DC－DC開(kāi)關(guān)變換器中混沌現(xiàn)象的研究綜述

1 引言

從非線性動(dòng)力學(xué)角度來(lái)說(shuō)，開(kāi)關(guān)變換器是一個(gè)強(qiáng)非線性時(shí)變動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因此存在著豐富的非線性現(xiàn)象，包括各種類(lèi)型的次諧波、分叉與混沌等。由于混沌動(dòng)態(tài)是一種不穩(wěn)定振動(dòng)，混沌現(xiàn)象是一種不正常不可靠的現(xiàn)象，混沌的不確定性將導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)無(wú)法預(yù)測(cè)，從而使變換器的控制性能受到極大的影響，甚至完全不能工作，所以研究開(kāi)關(guān)變換器中混沌產(chǎn)生的方式、分析方法有助于我們?cè)谠O(shè)計(jì)中避開(kāi)這種不理想現(xiàn)象，使變換器工作于穩(wěn)定的周期，這對(duì)于正確設(shè)計(jì)和調(diào)試開(kāi)關(guān)變換器具有重要的指導(dǎo)意義。

本文對(duì)混沌的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀作一綜述，并詳細(xì)介紹其分析方法。

2 混沌的基本概念

1963年，Lorenz從簡(jiǎn)化的大氣模型中推導(dǎo)出著名的Lorenz方程，這組三階的微分方程呈現(xiàn)出一種奇異的現(xiàn)象，即混沌現(xiàn)象，從此揭開(kāi)了混沌學(xué)發(fā)展的新篇章。Lorenz微分方程組如下：

(1)

在這個(gè)系統(tǒng)中，S ，R，B是可變參數(shù)，其中任意參數(shù)的改變都可能導(dǎo)致系統(tǒng)從周期態(tài)向混沌態(tài)的轉(zhuǎn)變[1]。

從Lorenz系統(tǒng)中研究可知，產(chǎn)生混沌的原因是耗散和非耗散相互作用的結(jié)果。耗散作用的整體穩(wěn)定性和非線性作用的局部不穩(wěn)定性作用便形成了混沌[2].而奇異吸引子是混沌的本質(zhì)所在。這時(shí)候人們發(fā)現(xiàn)即使對(duì)于典型的可用確定論方法描述的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，只要該系統(tǒng)稍微復(fù)雜一些，在一定條件下也會(huì)產(chǎn)生非周期的表面上看起來(lái)毫無(wú)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，改變了那種認(rèn)為用確定論方法描述的運(yùn)動(dòng)都屬于規(guī)則運(yùn)動(dòng)的錯(cuò)誤觀念。這種來(lái)自可用確定論方法描述的系統(tǒng)中的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為混沌或內(nèi)在隨機(jī)性。它表面上是隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是有一定結(jié)構(gòu)的形式，而真正的隨機(jī)行為出現(xiàn)在嘈雜系統(tǒng)中?；煦邕\(yùn)動(dòng)通常還具有確定性運(yùn)動(dòng)所沒(méi)有的特征，如局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無(wú)限自相似、對(duì)初值變化的高度敏感性、奇異吸引子中包含多個(gè)不穩(wěn)定周期軌道、連續(xù)的功率譜等[3]。首次證明開(kāi)關(guān)變換器中存在混沌的是Brockett和Wood，他們?cè)?984年發(fā)表的一篇會(huì)議論文中指出受控的Buck 變換器可產(chǎn)生混沌行為[4]。1988年，Hamill和Jefferies首先對(duì)開(kāi)關(guān)變換器中的混沌現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析[5]。而文獻(xiàn)[6]指出由于開(kāi)關(guān)變換器是強(qiáng)非線性離散系統(tǒng)，而非線性微分方程的解不是唯一的，當(dāng)非線性系統(tǒng)的周期解處于臨界狀態(tài)時(shí)，它對(duì)微小的參數(shù)攝動(dòng)或初始條件變化都極為敏感，就可能進(jìn)入連續(xù)分頻狀態(tài)，最后出現(xiàn)混沌。

