數(shù)字濾波技術(shù)的現(xiàn)狀與發(fā)展

引 言

在各類數(shù)字系統(tǒng)中，噪聲與干擾會(huì)降低系統(tǒng)性能，甚至影響系統(tǒng)正常工作。濾波技術(shù)的目的就是抑制各類噪聲與干擾， 提高信噪比，維護(hù)系統(tǒng)穩(wěn)定。

數(shù)字濾波技術(shù)相比傳統(tǒng)模擬濾波技術(shù)，以其靈活度大、穩(wěn)定性高等優(yōu)點(diǎn)[1] 被廣泛應(yīng)用于航天、圖像處理、語(yǔ)音處理、電視、雷達(dá)、生物醫(yī)藥、音樂(lè)等行業(yè)中[2]。

數(shù)字濾波技術(shù)可以分為經(jīng)典濾波技術(shù)與現(xiàn)代濾波技術(shù)。經(jīng)典濾波技術(shù)使用傅立葉變化將信號(hào)和噪聲頻率分離，濾波時(shí)直接去除噪聲所在信道?，F(xiàn)代濾波技術(shù)則是建立在信號(hào)隨機(jī)性本質(zhì)的基礎(chǔ)上，將信號(hào)和噪聲當(dāng)作隨機(jī)信號(hào)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)特性估計(jì)出信號(hào)本身。

經(jīng)典濾波技術(shù)漸漸被現(xiàn)代濾波技術(shù)所取代，因此本文主要介紹幾種常用的現(xiàn)代濾波技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀及其發(fā)展趨勢(shì)。

1 卡爾曼濾波發(fā)展現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)

1.1 基本卡爾曼濾波算法的引入

最佳線性濾波理論即維納濾波理論，于 20 世紀(jì) 40 年代由美國(guó)與前蘇聯(lián)科學(xué)家一同提出。該理論需要使用所有以往信號(hào)以及當(dāng)前信號(hào)，難以用于實(shí)時(shí)濾波 [3]。為突破維納濾波技術(shù)的局限性，1960 年Kalman 引入了空間狀態(tài)模型，提出了卡爾曼濾波技術(shù)，用于解決線性高斯問(wèn)題，而該技術(shù)也是當(dāng)前解決線性高斯實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)方式。通過(guò)建立信號(hào)與噪聲的空間狀態(tài)模型，使用過(guò)去的估計(jì)值與當(dāng)下測(cè)量值更新空間狀態(tài)模型的參數(shù)，求出當(dāng)前的估計(jì)值[4]。

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

基本卡爾曼濾波技術(shù)用于解決高斯線性問(wèn)題，但對(duì)于非線性問(wèn)題卻有很大局限性。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，各類實(shí)際問(wèn)題都存在非線性特性，因此，非線性濾波技術(shù)得以廣泛應(yīng)用。

所謂線性濾波，指原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果是一種算數(shù)運(yùn)算。而非線性濾波指原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果之間是邏輯關(guān)系。在各類解決非線性問(wèn)題的方法中，擴(kuò)展卡爾曼濾波技術(shù)的（Extended Kalman Filter，EKF）使用最為廣泛[5]。

EKF 的本質(zhì)就是將非線性模型分為若干線性區(qū)域，對(duì)每個(gè)線性區(qū)域使用卡爾曼濾波技術(shù)。EKF 對(duì)于弱非線性系統(tǒng)能得到不錯(cuò)的濾波結(jié)果，但對(duì)于強(qiáng)非線性濾波系統(tǒng)的濾波結(jié)果卻不理想[6]。

EKF 會(huì)產(chǎn)生較大誤差，且計(jì)算復(fù)雜度高。一些改進(jìn)的EKF 雖然提高了精度，但會(huì)增加計(jì)算量[7]。

1.3 不敏卡爾曼濾波技術(shù)

