數(shù)字濾波技術(shù)的現(xiàn)狀與發(fā)展

引 言

在各類數(shù)字系統(tǒng)中，噪聲與干擾會降低系統(tǒng)性能，甚至影響系統(tǒng)正常工作。濾波技術(shù)的目的就是抑制各類噪聲與干擾， 提高信噪比，維護系統(tǒng)穩(wěn)定。

數(shù)字濾波技術(shù)相比傳統(tǒng)模擬濾波技術(shù)，以其靈活度大、穩(wěn)定性高等優(yōu)點[1] 被廣泛應(yīng)用于航天、圖像處理、語音處理、電視、雷達(dá)、生物醫(yī)藥、音樂等行業(yè)中[2]。

數(shù)字濾波技術(shù)可以分為經(jīng)典濾波技術(shù)與現(xiàn)代濾波技術(shù)。經(jīng)典濾波技術(shù)使用傅立葉變化將信號和噪聲頻率分離，濾波時直接去除噪聲所在信道。現(xiàn)代濾波技術(shù)則是建立在信號隨機性本質(zhì)的基礎(chǔ)上，將信號和噪聲當(dāng)作隨機信號，通過統(tǒng)計特性估計出信號本身。

經(jīng)典濾波技術(shù)漸漸被現(xiàn)代濾波技術(shù)所取代，因此本文主要介紹幾種常用的現(xiàn)代濾波技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀及其發(fā)展趨勢。

1 卡爾曼濾波發(fā)展現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢

1.1 基本卡爾曼濾波算法的引入

最佳線性濾波理論即維納濾波理論，于 20 世紀(jì) 40 年代由美國與前蘇聯(lián)科學(xué)家一同提出。該理論需要使用所有以往信號以及當(dāng)前信號，難以用于實時濾波 [3]。為突破維納濾波技術(shù)的局限性，1960 年Kalman 引入了空間狀態(tài)模型，提出了卡爾曼濾波技術(shù)，用于解決線性高斯問題，而該技術(shù)也是當(dāng)前解決線性高斯實際應(yīng)用問題的標(biāo)準(zhǔn)方式。通過建立信號與噪聲的空間狀態(tài)模型，使用過去的估計值與當(dāng)下測量值更新空間狀態(tài)模型的參數(shù)，求出當(dāng)前的估計值[4]。

1.2 擴展卡爾曼濾波

基本卡爾曼濾波技術(shù)用于解決高斯線性問題，但對于非線性問題卻有很大局限性。然而，在現(xiàn)實世界中，各類實際問題都存在非線性特性，因此，非線性濾波技術(shù)得以廣泛應(yīng)用。

所謂線性濾波，指原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果是一種算數(shù)運算。而非線性濾波指原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果之間是邏輯關(guān)系。在各類解決非線性問題的方法中，擴展卡爾曼濾波技術(shù)的（Extended Kalman Filter，EKF）使用最為廣泛[5]。

EKF 的本質(zhì)就是將非線性模型分為若干線性區(qū)域，對每個線性區(qū)域使用卡爾曼濾波技術(shù)。EKF 對于弱非線性系統(tǒng)能得到不錯的濾波結(jié)果，但對于強非線性濾波系統(tǒng)的濾波結(jié)果卻不理想[6]。

EKF 會產(chǎn)生較大誤差，且計算復(fù)雜度高。一些改進的EKF 雖然提高了精度，但會增加計算量[7]。

1.3 不敏卡爾曼濾波技術(shù)

不敏卡爾曼濾波技術(shù)（Unscented Kalman Filter，UKF） 的主要思路是 近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)本身更容易 [8]，即在不敏變換的基礎(chǔ)上，利用一系列測試點來預(yù)估狀態(tài)后驗概率密度函數(shù)[9]。

與EKF 不同，UKF 通過U 變換令非線性系統(tǒng)方程能夠適用于線性假設(shè)，變換后，使得在不增加計算量的前提下，有效克服EKF 估計精度低、穩(wěn)定性差的缺點[5]。

1.4 其他卡爾曼濾波技術(shù)的發(fā)展

文獻 [10] 提出了容積卡爾曼濾波技術(shù)（Cubature Kalman Filters，CKF）。CKF為解決貝葉斯濾波積分問題，使用一系列位置、個數(shù)、權(quán)系數(shù)均確定的容積點集，采用球形積分規(guī)則、徑向積分規(guī)則來計算積分，得到容積點及其權(quán)重，再用類似UKF 的方法計算積分。

