基于同倫算法的逆變電源特定消諧法的研究

0 引 言
    隨著逆變器的大量應(yīng)用，逆變器產(chǎn)生的諧波會給電網(wǎng)、電器設(shè)備、通信網(wǎng)絡(luò)等帶來嚴(yán)重危害，這使得消諧逆變器的研究越來越重要。同時(shí)為滿足高壓大功率應(yīng)用領(lǐng)域的需要，采用主電路為級聯(lián)多電平逆變器，實(shí)現(xiàn)波形的多重移相疊加。特定諧波消除(SHEPWM)方法。能使逆變器開關(guān)頻率降低，消除特定低次諧波，減少電流脈動，輸出波質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn)，因此對SHE技術(shù)的研究具有明顯的理論意義和廣闊的工程開發(fā)前景。
    由于消諧PWM逆變器的數(shù)學(xué)模型為非線性超越方程組，該方程中有三角函數(shù)，并且是超越方程，存在多組解。通常采用牛頓法求解該模型，但由于牛頓法的局部收斂性質(zhì)，需要找到與準(zhǔn)確值較為接近的初值，否則迭代不收斂，這比較困難，且不利于在線計(jì)算，而同倫算法求解該模型可有效地克服上述缺點(diǎn)

l 級聯(lián)多電平逆變器結(jié)構(gòu)與控制設(shè)計(jì)
1．1 級聯(lián)多電平逆變器結(jié)構(gòu)
    圖1顯示主電路為級聯(lián)多電平逆變器的單相拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，每個(gè)逆變器模塊結(jié)構(gòu)相同，通過一個(gè)單相全橋逆變器表示。級聯(lián)多電平逆變器的結(jié)構(gòu)允許每個(gè)模塊的分離控制，模塊的數(shù)量與要求的電壓源的數(shù)量是相等的。電平數(shù)NL和模塊數(shù)M的關(guān)系公式為：

模塊數(shù)即單相H橋逆變器的個(gè)數(shù)，它們串聯(lián)連接產(chǎn)生一個(gè)多電平的輸出電壓；總輸出電壓與每個(gè)模塊的輸出電壓之和相等。即為：

式中：VMm為第m個(gè)模塊的輸出電壓。
    每個(gè)模塊有它自己的直流電壓(VDC)和4個(gè)開關(guān)裝置，如第m個(gè)模塊的開關(guān)裝置是S1m，S2m，S3m和S4m，(表1中開為“1”，關(guān)為“0”)。如圖2所示每個(gè)模塊能產(chǎn)生一個(gè)三電平輸出：+VDC，0，-VDC。通過這4個(gè)開關(guān)裝置能有順序地將直流電壓到交流邊。如表1所示輸出電壓與一個(gè)五電平模塊結(jié)構(gòu)多電平逆變器的功率裝置的開關(guān)狀態(tài)相對應(yīng)。因?yàn)?個(gè)輸出電壓包括5個(gè)電平+2VDC，+VDC，0，-VDC，-2VDC，需要的模塊數(shù)是2。

1．2 控制設(shè)計(jì)
    表2所示是一個(gè)五電平的級聯(lián)多電平逆變器控制設(shè)計(jì)。假設(shè)級聯(lián)多電平逆變器的每個(gè)模塊的直流電壓VDC=20 V，如表2中的描述知級聯(lián)多電平逆變器的操作大部分取決于模塊1，只有當(dāng)q>0.5時(shí)，模塊2才參與運(yùn)行。盡管在五電平級聯(lián)多電平逆變器中需要8個(gè)功率裝置，這8個(gè)裝置并不全被利用，此種情況減少了功率裝置的電壓應(yīng)力。對于如圖2所示的單相逆變器，基波幅值q最大值為1.0，再大將導(dǎo)致一些迭代法(如牛頓迭代法)無法收斂。[!--empirenews.page--]

在表2中：VDC為直流側(cè)線電壓；V01：逆變器的輸出基波電壓；q：基波幅值；V1M1(V2M2)：模塊1(模塊2)輸出的基波電壓；qM(qM)：模塊1(模塊2)的基波幅值。

