PID算法搞不懂？看這篇文章。

大家好，我是張巧龍，網(wǎng)上關于PID算法的文章很多，但是感覺有必要自己再進行一次總結，抽絲剝繭地重新認識了一下PID；

• 1 前言

• 2 開環(huán)控制

• 3 閉環(huán)控制

• 4 PID

• 4.1 系統(tǒng)架構

• 4.2 理論基礎

• 4.3 離散化

• 4.4 偽算法

• 5 C 實現(xiàn)

• 6 總結

1 前言

控制系統(tǒng)通常根據(jù)有沒有反饋會分為開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)，在閉環(huán)系統(tǒng)的控制中，PID算法非常強大，其三個部分分別為；

• P：比例環(huán)節(jié)；
• I：積分環(huán)節(jié)；
• D：微分環(huán)節(jié)；

PID算法可以自動對控制系統(tǒng)進行準確且迅速的校正，因此被廣泛地應用于工業(yè)控制系統(tǒng)。

2 開環(huán)控制

首先來看開環(huán)控制系統(tǒng)，如下圖所示，隆哥蒙著眼，需要走到虛線旗幟所表示的目標位置，由于缺少反饋（眼睛可以感知當前距離和位置，由于眼睛被蒙上沒有反饋，所以這也是一個開環(huán)系統(tǒng)），最終隆哥會較大概率偏離預期的目標，可能會運行到途中實線旗幟所表示的位置。

開環(huán)系統(tǒng)的整體結構如下所示；

這里做一個不是很恰當?shù)谋扔鳎?/p>

• Input：告訴隆哥目標距離的直線位置（10米）；
• Controller：隆哥大腦中計算出到達目標所需要走多少步；
• Process：雙腿作為執(zhí)行機構，輸出了相應的步數(shù)，但是最終仍然偏離了目標；

看來沒有反饋的存在，很難準確到達目標位置。

3 閉環(huán)控制

所以為了準確到達目標位置，這里就需要引入反饋，具體如下圖所示；

在這里繼續(xù)舉個不怎么恰當?shù)谋扔?；隆哥重獲光明之后，基本可以看到目標位置了；

• 第一步Input：告訴隆哥目標距離的直線位置（10米）；
• 第二步Controller：隆哥大腦中計算出到達目標所需要走多少步；
• 第三步Process：雙腿作為執(zhí)行機構，輸出了相應的步數(shù)，但是最終仍然偏離了目標；
• 第四步Feedback：通過視覺獲取到目前已經(jīng)前進的距離，（比如前進了2米，那么還有8米的偏差）；
• 第五步err：根據(jù)偏差重新計算所需要的步數(shù)，然后重復上述四個步驟，最終隆哥達到最終的目標位置。
  

4 PID

4.1 系統(tǒng)架構

雖然在反饋系統(tǒng)下，隆哥最終到達目標位置，但是現(xiàn)在又來了新的任務，就是又快又準地到達目標位置。所以這里隆哥開始采用PID Controller，只要適當調整P，I和D的參數(shù)，就可以到達目標位置，具體如下圖所示；

隆哥為了最短時間內到達目標位置，進行了不斷的嘗試，分別出現(xiàn)了以下幾種情況；

• 跑得太快，最終導致沖過了目標位置還得往回跑；
• 跑得太慢，最終導致到達目標位置所用時間太長；

經(jīng)過不斷的嘗試，終于找到了最佳的方式，其過程大概如下圖所示；這里依然舉一個不是很恰當?shù)谋扔鳎?/p>

• 第一步：得到與目標位置的距離偏差（比如最開始是10米，后面會逐漸變小）；
• 第二步：根據(jù)誤差，預估需要多少速度，如何估算呢，看下面幾步；

P比例則是給定一個速度的大致范圍，滿足下面這個公式；

因此比例作用相當于某一時刻的偏差（err）與比例系數(shù)的乘積，具體如下所示；

綠色線為上述例子中從初始位置到目標位置的距離變化；紅色線為上述例子中從初始位置到目標位置的偏差變化，兩者為互補的關系；

I積分則是誤差在一定時間內的和，滿足以下公式；

如下圖所示；

紅色曲線陰影部分面積即為積分作用的結果，其不斷累積的誤差，最終乘以積分系數(shù)就得到了積分部分的輸出；

D微分則是誤差變化曲線某處的導數(shù)，或者說是某一點的斜率，因此這里需要引入微分；

從圖中可知，當偏差變化過快，微分環(huán)節(jié)會輸出較大的負數(shù)，作為抑制輸出繼續(xù)上升，從而抑制過沖。

綜上，，分別增加其中一項參數(shù)會對系統(tǒng)造成的影響總結如下表所示；

參數(shù)	上升時間	超調量	響應時間	穩(wěn)態(tài)誤差	穩(wěn)定性
Kp	減少	增加	小變化	減少	降級
Ki	減少	增加	增加	消除	降級
Kd	微小的變化	減少	減少	理論上沒有影響	小，穩(wěn)定性會提升