不敏卡爾曼濾波技術(shù)（Unscented Kalman Filter，UKF） 的主要思路是 近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)本身更容易 [8]，即在不敏變換的基礎(chǔ)上，利用一系列測(cè)試點(diǎn)來(lái)預(yù)估狀態(tài)后驗(yàn)概率密度函數(shù)[9]。

與EKF 不同，UKF 通過(guò)U 變換令非線性系統(tǒng)方程能夠適用于線性假設(shè)，變換后，使得在不增加計(jì)算量的前提下，有效克服EKF 估計(jì)精度低、穩(wěn)定性差的缺點(diǎn)[5]。

1.4 其他卡爾曼濾波技術(shù)的發(fā)展

文獻(xiàn) [10] 提出了容積卡爾曼濾波技術(shù)（Cubature Kalman Filters，CKF）。CKF為解決貝葉斯濾波積分問(wèn)題，使用一系列位置、個(gè)數(shù)、權(quán)系數(shù)均確定的容積點(diǎn)集，采用球形積分規(guī)則、徑向積分規(guī)則來(lái)計(jì)算積分，得到容積點(diǎn)及其權(quán)重，再用類似UKF 的方法計(jì)算積分。

文獻(xiàn) [11] 在CKF 的基礎(chǔ)上，提出了容積求積卡爾曼濾波（Cubature Quadrature Kalman Filter，CQKF）。為達(dá)到提高精度的目的，CQKF 構(gòu)造高階采樣點(diǎn)，但增加了計(jì)算量、降低了濾波實(shí)時(shí)性。

文獻(xiàn)[12] 則在EKF 的基礎(chǔ)上提出單形不敏求積卡爾曼濾波（Simplex Unscented Quadrature Kalman Filter，SUQKF）。

該方法結(jié)合高斯 拉蓋爾積分公式（Gauss-Laguerre Quadra），使用一組新型高階采樣點(diǎn)達(dá)到提升收斂速度與濾波精度的目的。

1.5 卡爾曼濾波技術(shù)的應(yīng)用

卡爾曼濾波目前主要用于不能精確觀測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)，如氣象、能源、雷達(dá)等[13-16]。

2 自適應(yīng)濾波發(fā)展現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)

2.1 自適應(yīng)濾波技術(shù)的基本概念

自適應(yīng)濾波技術(shù)的概念源自固定系數(shù)濾波技術(shù)。在固定系數(shù)濾波技術(shù)中，已算出信號(hào)和噪聲各自占有的頻帶，濾波時(shí)清除噪聲所在頻率，留下信號(hào)所在頻率。而自適應(yīng)濾波技術(shù)可以隨著環(huán)境參數(shù)的改變，根據(jù)算法自動(dòng)調(diào)整濾波參數(shù)，得到濾波結(jié)果，實(shí)現(xiàn)噪聲抵消[17]。

自適應(yīng)濾波的主要特點(diǎn)是不需要輸入先前的信號(hào)，因此計(jì)算量小，多用于實(shí)時(shí)處理系統(tǒng)[18]。

2.2 LMS自適應(yīng)算法及其發(fā)展

在所有濾波技術(shù)中，最小均方誤差（LMS）算法使用最為廣泛，其具有平穩(wěn)環(huán)境中收斂性好、計(jì)算復(fù)雜度低、穩(wěn)定性高等優(yōu)點(diǎn)。LMS 算法基于最小均方誤差準(zhǔn)則，使輸出值與估計(jì)值之間的均方誤差最小[17]。

階長(zhǎng)作為自適應(yīng)算法中的一個(gè)重要參數(shù)及不確定因素， 對(duì)算法的性能有很大影響。階長(zhǎng)與收斂速度正相關(guān)，與穩(wěn)定性負(fù)相關(guān)。因此，尋找階長(zhǎng)的最佳值是LMS 算法研究中的一個(gè)難點(diǎn)[19]。