3 混沌的分析方法

Middlebrook等在1976年提出的狀態(tài)空間平均法[7]是目前使用最廣泛的方法。它將時(shí)變電路變成了非時(shí)變線性電路，從而可求穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)、小信號(hào)傳遞函數(shù)等。它是簡(jiǎn)明性和準(zhǔn)確性的一個(gè)較好的折中。但也存在著穩(wěn)定性分析不準(zhǔn)確、不能分析紋波、無(wú)法分析準(zhǔn)諧振變換器等缺點(diǎn)。另外，它在連續(xù)導(dǎo)電模式中忽略了開(kāi)關(guān)變換器頻率的影響，由此而產(chǎn)生的線性模型中，占空比成為連續(xù)的時(shí)間變量，然而實(shí)際上占空比是定義成離散時(shí)間變量的，在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)討論占空比的變化是毫無(wú)意義的[8].由于所得到的是一個(gè)線性模型，忽略了開(kāi)關(guān)變換器的非線性特征，因此不可能對(duì)開(kāi)關(guān)變換器中的次諧波、混沌等非線性現(xiàn)象作出正確的分析，這些不足使得離散時(shí)間模型[9]應(yīng)運(yùn)而生。它保留了變換器的非線性特性，是較為準(zhǔn)確的一種方法，一般可以得到映射的隱式表達(dá)。它的主要特點(diǎn)是提出采樣序列的概念，而不是把開(kāi)關(guān)描述成連續(xù)的，即每隔一定時(shí)間對(duì)變換器作一次采樣，通常是在波峰波谷處采樣更方便。開(kāi)關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)的變化由一映射函數(shù)描述。這個(gè)函數(shù)可能會(huì)較復(fù)雜，但一旦得到，就可以用計(jì)算機(jī)來(lái)對(duì)它進(jìn)行反復(fù)迭代，從而確定變換器的狀態(tài)是怎樣從一個(gè)周期演變到另一個(gè)周期的。

文獻(xiàn)[10]是基于離散時(shí)間模型的非線性迭代映射法。一般的，其狀態(tài)方程可以描述為

=f(x，t)，其中x是n維狀態(tài)矢量(常為電容電流或電感電壓)，每一個(gè)周期對(duì)X采樣(通常在波峰或波谷處)，即可得到一個(gè)離散系統(tǒng)。于是就得到一個(gè){

}序列，時(shí)間就不出現(xiàn)在方程里了。

3.1 一維映射

對(duì)于一維映射 x——>F(x)， F是一個(gè)作用在一個(gè)實(shí)數(shù)上來(lái)產(chǎn)生另一個(gè)實(shí)數(shù)的函數(shù)。滿(mǎn)足方程x*=F(x*)且在映射下保持不變的點(diǎn)叫F的固定點(diǎn)。我們的興趣在于用這個(gè)函數(shù)將一個(gè)區(qū)域劃到它自己內(nèi)部。例如x—>ax(1-x)， 其中a是一個(gè)參數(shù)，0≤a≤4，這個(gè)函數(shù)就是將區(qū)間[0，1]劃到它內(nèi)部。若a=2，則方程變?yōu)?/p>

m=0，1，2

這是一個(gè)一階差分方程，x的當(dāng)前值僅由前一個(gè)值決定。從任一個(gè)初值

開(kāi)始反復(fù)迭代就可以得到一個(gè)序列{

}.任選一個(gè)不等零的初值，序列最終收斂于x*=0.5，這個(gè)點(diǎn)叫做吸引性固定點(diǎn)。反之對(duì)于固定點(diǎn)x*=0，若初值不等零，而序列會(huì)偏離初值，則這個(gè)點(diǎn)不具有吸引性。 由上可知，固定點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)有著重要影響。 特別的，穩(wěn)定行為與吸引性固定點(diǎn)有關(guān)系。，那樣的點(diǎn)叫穩(wěn)定固定點(diǎn)。而不具有吸引性的固定點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致混沌。

3.2 高維映射

迭代法對(duì)高維映射也適用。在n維情況下，令人關(guān)注的是n維矢量之間的關(guān)系。這時(shí)候，F(xiàn)作用在一個(gè)矢量上以產(chǎn)生另一個(gè)n維矢量。與一維映射同樣，我們的興趣在于把一個(gè)區(qū)域劃到它內(nèi)部，不同的是這個(gè)區(qū)域是一個(gè)n維空間.下面給一個(gè)二維例子,

(2)

其中x=

, a、b均是參數(shù)。因?yàn)楸仨毎押瘮?shù)畫(huà)在二維空間里,所以要看高維映射是較困難的,甚至n =2這種情況也不例外。同樣，對(duì)于高維映射，滿(mǎn)足