文獻 [11] 在CKF 的基礎(chǔ)上，提出了容積求積卡爾曼濾波（Cubature Quadrature Kalman Filter，CQKF）。為達(dá)到提高精度的目的，CQKF 構(gòu)造高階采樣點，但增加了計算量、降低了濾波實時性。

文獻[12] 則在EKF 的基礎(chǔ)上提出單形不敏求積卡爾曼濾波（Simplex Unscented Quadrature Kalman Filter，SUQKF）。

該方法結(jié)合高斯 拉蓋爾積分公式（Gauss-Laguerre Quadra），使用一組新型高階采樣點達(dá)到提升收斂速度與濾波精度的目的。

1.5 卡爾曼濾波技術(shù)的應(yīng)用

卡爾曼濾波目前主要用于不能精確觀測的系統(tǒng)狀態(tài)，如氣象、能源、雷達(dá)等[13-16]。

2 自適應(yīng)濾波發(fā)展現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢

2.1 自適應(yīng)濾波技術(shù)的基本概念

自適應(yīng)濾波技術(shù)的概念源自固定系數(shù)濾波技術(shù)。在固定系數(shù)濾波技術(shù)中，已算出信號和噪聲各自占有的頻帶，濾波時清除噪聲所在頻率，留下信號所在頻率。而自適應(yīng)濾波技術(shù)可以隨著環(huán)境參數(shù)的改變，根據(jù)算法自動調(diào)整濾波參數(shù)，得到濾波結(jié)果，實現(xiàn)噪聲抵消[17]。

自適應(yīng)濾波的主要特點是不需要輸入先前的信號，因此計算量小，多用于實時處理系統(tǒng)[18]。

2.2 LMS自適應(yīng)算法及其發(fā)展

在所有濾波技術(shù)中，最小均方誤差（LMS）算法使用最為廣泛，其具有平穩(wěn)環(huán)境中收斂性好、計算復(fù)雜度低、穩(wěn)定性高等優(yōu)點。LMS 算法基于最小均方誤差準(zhǔn)則，使輸出值與估計值之間的均方誤差最小[17]。

階長作為自適應(yīng)算法中的一個重要參數(shù)及不確定因素， 對算法的性能有很大影響。階長與收斂速度正相關(guān)，與穩(wěn)定性負(fù)相關(guān)。因此，尋找階長的最佳值是LMS 算法研究中的一個難點[19]。

文獻 [20] 提出了分割濾波器算法，將濾波器分成多個濾波器的組合，并依次計算誤差，通過比較最后兩個濾波器的誤差來確定是否選擇添加下一個。

文獻 [21] 提出了梯度下降算法來解決階長選取問題，使用梯度的概念將濾波器的輸出誤差平方定義為濾波器階數(shù)收斂的目標(biāo)函數(shù)，以此為依據(jù)，目標(biāo)函數(shù)取值小時獲取最佳階長。

文獻 [22] 和[23] 提出了分?jǐn)?shù)階數(shù)（FT-LMS）算法。一般認(rèn)為，F(xiàn)T-LMS 算法是目前效率最高的LMS 算法。但該算法參數(shù)理論性過強，選擇復(fù)雜，目前僅限于理論研究，并沒有太多的實踐意義。

由上述分析可知，LMS 算法的一大限制在于無法兼顧收斂速度與穩(wěn)定性。為了解決這個問題，文獻 [24] 中提出了基于凸組合的并聯(lián)LMS自適應(yīng)濾波算法（CLMS），并聯(lián)指兩個濾波器同時工作，可有效提高收斂速度，但需人為設(shè)定參數(shù)，不具有一般性。

為解決 CLMS 中存在的問題，文獻 [25] 提出了一種基于變步長的CLMS算法（VSCLMS），但該方法對于濾波器的要求過于苛刻，在實際使用過程中也有較大問題。

文獻 [26] 提出了一種采用以最小均方權(quán)值偏差為條件的變步長濾波器，并以此作為凸組合濾波器中的快速濾波器，不僅提高了收斂速度，還保證了在時變環(huán)境下的魯棒性。