文獻(xiàn) [20] 提出了分割濾波器算法，將濾波器分成多個(gè)濾波器的組合，并依次計(jì)算誤差，通過(guò)比較最后兩個(gè)濾波器的誤差來(lái)確定是否選擇添加下一個(gè)。

文獻(xiàn) [21] 提出了梯度下降算法來(lái)解決階長(zhǎng)選取問(wèn)題，使用梯度的概念將濾波器的輸出誤差平方定義為濾波器階數(shù)收斂的目標(biāo)函數(shù)，以此為依據(jù)，目標(biāo)函數(shù)取值小時(shí)獲取最佳階長(zhǎng)。

文獻(xiàn) [22] 和[23] 提出了分?jǐn)?shù)階數(shù)（FT-LMS）算法。一般認(rèn)為，F(xiàn)T-LMS 算法是目前效率最高的LMS 算法。但該算法參數(shù)理論性過(guò)強(qiáng)，選擇復(fù)雜，目前僅限于理論研究，并沒(méi)有太多的實(shí)踐意義。

由上述分析可知，LMS 算法的一大限制在于無(wú)法兼顧收斂速度與穩(wěn)定性。為了解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn) [24] 中提出了基于凸組合的并聯(lián)LMS自適應(yīng)濾波算法（CLMS），并聯(lián)指兩個(gè)濾波器同時(shí)工作，可有效提高收斂速度，但需人為設(shè)定參數(shù)，不具有一般性。

為解決 CLMS 中存在的問(wèn)題，文獻(xiàn) [25] 提出了一種基于變步長(zhǎng)的CLMS算法（VSCLMS），但該方法對(duì)于濾波器的要求過(guò)于苛刻，在實(shí)際使用過(guò)程中也有較大問(wèn)題。

文獻(xiàn) [26] 提出了一種采用以最小均方權(quán)值偏差為條件的變步長(zhǎng)濾波器，并以此作為凸組合濾波器中的快速濾波器，不僅提高了收斂速度，還保證了在時(shí)變環(huán)境下的魯棒性。

2.3 其他自適應(yīng)算法

遞歸最小二乘（RLS）算法的基本準(zhǔn)則是，每次獲取數(shù)據(jù)都要對(duì)之前的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，令其平方誤差的加權(quán)和最小。顯然，此方法隨著時(shí)間推移，計(jì)算量隨之增大，實(shí)時(shí)性較差。但對(duì)于有大量計(jì)算能力且對(duì)實(shí)時(shí)性要求較低的系統(tǒng)而言，該算法的收斂速度快、精度高、穩(wěn)定性高，適用于非平穩(wěn)信號(hào)。因此，有大量降低該算法計(jì)算復(fù)雜度、保持其收斂速度、精度、穩(wěn)定性的嘗試與研究，如快速遞推最小二乘格型算法等[27]。自適應(yīng)算法中還有變換域自適應(yīng)濾波算法[28]、基于子帶分解的自適應(yīng)算法、基于 QR 分解的自適應(yīng)算法、共軛梯度算法等[29]。

2.4 自適應(yīng)濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀

自適應(yīng)濾波作為一種智能且有針對(duì)性的濾波方式，不僅能直接應(yīng)用于航空 [30]、光學(xué) [31]、生物醫(yī)藥 [32] 等多個(gè)領(lǐng)域， 還能與其他技術(shù)配合使用，有著良好的應(yīng)用前景。

3 粒子濾波發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢(shì)

3.1 基本粒子濾波技術(shù)

20 世紀(jì) 50 年代提出的粒子濾波技術(shù)是另一種解決非線性濾波問(wèn)題的常用技術(shù)。剛提出此項(xiàng)技術(shù)時(shí)，由于其計(jì)算量大、退化嚴(yán)重，導(dǎo)致該技術(shù)長(zhǎng)期得不到重視。但隨著時(shí)間的推移， 對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題有了很好的解決方案，因此粒子濾波技術(shù)的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛[33]。