4.2 理論基礎

上面扯了這么多，無非是為了初步理解PID在負反饋系統(tǒng)中的調節(jié)作用，下面開始推導一下算法實現(xiàn)的具體過程；PID控制器的系統(tǒng)框圖如下所示；

因此不難得出輸入和輸出的關系；

是比例增益；是積分增益；是微分增益；

4.3 離散化

在數(shù)字系統(tǒng)中進行PID算法控制，需要對上述算法進行離散化；假設系統(tǒng)采樣時間為則將輸入序列化得到；

將輸出序列化得到；

• 比例項：
• 積分項：
• 微分項：

所以最終可以得到式①，也就是網(wǎng)上所說的位置式PID：

將式①再做一下簡化；

最終得到增量式PID的離散公式如下：

4.4 偽算法

這里簡單總結一下增量式PID實現(xiàn)的偽算法；


previous_error?:=?0??//上一次偏差
integral?:=?0???//積分和

//循環(huán)?
//采樣周期為dt
loop:
?//setpoint?設定值
?//measured_value?反饋值
????error?:=?setpoint???measured_value?//計算得到偏差
????integral?:=?integral? ?error?×?dt?//計算得到積分累加和
????derivative?:=?(error???previous_error)?/?dt?//計算得到微分
????output?:=?Kp?×?error? ?Ki?×?integral? ?Kd?×?derivative?//計算得到PID輸出
????previous_error?:=?error?//保存當前偏差為下一次采樣時所需要的歷史偏差
????wait(dt)?//等待下一次采用
????goto?loop



5 C 實現(xiàn)

這里是增量式PID算法的C語言實現(xiàn)；

pid.cpp

#ifndef?_PID_SOURCE_
#define?_PID_SOURCE_

#include?
#include?
#include?"pid.h"

using?namespace?std;

class?PIDImpl
{
????public:
????????PIDImpl(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?);
????????~PIDImpl();
????????double?calculate(?double?setpoint,?double?pv?);

????private:
????????double?_dt;
????????double?_max;
????????double?_min;
????????double?_Kp;
????????double?_Kd;
????????double?_Ki;
????????double?_pre_error;
????????double?_integral;
};


PID::PID(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?)
{
????pimpl?=?new?PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);
}
double?PID::calculate(?double?setpoint,?double?pv?)
{
????return?pimpl->calculate(setpoint,pv);
}
PID::~PID()?
{
????delete?pimpl;
}


/**
?*?Implementation
?*/
PIDImpl::PIDImpl(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?)?:
????_dt(dt),
????_max(max),
????_min(min),
????_Kp(Kp),
????_Kd(Kd),
????_Ki(Ki),
????_pre_error(0),
????_integral(0)
{
}

double?PIDImpl::calculate(?double?setpoint,?double?pv?)
{
????
????//?Calculate?error
????double?error?=?setpoint?-?pv;

????//?Proportional?term
????double?Pout?=?_Kp?*?error;

????//?Integral?term
????_integral? =?error?*?_dt;
????double?Iout?=?_Ki?*?_integral;

????//?Derivative?term
????double?derivative?=?(error?-?_pre_error)?/?_dt;
????double?Dout?=?_Kd?*?derivative;

????//?Calculate?total?output
????double?output?=?Pout? ?Iout? ?Dout;

????//?Restrict?to?max/min
????if(?output?>?_max?)
????????output?=?_max;
????else?if(?output?????????output?=?_min;

????//?Save?error?to?previous?error
????_pre_error?=?error;

????return?output;
}

PIDImpl::~PIDImpl()
{
}

#endif
pid.h

#ifndef?_PID_H_
#define?_PID_H_

class?PIDImpl;
class?PID
{
????public:
????????//?Kp?-??proportional?gain
????????//?Ki?-??Integral?gain
????????//?Kd?-??derivative?gain
????????//?dt?-??loop?interval?time
????????//?max?-?maximum?value?of?manipulated?variable
????????//?min?-?minimum?value?of?manipulated?variable
????????PID(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?);

????????//?Returns?the?manipulated?variable?given?a?setpoint?and?current?process?value
????????double?calculate(?double?setpoint,?double?pv?);
????????~PID();

????private:
????????PIDImpl?*pimpl;
};

#endif
pid_example.cpp

#include?"pid.h"
#include?

int?main()?{

????PID?pid?=?PID(0.1,?100,?-100,?0.1,?0.01,?0.5);

????double?val?=?20;
????for?(int?i?=?0;?i?100;?i )?{
????????double?inc?=?pid.calculate(0,?val);
????????printf("val:%?7.3f?inc:%?7.3f\n",?val,?inc);
????????val? =?inc;
????}

????return?0;
}
編譯并測試；

g ?-c?pid.cpp?-o?pid.o
#?To?compile?example?code:
g ?pid_example.cpp?pid.o?-o?pid_example


6 總結

本文總結了PID控制器算法在閉環(huán)系統(tǒng)中根據(jù)偏差變化的具體調節(jié)作用，每個環(huán)節(jié)可能對系統(tǒng)輸出造成什么樣的變化，給出了位置式和增量式離散PID算法的推導過程，并給出了位置式算法的C 程序實現(xiàn)。

-END-

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