2.3 其他自適應(yīng)算法

遞歸最小二乘（RLS）算法的基本準(zhǔn)則是，每次獲取數(shù)據(jù)都要對之前的所有數(shù)據(jù)進行計算，令其平方誤差的加權(quán)和最小。顯然，此方法隨著時間推移，計算量隨之增大，實時性較差。但對于有大量計算能力且對實時性要求較低的系統(tǒng)而言，該算法的收斂速度快、精度高、穩(wěn)定性高，適用于非平穩(wěn)信號。因此，有大量降低該算法計算復(fù)雜度、保持其收斂速度、精度、穩(wěn)定性的嘗試與研究，如快速遞推最小二乘格型算法等[27]。自適應(yīng)算法中還有變換域自適應(yīng)濾波算法[28]、基于子帶分解的自適應(yīng)算法、基于 QR 分解的自適應(yīng)算法、共軛梯度算法等[29]。

2.4 自適應(yīng)濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀

自適應(yīng)濾波作為一種智能且有針對性的濾波方式，不僅能直接應(yīng)用于航空 [30]、光學(xué) [31]、生物醫(yī)藥 [32] 等多個領(lǐng)域， 還能與其他技術(shù)配合使用，有著良好的應(yīng)用前景。

3 粒子濾波發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢

3.1 基本粒子濾波技術(shù)

20 世紀(jì) 50 年代提出的粒子濾波技術(shù)是另一種解決非線性濾波問題的常用技術(shù)。剛提出此項技術(shù)時，由于其計算量大、退化嚴(yán)重，導(dǎo)致該技術(shù)長期得不到重視。但隨著時間的推移， 對于這兩個問題有了很好的解決方案，因此粒子濾波技術(shù)的應(yīng)用也越來越廣泛[33]。

粒子濾波技術(shù)的中心思路是構(gòu)造一個基于樣本的后驗概率密度函數(shù)，尋找一組在狀態(tài)空間傳播的隨機樣本描述系統(tǒng)狀態(tài)，將樣本形象化為粒子，如果數(shù)量達(dá)到一定程度，就可以無限逼近任何系統(tǒng)狀態(tài)。該技術(shù)不需要任何先驗性假設(shè)，理論上適用于所有空間狀態(tài)模型描述的隨機系統(tǒng)[34]。

3.2 粒子濾波標(biāo)準(zhǔn)算法

序貫重要性采樣（Sequential Importance Sampling，SIS） 算法以及序貫重要性重采樣方 法（Sequential Importance Resampling，SIR）是粒子濾波技術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)算法。這兩種算法出現(xiàn)時間較早，雖體現(xiàn)了粒子濾波技術(shù)的基本思想，但也存在嚴(yán)重的缺陷[33]。

粒子退化是指當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到某個狀態(tài)時，大部分之前粒子幾乎對于結(jié)果沒有影響、所占權(quán)極低，小部分粒子權(quán)重很大， 此時，大部分計算都在做無用功，而小部分粒子不能完全反映系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。SIS 算法就存在這樣的缺陷[35]。

SIR 算法舍棄權(quán)值小的粒子，將權(quán)值大的粒子進行繁殖， 抑制了粒子退化現(xiàn)象，但隨之會出現(xiàn)粒子多樣性喪失的問題， 即所有粒子都從少部分粒子復(fù)制而來，導(dǎo)致粒子不具有代表性，或難以描述系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)。這種情況被稱為粒子匱乏現(xiàn)象[35]。

3.3 粒子濾波技術(shù)的發(fā)展

目前，大多數(shù)粒子濾波技術(shù)都圍繞著SIS 算法與SIR 算法及其存在的問題進行相應(yīng)的研究與改進。

3.3.1 對SIS算法的改進

有三大類設(shè)計方法用于對 SIS 算法的改進，使其獲得最優(yōu)的重要性采集密度函數(shù) [36]。一是利用一些優(yōu)化算法來尋找該函數(shù)特有的模式；二是采用經(jīng)典的非線性濾波算法來構(gòu)造該函數(shù)，如前文提到的 EKF、UKF 等；三是采用 Auxiliary 粒子濾波算法（APF）[37]。

3.3.2 對SIR算法的改進

文獻 [38] 提出了一種將粒子分為兩塊，對其中一塊進行重采樣，用以在粒子退化與粒子喪失之間進行折中。

文獻 [39] 提出了一種精確重采樣（Exquisite Resampling， ER）算法，該算法以提高計算復(fù)雜度為代價，比較樣本權(quán)值，同時保留權(quán)值大的樣本，然后使用擬蒙特卡洛方法（Quasi Monte Carlo）對后代進行復(fù)制。該算法雖能有效解決粒子匱乏現(xiàn)象，但大大提高了計算復(fù)雜度。

