詳解：過沖與相位裕量

負(fù)反饋因其可以穩(wěn)定增益、減小失真、擴(kuò)展帶寬、變換阻抗等功能而在電子、控制等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重大作用。小至一顆電源芯片，大至一輛汽車，都在負(fù)反饋技術(shù)的幫助下使我們的生活變得更豐富。然而，負(fù)反饋的使用也是有代價(jià)的，即可能會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為了了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況，最直接、精確的方式就是測量系統(tǒng)的相位裕量(Phase Margin/ PM)，我們通常會使用環(huán)路分析儀進(jìn)行測試。

小編今天向大家介紹另一種方法，即通過測量過沖情況（OS）得到系統(tǒng)的相位裕量。

電路的二階系統(tǒng)化

一些常見的反饋電路，通常都是二階系統(tǒng)，我們以運(yùn)放容性帶載為例來討論：

? ? ? ? *運(yùn)放的容性負(fù)載? ? *典型通用運(yùn)放的開環(huán)增益曲線

一個(gè)典型通用運(yùn)放的開環(huán)增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個(gè)低頻的主極點(diǎn)，如100Hz，高頻極點(diǎn)通常會被設(shè)計(jì)為遠(yuǎn)高于穿越頻率，所以常規(guī)的運(yùn)放電路是穩(wěn)定的。

當(dāng)運(yùn)放存在容性負(fù)載的時(shí)候，開環(huán)輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形成的極點(diǎn)會處在反饋環(huán)路內(nèi)，當(dāng)極點(diǎn)頻率靠近或小于穿越頻率，則會使得系統(tǒng)的相位裕度明顯降低，導(dǎo)致不穩(wěn)定的情況發(fā)生。

所以，一個(gè)運(yùn)放帶容性負(fù)載的放大電路，其傳遞函數(shù)可以表示為：

其中，K為運(yùn)放的DC開環(huán)增益，β是反饋系數(shù)(作為跟隨器時(shí)，β=1，100倍放大時(shí)，β=0.01)。

1/τa是運(yùn)放的低頻主極點(diǎn)的角頻率，1/τb是Zo和Co產(chǎn)生寄生極點(diǎn)的角頻率?？梢?，τa>>?τb。

上式可被轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)

由于K為運(yùn)放的DC開環(huán)增益，所以Kβ>>1

其中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻尼系數(shù)，且

時(shí)域過沖與阻尼系數(shù)的關(guān)系

我們知道，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，即0<ξ<1，才會存在過沖的情況。

對一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)來說，

可以求得其單位階躍響應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)

求得階躍響應(yīng)第一個(gè)峰值對應(yīng)的時(shí)間為：

所以過沖為

因此我們可以繪制如下過沖與阻尼系數(shù)的曲線

*過沖與阻尼系數(shù)的關(guān)系

過沖可以經(jīng)由在輸入端給予一個(gè)小的階躍信號，并測量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統(tǒng)中在1ms時(shí)使用100mV階躍輸入所測得的過沖情況，過沖為31%。

相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

我們接下去分析阻尼系數(shù)與相位裕量(Phase Margin)的關(guān)系

系統(tǒng)的環(huán)路增益為：

為了求得系統(tǒng)穿越頻率ωc?，可令|A(s)β|=1

求得

所以相位裕度

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數(shù)的曲線

*相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

相位裕量與過沖的關(guān)系

由此，我們借由阻尼系數(shù)，得到相位裕量與過沖的關(guān)系，繪制曲線如下

*相位裕量與過沖的關(guān)系

由上圖可知，當(dāng)相位裕量大于70?以上時(shí)已經(jīng)幾乎沒有過沖

相位裕量60? 時(shí)， OS(60?)≈8.8%

相位裕量45? 時(shí)， OS(45?) ≈23.4%

我們的討論是基于二階系統(tǒng)的，所以如果實(shí)際的電路并非二階系統(tǒng)，那么相位裕量與過沖的關(guān)系將并不嚴(yán)格遵循上述推論。但幸運(yùn)的是，現(xiàn)實(shí)中的大部分電路都近似于二階系統(tǒng)，所以通過觀察過沖情況（OS）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，對于有時(shí)候的系統(tǒng)調(diào)試（特別是，對于差分放大器或者SOC等并沒有提供反饋引腳而無法采用環(huán)路分析儀的場合），或者定性分析，都是大有裨益的。

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