的矢量

即為固定點(diǎn)。如當(dāng) a=1.4、b=0.3時(shí),方程(2)有兩個(gè)固定點(diǎn),但都不具有吸引性,因而會(huì)導(dǎo)致混沌。 [!--empirenews.page--]

3.3 數(shù)值仿真法

數(shù)字仿真是指利用各種各樣的算法以求得變換器某些特性數(shù)字解的方法。它分為直接數(shù)字仿真法和間接數(shù)字仿真法兩種。數(shù)字仿真的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確度和精確度都高，可以得到響應(yīng)的完整波形;適用范圍廣，可進(jìn)行小信號(hào)分析和大信號(hào)分析。

由于混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性，很多混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)不能用已知函數(shù)表示其通解，使得解析法很多時(shí)候無(wú)能為力，而且用解析法建模時(shí)，常常需要作出某些近似，以簡(jiǎn)化分析。眾所周知，開(kāi)關(guān)調(diào)壓系統(tǒng)存在著功率級(jí)電路的開(kāi)關(guān)非線性和控制電路中脈沖調(diào)制器的飽和非線性，因此不能用精確方法設(shè)計(jì)電路，也難以用解析法對(duì)混沌類(lèi)現(xiàn)象進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)，同時(shí)這類(lèi)系統(tǒng)受到的擾動(dòng)常常是大幅度的，這時(shí)系統(tǒng)在大信號(hào)擾動(dòng)下工作，對(duì)于大信號(hào)分析，一般很難用解析法求解，更需要借助于數(shù)字仿真，從而這就使通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)描述混沌行為的演化過(guò)程對(duì)開(kāi)關(guān)變換器的混沌進(jìn)行數(shù)值模擬顯得十分重要[11]。

下面以PWM型BUCK變換器為例，用PSPICE對(duì)其進(jìn)行仿真。如圖，假定電路中的器件均是理想的，電路中參考電壓Vref輸入至反相器的反相端，R上的電壓V(t)輸入至誤差放大器OA1的正向輸入端，OA2的正向端為一個(gè)時(shí)鐘信號(hào)——鋸齒波電壓，放大器產(chǎn)生一個(gè)控制信號(hào)，作用于PWM，與時(shí)鐘信號(hào)比較。每周期初始，PWM輸出脈沖，當(dāng)反饋電路的輸出端(即控制電壓)高于鋸齒波電壓時(shí)，輸出為高電平，壓控開(kāi)關(guān)導(dǎo)通;當(dāng)鋸齒波電壓上升到控制電壓時(shí)，輸出脈沖截止。直到下一周期開(kāi)始，再次輸出脈沖。因此控制電壓的波形決定了輸出脈沖的寬度，進(jìn)而決定了開(kāi)關(guān)管的導(dǎo)通時(shí)間。這樣產(chǎn)生一系列的脈沖信號(hào)來(lái)控制主電路的壓控開(kāi)關(guān)的。電路中的參數(shù)值如下： 輸入電壓Vs=10v ，電容C=100uf，電感L=100uh，負(fù)載電阻R=22， 參考電壓Vref=5v，鋸齒波電壓Vpulse(0v，10v，0s，199.99u，0.005u，0.005u，200u)，放大器的放大倍數(shù)e=15，穩(wěn)態(tài)時(shí)，變換器的輸出含周期性的紋波，然而某些情況下，電路會(huì)發(fā)生多脈沖現(xiàn)象，開(kāi)關(guān)通斷多次，從而增加了開(kāi)關(guān)損耗，變換器的效率降低。我們用PSPICE仿真后可得，如下圖：

4 穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件

一般的，穩(wěn)定的DC—DC變換器表現(xiàn)為周期性的穩(wěn)態(tài)。一旦初始暫態(tài)值衰減，狀態(tài)變量就以周期重復(fù)?？刂葡鄳?yīng)的離散系統(tǒng)的映射有一個(gè)吸引性固定點(diǎn)：在周期性的穩(wěn)態(tài)，每一個(gè)周期都與下一個(gè)相同，所以在每個(gè)周期采樣得到的情況都一樣。若變換器是局部漸近穩(wěn)定，相應(yīng)的一個(gè)小的擾動(dòng)它會(huì)使周期穩(wěn)定下來(lái)，這個(gè)離散系統(tǒng)相應(yīng)的序列會(huì)收斂于這個(gè)固定點(diǎn)，因此，這個(gè)點(diǎn)是吸引子。相反，若變換器初態(tài)是不穩(wěn)定的，這個(gè)序列會(huì)偏離固定點(diǎn)。因此，可以得出結(jié)論：映射的固定點(diǎn)的穩(wěn)定性決定連續(xù)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。一個(gè)吸引性的固定點(diǎn)對(duì)應(yīng)著連續(xù)系統(tǒng)的周期性的穩(wěn)態(tài)。