2 消諧PWM模型的建立
    消諧PWM控制的基本方法是：通過PWM控制的傅里葉級數(shù)分析，得出傅里葉級數(shù)展開式，以脈沖相位角為未知數(shù)，令某些特定的諧波為零，便得到一個(gè)非線性方程組，該方程組即為消諧PWM模型，按模型求解的結(jié)果進(jìn)行控制，則輸出不含這些特定的低次諧波。消諧模型的建立與PWM控制方式是相關(guān)的，以電壓型逆變器為例，根據(jù)不同的PWM特點(diǎn)，建立的模型可歸納為兩種：即單極性脈沖控制模型和雙極性脈沖控制模型。這里只討論單極性脈沖控制模型，如圖2所示，在這種控制方式下，為了降低開關(guān)損耗，可使同一橋臂中的一個(gè)開關(guān)管(如S2或S4)在半個(gè)周期內(nèi)一直處于導(dǎo)通狀態(tài)。PWM波形由橋臂的另一個(gè)開關(guān)管的通斷實(shí)現(xiàn)。圖3為單極性脈沖控制輸出電壓波形，單極性波形的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：

單極性脈沖波形與雙極性脈沖地消諧模型相類似，為了方便說明，以下的論述均以單極性脈沖為例，但其原理完全適用于雙極性脈沖。

 取直流側(cè)線電壓為VDc=1，取開關(guān)角為8，如果選擇性的消除N一1個(gè)低階奇次諧波(如3，5，7，9…)在此選擇消除7個(gè)低次的諧波3，5，7，9，11，13，15，得到下面非線性方程組(4)，給出使基波幅值q為某一給定值，其余k次諧波的幅值為0，即達(dá)到消諧的目的，只需解下列方程組：
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解非線性方程組(4)，便得PWM波的各開關(guān)角，然后根據(jù)對稱特性可以得到整個(gè)周期的各個(gè)開關(guān)角。求解該方程組，可得到一組[0，π／2]內(nèi)的開關(guān)角，當(dāng)然，這些開關(guān)角應(yīng)滿足以下條件：

    0<α1<α2<α3<α4<α5<α6<α7<α8<π／2
    式(4)為非線性方程組，一般采用牛頓迭代法求解，但是該求解過程是否收斂與所取的初值有很大的關(guān)系。使用時(shí)由于求解非線性方程組存在較大困難以及存儲脈沖相位角需要很大的存貯空間，因而在相當(dāng)程度上制約了它的應(yīng)用。目前該方法的應(yīng)用僅限于離線控制。

3 同倫算法的建立
3．1 同倫算法
    同倫方程的數(shù)值解法有2種：同倫延拓法；參數(shù)微分法。采用參數(shù)微分法將非線性方程組(4)簡寫為：
    F(a)=0 (5)
式中，F(xiàn)：D∈Rn→Rn。令a*是方程組(5)的解。
    非線性超越方程組(5)，一般采用牛頓迭代法求解，但該方法對初值的選取要求較為嚴(yán)格，即要求初始近似解a0與解a*充分靠近，才能使迭代數(shù){ak}收斂于a*。實(shí)際計(jì)算中要找到滿足要求的迭代初始值往往很困難，如果給出的初始值導(dǎo)致迭代不收斂，就需要重新給初始值再計(jì)算，這樣就大大降低了求解速度，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。為了解決這個(gè)問題，這里嘗試用同倫法求解。同倫法是一種用于非線性方程組數(shù)值求解的新方法，具有全局收斂和收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，其基本的思想是：對于該方程組，引人參數(shù)t，構(gòu)造一族映射H，使當(dāng)t為某一特定值(例如t=1)時(shí)，H就是映象F，而當(dāng)t=0時(shí)，得出方程組F0(a)=0的解a0是已知的。也就是說，構(gòu)造一簇映射H：D×[O，1]∈Rn+1→Rn，代替單個(gè)映射F，使H滿足條件：

式中：F0(a)=0的解a0為已知，而方程H(a，1)=0就是原來的非線性方程組(5)，現(xiàn)在把問題變?yōu)榍蠼馔瑐惙匠蹋?br />

構(gòu)造滿足條件(6)的同倫H可以是各種各樣的。這里，構(gòu)造H(a，t)=F(a)+(t-1)F(a0)?？梢宰C明，該同倫方程存在惟一解a=a(t)，且a(t)是微分方程式(7)的解，式(7)為：

