gè)關(guān)鍵字，已經(jīng)滿了

1. 繼續(xù)插入 32，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字已經(jīng)不小于階數(shù)4了，于是分裂 第?4/2?=2（下標(biāo)0,1,2）個(gè)，也即43上移到父節(jié)點(diǎn)。

1. 繼續(xù)插入37，49，前節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字都是還沒(méi)滿的，直接插入，如下：

1. 最后插入28，發(fā)現(xiàn)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字也是不小于階數(shù)4了，于是分裂，于是分裂， 第 ?4/2?=2個(gè)，也就是36上移到父節(jié)點(diǎn)，因父子節(jié)點(diǎn)只有2個(gè)關(guān)鍵值，還是小于4的，所以不用繼續(xù)分裂，插入完成

   

B+樹(shù)的查找

因?yàn)锽+樹(shù)的數(shù)據(jù)都是在葉子節(jié)點(diǎn)上的，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)只是指針?biāo)饕淖饔?，因此，查找過(guò)程需要搜索到葉子節(jié)點(diǎn)上。還是以這顆B+樹(shù)為例吧：

B+ 樹(shù)單值查詢

假設(shè)我們要查的值為32.

第一次磁盤(pán) I/O，查找磁盤(pán)塊1，即根節(jié)點(diǎn)（36,43）,因?yàn)?2小于36，因此訪問(wèn)根節(jié)點(diǎn)的左邊第一個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)

第二次磁盤(pán) I/O, 查找磁盤(pán)塊2，即根節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)，獲得區(qū)間(28,32),遍歷即可得32.

動(dòng)態(tài)圖如下：

B+ 樹(shù)范圍查詢

假設(shè)我們要查找區(qū)間 [32,40]區(qū)間的值.

第一步先訪問(wèn)根節(jié)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)區(qū)間的左端點(diǎn)32小于36,則訪問(wèn)根節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)左子樹(shù)(28,32);

第二步訪問(wèn)節(jié)點(diǎn)（28,32），找到32，于是開(kāi)始遍歷鏈表，把[32,40]區(qū)間值找出來(lái)，這也是B+樹(shù)比B-樹(shù)高效的地方。

B+樹(shù)的刪除

B+樹(shù)刪除關(guān)鍵字，分這幾種情況

• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點(diǎn)，如果關(guān)鍵字個(gè)數(shù)大于?m/2?-1，直接刪除即可；
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點(diǎn),如果關(guān)鍵字個(gè)數(shù)大于?m/2?-1，并且關(guān)鍵值是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的最大（?。┲?，并且該關(guān)鍵值存在父子節(jié)點(diǎn)中，那么刪除該關(guān)鍵字，同時(shí)需要相應(yīng)調(diào)整父節(jié)點(diǎn)的值。
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點(diǎn)，如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個(gè)數(shù)小于?m/2?，并且其兄弟結(jié)點(diǎn)有多余的關(guān)鍵字，則從其兄弟結(jié)點(diǎn)借用關(guān)鍵字
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點(diǎn)，如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個(gè)數(shù)小于?m/2?，并且其兄弟結(jié)點(diǎn)沒(méi)有多余的關(guān)鍵字，則與兄弟結(jié)點(diǎn)合并。

如果關(guān)鍵字個(gè)數(shù)大于?m/2?，直接刪除即可；

假設(shè)當(dāng)前有這么一顆5階的B+樹(shù)

如果刪除22，因?yàn)殛P(guān)鍵字個(gè)數(shù)為3 > ?5/2?-1=2， 直接刪除（??表示向上取整的意思）

如果關(guān)鍵字個(gè)數(shù)大于?m/2?-1，并且刪除的關(guān)鍵字存在于父子節(jié)點(diǎn)中，那么需要相應(yīng)調(diào)整父子節(jié)點(diǎn)的值

如果刪除20，因?yàn)殛P(guān)鍵字個(gè)數(shù)為3 > ?5/2?-1=2，并且20是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的邊界值，且存在父子節(jié)點(diǎn)中，所以刪除后，其父子節(jié)點(diǎn)也要響應(yīng)調(diào)整。

如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個(gè)數(shù)小于?m/2?-1，兄弟節(jié)點(diǎn)可以借用

以下這顆5階的B+樹(shù)，

如果刪除15,刪除關(guān)鍵字的結(jié)點(diǎn)只剩1個(gè)關(guān)鍵字，小于?5/2?-1=2，不滿足B+樹(shù)特點(diǎn)，但是其兄弟節(jié)點(diǎn)擁有3個(gè)元素（7,8,9），可以借用9過(guò)來(lái)，如圖：

在刪除關(guān)鍵字后，如果導(dǎo)致其結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字個(gè)數(shù)不足，并且兄弟結(jié)點(diǎn)沒(méi)有得借用的話，需要合并兄弟結(jié)點(diǎn)

以下這顆5階的B+樹(shù)：

如果刪除關(guān)鍵字7，刪除關(guān)鍵字的結(jié)點(diǎn)只剩1個(gè)關(guān)鍵字，小于?5/2?-1=2，不滿足B+樹(shù)特點(diǎn)，并且兄弟結(jié)點(diǎn)沒(méi)法借用，因此發(fā)生合并，如下：