粒子濾波技術(shù)的中心思路是構(gòu)造一個(gè)基于樣本的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，尋找一組在狀態(tài)空間傳播的隨機(jī)樣本描述系統(tǒng)狀態(tài)，將樣本形象化為粒子，如果數(shù)量達(dá)到一定程度，就可以無(wú)限逼近任何系統(tǒng)狀態(tài)。該技術(shù)不需要任何先驗(yàn)性假設(shè)，理論上適用于所有空間狀態(tài)模型描述的隨機(jī)系統(tǒng)[34]。

3.2 粒子濾波標(biāo)準(zhǔn)算法

序貫重要性采樣（Sequential Importance Sampling，SIS） 算法以及序貫重要性重采樣方 法（Sequential Importance Resampling，SIR）是粒子濾波技術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)算法。這兩種算法出現(xiàn)時(shí)間較早，雖體現(xiàn)了粒子濾波技術(shù)的基本思想，但也存在嚴(yán)重的缺陷[33]。

粒子退化是指當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到某個(gè)狀態(tài)時(shí)，大部分之前粒子幾乎對(duì)于結(jié)果沒(méi)有影響、所占權(quán)極低，小部分粒子權(quán)重很大， 此時(shí)，大部分計(jì)算都在做無(wú)用功，而小部分粒子不能完全反映系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。SIS 算法就存在這樣的缺陷[35]。

SIR 算法舍棄權(quán)值小的粒子，將權(quán)值大的粒子進(jìn)行繁殖， 抑制了粒子退化現(xiàn)象，但隨之會(huì)出現(xiàn)粒子多樣性喪失的問(wèn)題， 即所有粒子都從少部分粒子復(fù)制而來(lái)，導(dǎo)致粒子不具有代表性，或難以描述系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。這種情況被稱為粒子匱乏現(xiàn)象[35]。

3.3 粒子濾波技術(shù)的發(fā)展

目前，大多數(shù)粒子濾波技術(shù)都圍繞著SIS 算法與SIR 算法及其存在的問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的研究與改進(jìn)。

3.3.1 對(duì)SIS算法的改進(jìn)

有三大類設(shè)計(jì)方法用于對(duì) SIS 算法的改進(jìn)，使其獲得最優(yōu)的重要性采集密度函數(shù) [36]。一是利用一些優(yōu)化算法來(lái)尋找該函數(shù)特有的模式；二是采用經(jīng)典的非線性濾波算法來(lái)構(gòu)造該函數(shù)，如前文提到的 EKF、UKF 等；三是采用 Auxiliary 粒子濾波算法（APF）[37]。

3.3.2 對(duì)SIR算法的改進(jìn)

文獻(xiàn) [38] 提出了一種將粒子分為兩塊，對(duì)其中一塊進(jìn)行重采樣，用以在粒子退化與粒子喪失之間進(jìn)行折中。

文獻(xiàn) [39] 提出了一種精確重采樣（Exquisite Resampling， ER）算法，該算法以提高計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)，比較樣本權(quán)值，同時(shí)保留權(quán)值大的樣本，然后使用擬蒙特卡洛方法（Quasi Monte Carlo）對(duì)后代進(jìn)行復(fù)制。該算法雖能有效解決粒子匱乏現(xiàn)象，但大大提高了計(jì)算復(fù)雜度。

文獻(xiàn) [40] 提出了一種蟻群優(yōu)化算法，利用螞蟻覓食機(jī)制取代重采樣的步驟，將螞蟻覓食過(guò)程與粒子傳遞過(guò)程相聯(lián)系， 避免粒子匱乏問(wèn)題的出現(xiàn)。

文獻(xiàn) [41] 和[42] 也使用了蟻群優(yōu)化算法，在增加計(jì)算量的前提下，使用優(yōu)化粒子的方法抑制粒子匱乏現(xiàn)象。

文獻(xiàn) [43] 提出了一種改進(jìn)的濾波算法，可以從根本上解決粒子退化問(wèn)題，廢除重采樣步驟，降低計(jì)算量，避免出現(xiàn)粒子匱乏現(xiàn)象，運(yùn)算速度得到大幅提升。