因此，通過求解微分方程初值問題式(7)的數(shù)值解，可得到方程(5)的解。用具有二階精度的中點(diǎn)求積法，得到：

式中：k=1，2，…，A-1，A為正整數(shù)。
    只要F'(a)-1存在，且A足夠大，可證明由式(8)求得的nA可作為式(5)的解a*的一個(gè)好的近似，再用牛頓迭代法可求得精確解。
3．2 算例
    根據(jù)文中采用的模型及算法，取開關(guān)角N=8，隨著基波幅值q的變化得到一組開關(guān)角的解軌跡(取UDC=1)，如圖4為顯示開關(guān)角aN隨基波幅值q的變化，取q=0.3，q=0.5和q=0.7時(shí)得到的三組開關(guān)角的解如表3所示。[!--empirenews.page--]

在實(shí)際的運(yùn)算過程中，將牛頓法和該方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)這種方法的收斂域擴(kuò)大，如N=8，q=O.9，取初值a0=[5，20，30，40，50，60，70，80]時(shí)，用牛頓法迭代和簡化牛頓法都不收斂，用同倫法(固定迭代次數(shù)A=4)則只需7次。如N=20，q=1.0，a0=[1，8，12，15，20，25，28，30，35，40，45，50，52，60，65，68，70，75，80，90]時(shí)，用牛頓法迭代不收斂，用同倫法只需3次，加上預(yù)迭代10多次；若用同樣一組靠近真值的初始值開始迭代，盡管兩種方法都收斂，但同倫法的迭代次數(shù)比牛頓法少。取a0=[9，10，16，18，23，26，30，35，38，44，46，52，54，61，62，69，70，78，78.2，90]時(shí)，用兩種方法都收斂，但用同倫法要比牛頓法迭代次數(shù)少很多，這樣的例子很多，所以同倫法有很多優(yōu)越性。

4 研究結(jié)果
4．1 仿真研究
    為了驗(yàn)證同倫算法所得結(jié)果諧波消除的效果，采用Matlab仿真，以五電平級聯(lián)多電平逆變器為例，對SHEPWM控制方法進(jìn)行了仿真研究。仿真參數(shù)：調(diào)制頻率50 Hz，直流電壓VDc=20 V，基波幅值q=O.7，α見表3。圖5給出了五電平級聯(lián)多電平逆變器輸出電壓(V0)的仿真PWM波形和諧波頻譜分析如圖1所示，開關(guān)個(gè)數(shù)N=8通過Matlab仿真和DSP系統(tǒng)中的TMS320F2812實(shí)驗(yàn)臺給出了結(jié)果。由圖5可見，3，5，7，9…等低階奇次諧波被消除了，由此說明，由前面的同倫算法計(jì)算得到的結(jié)果是正確的，它與預(yù)期的諧波次數(shù)一致。

4．2 實(shí)驗(yàn)研究
    為了進(jìn)一步驗(yàn)證同倫算法計(jì)算的SHEPWM結(jié)果的實(shí)際消諧效果，進(jìn)行具體的實(shí)驗(yàn)研究。以TI公司的TMS320F2812控制平臺為控制器，把離線運(yùn)算結(jié)果(見表3)中的相應(yīng)部分存入到DSP中，然后通過查表法取得開關(guān)切換時(shí)刻。圖6所示為實(shí)驗(yàn)波形。

    對比圖5與圖6可知，五電平級聯(lián)多電平逆變器的實(shí)驗(yàn)波形與仿真結(jié)果非常一致，故實(shí)驗(yàn)所得的波形是正確。驗(yàn)證的同時(shí)說明，由同倫算法計(jì)算出的SHEPWM超越方程組的結(jié)果是正確的。

5 結(jié) 語
    這里通過對逆變電源消諧模型的研究，提出了用同倫算法求解該模型的方法。這種算法的優(yōu)點(diǎn)在于它對初值沒有嚴(yán)格的要求，并且具有很寬的收斂范圍和收斂速度，可以保證求解過程的正確性和快速性。并通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法。如果能提高CPU速度或采用并行運(yùn)算進(jìn)一步提高運(yùn)行速度，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)消諧PWM控制是完全可能的。因此可以預(yù)見它將成為逆變器PWM控制中很有發(fā)展前景的控制算法。