一階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是映射在固定點(diǎn)處的梯度在-1和1之間。 即

固定點(diǎn)的穩(wěn)定性也可以推廣到高階。不同的是，一階的穩(wěn)定性由梯度決定，而高階由特征增益率決定，固定點(diǎn)的特征增益率是映射在固定點(diǎn)處的雅可比陣的n個(gè)特征值。其中雅可比陣是對(duì)各個(gè)元素求X偏導(dǎo)后所得矩陣。高階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是若特征增益率都落在復(fù)平面上的單位圓之內(nèi)，則固定點(diǎn)穩(wěn)定。

5 混沌的研究狀況

因?yàn)榉植妗⒒煦绲炔环€(wěn)定現(xiàn)象與系統(tǒng)的非線性密切相關(guān)，所以在分析研究時(shí)必須跳出線性電路的范疇[12].目前最常用的方法是一維映射法。一般的，開(kāi)關(guān)變換器的離散表達(dá)式

可寫(xiě)作

，其中

為輸入,

是第N個(gè)周期的占空比, F、T分別是系數(shù)矩陣的指數(shù)函數(shù)。對(duì)于閉環(huán)工作的開(kāi)關(guān)變換器，一般有

，

是非線性函數(shù)，因而

，這就是一維映射法的原理[13].現(xiàn)在已有比較成熟的理論。文獻(xiàn)[10，5，14]使用該法分析了電流反饋的變換器的分叉混沌現(xiàn)象。最近，Tse的一系列工作如[15]都是推導(dǎo)出該一維映射的解析表達(dá)式，通過(guò)研究這一映射來(lái)得到變換器的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，揭示了變換器從倍周期、分叉走向混沌的具體過(guò)程。

另外，從國(guó)內(nèi)外的研究工作來(lái)看，各種頻繁出現(xiàn)在其他領(lǐng)域的線性或非線性現(xiàn)象，都可以在開(kāi)關(guān)變換器中找到類(lèi)似情況。開(kāi)關(guān)變換器中的混沌運(yùn)動(dòng)同樣也與周期軌道有密切關(guān)系，在分叉參量變化過(guò)程中，閉環(huán)系統(tǒng)的變換器往往先以各種方式經(jīng)歷一系列周期、倍周器、準(zhǔn)周期事件，最后才進(jìn)入混沌狀態(tài)，這通常稱(chēng)為通向混沌的具體道路。文獻(xiàn)[6]從計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了開(kāi)關(guān)變換器不僅在PWM閉環(huán)時(shí)會(huì)產(chǎn)生混沌，即使在開(kāi)環(huán)情況下，由于二極管和晶體管等開(kāi)關(guān)功率元件的非線性極間電容影響，變換器仍可能產(chǎn)生混沌。文獻(xiàn)[16]研究了電流控制型變換器中的輸入電壓，電容電感以及開(kāi)關(guān)頻率等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分叉、次諧波、混沌等不穩(wěn)定行為的影響，并畫(huà)出了穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域。目前，不穩(wěn)定的分析方法還不完善。文獻(xiàn)[17]用微分動(dòng)力系統(tǒng)方法研究了Boost變換器的分叉現(xiàn)象，認(rèn)為該電路存在靜態(tài)分叉和動(dòng)態(tài)分叉并得出其存在的條件。雖然文獻(xiàn)[17]的方法處理嚴(yán)格，結(jié)果較為準(zhǔn)確，但是較繁瑣。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)變換器的混沌概念、特點(diǎn)、分析方法、研究現(xiàn)狀作了一個(gè)較全面的綜述。由上可知，隨著混沌理論的發(fā)展，變換器中的混沌現(xiàn)象的研究也有了一定的成果。，混沌的分析方法還主要是一維映射法，但是一維映射法是否適合于所有的變換器，是否還有別的方法，這都有待進(jìn)一步研究。