基于 MATLAB 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示

0 引言

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是力學(xué)的主要內(nèi)容之一，在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中已經(jīng)對(duì)多個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論，但研究?jī)H局限于兩、三個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二維坐標(biāo)中的合成情況，三維無(wú)法體現(xiàn)。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二及三維坐標(biāo)中合成的波形及軌跡， 并依據(jù)這些波形與軌跡， 探討多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律。

1 研究意義

利用MATLAB GUI 軟件的制作，對(duì)一維、二維及三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的授課方式及仿真實(shí)驗(yàn)提供了新的方法。在傳統(tǒng)教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成通過(guò)示波器來(lái)觀察，其合成圖像往往與理論值有較大偏差，其主要存在的問(wèn)題有以下幾個(gè)方面：

1.1 課堂時(shí)間緊迫，圖像合成演示的直觀顯示多要在實(shí)驗(yàn)課當(dāng)中進(jìn)行操作，不利于學(xué)習(xí)的及時(shí)記憶和直觀了解。

1.2 電路布線不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真。

1.3 示波器無(wú)法合成及演示三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像。

1.4 示波器探頭種類繁多，對(duì)于精確的理論圖形的演示難以企及，且探頭可提供測(cè)試需要的保真度往往較低。

1.5 對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計(jì)算比較復(fù)雜，示波器無(wú)法高精度的實(shí)現(xiàn)圖形的模擬合成。

針對(duì)以上問(wèn)題制作的MATLAB GUI 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的程序，能幫助授課教師在課堂上直觀的演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，直觀對(duì)比理論測(cè)量與實(shí)際測(cè)量。

2 基本原理

2.1 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理

2.1.1 多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x 方向上同時(shí)參與n 個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為：

分別為和振動(dòng)的振幅和初相位，由(1)式可知多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)可合成為一個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其軌跡是余弦(或正弦)曲線。利用MATLAB 進(jìn)行合成演示，上述推證可得到證實(shí)。

2.1.2 多個(gè)一維不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

一般情況下，多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。利用MATLAB 進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維頻率比為有理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然復(fù)雜但具有周期性，而多個(gè)一維頻率比為無(wú)理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)則既復(fù)雜又無(wú)周期性。

由圖1 可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其結(jié)果形成多個(gè)大小不一的拍。進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)是這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩兩合成的幅度減小的拍的疊加，其結(jié)果形成n -1個(gè)大小不一的拍--多拍現(xiàn)象。其中，主拍的拍幅很大(為單個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅的n 倍)，而次拍的拍幅則比較小。

2.2 二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成-李薩茹圖形

2.2.1 相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng)時(shí)，一般情況下質(zhì)點(diǎn)將做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀將由兩個(gè)分振動(dòng)的周期、振幅和它們的相位差決定。沿兩個(gè)振動(dòng)的方向分別建立x,y 軸，并以質(zhì)點(diǎn)的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這兩個(gè)分振動(dòng)可分別表示為：

在t 時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置可由坐標(biāo)x,y 確定。上述方程是以時(shí)間t 作為參變量的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，從中消去t ,便得軌跡方程：

此式是橢圓方程，它表示兩個(gè)相互垂直且同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的軌跡是橢圓。隨著相位差值的不同，合成橢圓的形狀也不同。

2.2.2 相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)頻率不相同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，若隨意選取兩種分振動(dòng)，可以看到合成軌跡是不穩(wěn)定的，而且沒(méi)有規(guī)律可循。

(1)兩振動(dòng)的頻率有很小的差異，可近似看成同頻率振動(dòng)的合成，不過(guò)相位差在緩慢地變化，在范圍內(nèi)由直線變成橢圓再變成直線等。[!--empirenews.page--]

(2)如果兩振動(dòng)頻率相差較大，但有簡(jiǎn)單整數(shù)比，則合成運(yùn)動(dòng)有穩(wěn)定封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡，稱為李薩如圖形，其形狀與互相垂直的分振動(dòng)的角頻率之比、各自初相位以及初相位差都有關(guān)系。圖2 為兩振動(dòng)的頻率有簡(jiǎn)單的整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)為李薩如圖形。運(yùn)行中可以看到以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方式呈現(xiàn)的動(dòng)畫(huà)。

2.3 三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)分別沿z、y 和z 向的頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為：

此方程組就是合運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。

設(shè)x、y 和z 向振動(dòng)滿足頻率比為整數(shù)比：

其中 n1 , n 2為不可約的整數(shù)， n1 和n 3為不可約的整數(shù)，那么存在：

T=nT1其中1 T 是x 方向的振動(dòng)周期，n 是1 n 和2 n 的最小公倍數(shù)，T就是(1)式描述的空間曲線的參數(shù)周期，也就是上述曲線為閉合曲線。以x、y 和z 為坐標(biāo)的空間點(diǎn)在時(shí)間T 內(nèi)完成閉合曲線的一次掃描，然后重復(fù)掃描，這就是三維李薩如曲線。如果不滿足(2)式，那么(1)式描述的曲線不是閉合曲線[8].

利用MATLAB 進(jìn)行三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，得到圖3.可看出，當(dāng)分振動(dòng)為簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，三維合成的圖像也有類似李薩茹圖像的情況。

3 GUI 界面及仿真流程

利用MATLAB 制作的用戶界面人工操作，用戶通過(guò)主頁(yè)面選擇所需功能，進(jìn)入各功能頁(yè)面后完成各函數(shù)讀取目標(biāo)，完成函數(shù)識(shí)別與圖像的合成。整個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)的流程如圖4.

4 結(jié)束語(yǔ)

該實(shí)驗(yàn)通過(guò)MATLAB 制作，利用MATLAB 作為仿真平臺(tái)，動(dòng)態(tài)顯示多個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、互相垂直的不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)、三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，讓學(xué)生能在計(jì)算機(jī)上形象直觀的認(rèn)識(shí)并掌握三維的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖象，尤其是多個(gè)、稍大頻率的李薩如圖形的合成，得出大頻率李薩如圖形仿真實(shí)驗(yàn)圖象。