主要流程醬紫：

• 因?yàn)?被刪掉后，只剩一個(gè)8的關(guān)鍵字，不滿足B+樹(shù)特點(diǎn)（?m/2?-1<=關(guān)鍵字<=m-1）。
• 并且沒(méi)有兄弟結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字借用，因此8與前面的兄弟結(jié)點(diǎn)結(jié)合。
• 被刪關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)，7索引也被刪掉了，只剩一個(gè)9，并且其右兄弟結(jié)點(diǎn)（18,20）只有兩個(gè)關(guān)鍵字，也是沒(méi)得借，因此在此合并。
• 被刪關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn)的父子節(jié)點(diǎn)，也和其兄弟結(jié)點(diǎn)合并后，只剩一個(gè)子樹(shù)分支，因此根節(jié)點(diǎn)（16）也下移了。

所以刪除關(guān)鍵字7后的結(jié)果如下：

B+樹(shù)經(jīng)典面試題

• InnoDB一棵B+樹(shù)可以存放多少行數(shù)據(jù)？
• 為什么索引結(jié)構(gòu)默認(rèn)使用B+樹(shù)，而不是hash，二叉樹(shù)，紅黑樹(shù)，B-樹(shù)？
• B-樹(shù)和B+樹(shù)的區(qū)別

InnoDB一棵B+樹(shù)可以存放多少行數(shù)據(jù)？

這個(gè)問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答是：約2千萬(wàn)行。

• 在計(jì)算機(jī)中，磁盤(pán)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)最小單元是扇區(qū)，一個(gè)扇區(qū)的大小是512字節(jié)。
• 文件系統(tǒng)中，最小單位是塊，一個(gè)塊大小就是4k；
• InnoDB存儲(chǔ)引擎最小儲(chǔ)存單元是頁(yè)，一頁(yè)大小就是16k。

因?yàn)锽+樹(shù)葉子存的是數(shù)據(jù)，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)存的是鍵值+指針。索引組織表通過(guò)非葉子節(jié)點(diǎn)的二分查找法以及指針確定數(shù)據(jù)在哪個(gè)頁(yè)中，進(jìn)而再去數(shù)據(jù)頁(yè)中找到需要的數(shù)據(jù)；

假設(shè)B+樹(shù)的高度為2的話，即有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)和若干個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)。這棵B+樹(shù)的存放總記錄數(shù)為=根結(jié)點(diǎn)指針數(shù)*單個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)記錄行數(shù)。

• 如果一行記錄的數(shù)據(jù)大小為1k，那么單個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)可以存的記錄數(shù) =16k/1k =16.
• 非葉子節(jié)點(diǎn)內(nèi)存放多少指針呢？我們假設(shè)主鍵ID為bigint類(lèi)型，長(zhǎng)度為8字節(jié)，而指針大小在InnoDB源碼中設(shè)置為6字節(jié)，所以就是8+6=14字節(jié)，16k/14B =16*1024B/14B = 1170

因此，一棵高度為2的B+樹(shù)，能存放1170 * 16=18720條這樣的數(shù)據(jù)記錄。同理一棵高度為3的B+樹(shù)，能存放1170 *1170 *16 =21902400，也就是說(shuō)，可以存放兩千萬(wàn)左右的記錄。B+樹(shù)高度一般為1-3層，已經(jīng)滿足千萬(wàn)級(jí)別的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)。

為什么索引結(jié)構(gòu)默認(rèn)使用B+樹(shù)，而不是B-Tree，Hash哈希，二叉樹(shù)，紅黑樹(shù)？

簡(jiǎn)單版回答如下：

• Hash哈希，只適合等值查詢，不適合范圍查詢。
• 一般二叉樹(shù)，可能會(huì)特殊化為一個(gè)鏈表，相當(dāng)于全表掃描。
• 紅黑樹(shù)，是一種特化的平衡二叉樹(shù)，MySQL 數(shù)據(jù)量很大的時(shí)候，索引的體積也會(huì)很大，內(nèi)存放不下的而從磁盤(pán)讀取，樹(shù)的層次太高的話，讀取磁盤(pán)的次數(shù)就多了。
• B-Tree，葉子節(jié)點(diǎn)和非葉子節(jié)點(diǎn)都保存數(shù)據(jù)，相同的數(shù)據(jù)量，B+樹(shù)更矮壯，也是就說(shuō)，相同的數(shù)據(jù)量，B+樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，查詢磁盤(pán)的次數(shù)會(huì)更少。

B-樹(shù)和B+樹(shù)的區(qū)別

• B-樹(shù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是保存數(shù)據(jù)的;而B(niǎo)+樹(shù)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)是不保存數(shù)據(jù)的，只作索引作用，它的葉子節(jié)點(diǎn)才保存數(shù)據(jù)。
• B+樹(shù)相鄰的葉子節(jié)點(diǎn)之間是通過(guò)鏈表指針連起來(lái)的，B-樹(shù)卻不是。
• 查找過(guò)程中，B-樹(shù)在找到具體的數(shù)值以后就結(jié)束，而B(niǎo)+樹(shù)則需要通過(guò)索引找到葉子結(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)才結(jié)束
• B-樹(shù)中任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中，而B(niǎo)+樹(shù)可以出現(xiàn)多次。

參考與感謝

• B+樹(shù)看這一篇就夠了 ^[1]
• B樹(shù)和B+樹(shù)的插入、刪除圖文詳解 ^[2]
• InnoDB一棵B+樹(shù)可以存放多少行數(shù)據(jù)？ ^[3]

Reference