3.3.3 與粒子數(shù)量有關(guān)的算法

由粒子濾波的定義可知，隨著算法的進(jìn)行，粒子的數(shù)量會(huì)不斷增加，而性能好壞與計(jì)算量成正比。由于系統(tǒng)的計(jì)算量有限，因此在實(shí)際使用時(shí)往往會(huì)將粒子數(shù)量限制在一定范圍內(nèi)。但隨著時(shí)間的推移，概率密度復(fù)雜度越來(lái)越大，粒子數(shù)目固定會(huì)導(dǎo)致粒子濾波性能下降。同時(shí)，最優(yōu)粒子數(shù)目的選擇一般都根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇，沒(méi)有現(xiàn)成的算法。因此，產(chǎn)生了一系列與粒子數(shù)目相關(guān)的算法。

文獻(xiàn) [44] 根據(jù) Kullback-Leibler 距離來(lái)確定最優(yōu)粒子數(shù)量，并能隨著系統(tǒng)的運(yùn)行自適應(yīng)調(diào)整最優(yōu)粒子數(shù)量，從而提高算法性能。

文獻(xiàn) [45] 在不顯著提高計(jì)算量的前提下，結(jié)合真實(shí)密度以及后驗(yàn)概率密度復(fù)雜度，使得粒子數(shù)目與傳播函數(shù)自適應(yīng)變化，保證了較高的精度。

文獻(xiàn) [46] 提出了一種通過(guò)比較近似濾波估計(jì)和真實(shí)濾波估計(jì)動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子數(shù)目的算法。

文獻(xiàn) [47] 提出了一種基于模糊邏輯，通過(guò)濾波估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)調(diào)整粒子數(shù)目的算法。

文獻(xiàn) [48] 通過(guò)模擬退火，獲取當(dāng)前檢測(cè)值，使重要性密度函數(shù)隨時(shí)間自適應(yīng)更新，提高了估計(jì)精度。

3.3.4 粒子濾波技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)

粒子濾波技術(shù)還可以與其他技術(shù)相結(jié)合。

文獻(xiàn)[49] 將粒子濾波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，采用全局搜索策略， 解決了局部搜索算法容易陷入局部極小的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)粒子高利用的目標(biāo)。

文獻(xiàn) [50] 將粒子濾波與自組織模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法相結(jié)合，在增加神經(jīng)元準(zhǔn)則和刪除神經(jīng)元準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，利用粒子濾波技術(shù)對(duì)神經(jīng)元參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

粒子濾波技術(shù)今后的發(fā)展主要圍繞粒子濾波技術(shù)目前的難點(diǎn)與缺陷展開(kāi)，如重要性函數(shù)選擇、重采樣算法、算法實(shí)時(shí)性提升、收斂性證明。

3.3.5粒子濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀

粒子濾波技術(shù)雖然出現(xiàn)時(shí)間早，但實(shí)質(zhì)上是進(jìn)十幾年剛發(fā)展起來(lái)的，潛力不俗。粒子濾波技術(shù)雖然也應(yīng)用于機(jī)器人[51] 等領(lǐng)域，但其主要應(yīng)用于目標(biāo)追蹤、定位，特別是軍事領(lǐng)域， 如空對(duì)空、空對(duì)地被動(dòng)式追蹤等[52]。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文總結(jié)了卡爾曼濾波技術(shù)、自適應(yīng)濾波技術(shù)、粒子濾波技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀以及發(fā)展趨勢(shì)，簡(jiǎn)單介紹了各濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀。

各類濾波技術(shù)有著各自的優(yōu)點(diǎn)與缺陷，在實(shí)際應(yīng)用中也會(huì)出現(xiàn)不同的問(wèn)題，需要在今后的實(shí)踐中不斷改進(jìn)。