文獻 [40] 提出了一種蟻群優(yōu)化算法，利用螞蟻覓食機制取代重采樣的步驟，將螞蟻覓食過程與粒子傳遞過程相聯(lián)系， 避免粒子匱乏問題的出現(xiàn)。

文獻 [41] 和[42] 也使用了蟻群優(yōu)化算法，在增加計算量的前提下，使用優(yōu)化粒子的方法抑制粒子匱乏現(xiàn)象。

文獻 [43] 提出了一種改進的濾波算法，可以從根本上解決粒子退化問題，廢除重采樣步驟，降低計算量，避免出現(xiàn)粒子匱乏現(xiàn)象，運算速度得到大幅提升。

3.3.3 與粒子數(shù)量有關(guān)的算法

由粒子濾波的定義可知，隨著算法的進行，粒子的數(shù)量會不斷增加，而性能好壞與計算量成正比。由于系統(tǒng)的計算量有限，因此在實際使用時往往會將粒子數(shù)量限制在一定范圍內(nèi)。但隨著時間的推移，概率密度復(fù)雜度越來越大，粒子數(shù)目固定會導(dǎo)致粒子濾波性能下降。同時，最優(yōu)粒子數(shù)目的選擇一般都根據(jù)經(jīng)驗選擇，沒有現(xiàn)成的算法。因此，產(chǎn)生了一系列與粒子數(shù)目相關(guān)的算法。

文獻 [44] 根據(jù) Kullback-Leibler 距離來確定最優(yōu)粒子數(shù)量，并能隨著系統(tǒng)的運行自適應(yīng)調(diào)整最優(yōu)粒子數(shù)量，從而提高算法性能。

文獻 [45] 在不顯著提高計算量的前提下，結(jié)合真實密度以及后驗概率密度復(fù)雜度，使得粒子數(shù)目與傳播函數(shù)自適應(yīng)變化，保證了較高的精度。

文獻 [46] 提出了一種通過比較近似濾波估計和真實濾波估計動態(tài)調(diào)整粒子數(shù)目的算法。

文獻 [47] 提出了一種基于模糊邏輯，通過濾波估計誤差動態(tài)調(diào)整粒子數(shù)目的算法。

文獻 [48] 通過模擬退火，獲取當(dāng)前檢測值，使重要性密度函數(shù)隨時間自適應(yīng)更新，提高了估計精度。

3.3.4 粒子濾波技術(shù)的發(fā)展趨勢

粒子濾波技術(shù)還可以與其他技術(shù)相結(jié)合。

文獻[49] 將粒子濾波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，采用全局搜索策略， 解決了局部搜索算法容易陷入局部極小的問題，實現(xiàn)粒子高利用的目標(biāo)。

文獻 [50] 將粒子濾波與自組織模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法相結(jié)合，在增加神經(jīng)元準(zhǔn)則和刪除神經(jīng)元準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，利用粒子濾波技術(shù)對神經(jīng)元參數(shù)進行學(xué)習(xí)。

粒子濾波技術(shù)今后的發(fā)展主要圍繞粒子濾波技術(shù)目前的難點與缺陷展開，如重要性函數(shù)選擇、重采樣算法、算法實時性提升、收斂性證明。

3.3.5粒子濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀

粒子濾波技術(shù)雖然出現(xiàn)時間早，但實質(zhì)上是進十幾年剛發(fā)展起來的，潛力不俗。粒子濾波技術(shù)雖然也應(yīng)用于機器人[51] 等領(lǐng)域，但其主要應(yīng)用于目標(biāo)追蹤、定位，特別是軍事領(lǐng)域， 如空對空、空對地被動式追蹤等[52]。

4 結(jié) 語

本文總結(jié)了卡爾曼濾波技術(shù)、自適應(yīng)濾波技術(shù)、粒子濾波技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀以及發(fā)展趨勢，簡單介紹了各濾波技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀。

各類濾波技術(shù)有著各自的優(yōu)點與缺陷，在實際應(yīng)用中也會出現(xiàn)不同的問題，需要在今后的實踐中不斷改進。