單片機(jī)實(shí)現(xiàn)音頻頻譜顯示的快速算法研究

1 引言
    在家庭影院、卡拉OK等音響系統(tǒng)中，實(shí)時(shí)顯示音樂信號(hào)的頻譜將為音響系統(tǒng)增添不少色彩。目前實(shí)際生產(chǎn)的音響系統(tǒng)產(chǎn)品，大多采用以下兩種方法實(shí)現(xiàn)音頻頻譜顯示：一是利用硬件濾波器和A／D轉(zhuǎn)換器；二是利用DSP處理頻譜顯示。前者實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但硬件成本高，后者軟件和硬件實(shí)現(xiàn)都較復(fù)雜。這里針對(duì)單片機(jī)RAM資源少、運(yùn)算速度慢的特點(diǎn)，提出一種切實(shí)可行的快速傅里葉變換算法實(shí)現(xiàn)頻譜顯示。

2 系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)及原理
    該系統(tǒng)設(shè)計(jì)由單片機(jī)SST89V58RD2、音頻數(shù)據(jù)采樣電路、A/D轉(zhuǎn)換電路、頻譜顯示電路等部分組成。圖1為系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)原理框圖。

    該系統(tǒng)從功能上可劃分成3部分：(1)音頻數(shù)據(jù)采集電路實(shí)現(xiàn)模擬音頻信號(hào)的采樣保持和量化處理，包括音頻采樣電路和加轉(zhuǎn)換電路；(2)頻譜顯示電路實(shí)現(xiàn)模擬音頻信號(hào)頻譜的分段顯示，它將音頻信號(hào)頻譜劃分成14段，每段按照14級(jí)量化，由VFD顯示器件顯示；(3)主控制器采用SST89V58RD2單片機(jī)。在完成系統(tǒng)其他控制任務(wù)的前提下，充分利用單片機(jī)剩余計(jì)算資源，采用優(yōu)化FFT算法計(jì)算音頻信號(hào)頻譜，并將計(jì)算結(jié)果輸出到頻譜顯示電路。

3 音頻信號(hào)的采集和預(yù)處理
3．1 采樣頻率
    根據(jù)香農(nóng)采樣定理，一般采樣頻率至少應(yīng)為所采樣音頻信號(hào)最高頻率的2倍。由于人耳能夠感受的頻率為20 Hz~20 kHz，所以理論上采樣頻率最高取40 kHz。目前工業(yè)上廣泛采用的采樣頻率大致有3種：44 kHz、16 bit的聲音稱作CD音質(zhì)：22 kHz、16 bit的聲音效果近似于立體聲廣播(FMStereo)，稱作廣播音質(zhì)；11 kHz、8 bit的聲音稱作電話音質(zhì)。本文為提高頻譜計(jì)算的精度，擬采用40 kHz的采樣頻率和8Bit的數(shù)據(jù)位長(zhǎng)。
3．2 樣本大小
    采樣頻率確定后，還需確定樣本值，即完成一次FFT運(yùn)算所需的采樣點(diǎn)數(shù)。根據(jù)數(shù)字信號(hào)處理的基本原理，假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則FFT運(yùn)算后，第n點(diǎn)所表示的頻率為：Fn=[(n-1)×Fs]／N(1≤n≤N)。Fn若要精確到Hz，則需采樣長(zhǎng)度為(1/f)s的信號(hào)。提高頻率分辨率，需增加采樣點(diǎn)數(shù)，但這在一些實(shí)際應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，則采用有頻率細(xì)分法，即采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到所需的點(diǎn)數(shù)，再作FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨率。由于該系統(tǒng)是將音頻信號(hào)頻譜劃分成14段顯示，因此采用16點(diǎn)FFT運(yùn)算，去掉第1點(diǎn)和第16點(diǎn)的結(jié)果即可。
3．3 音頻數(shù)據(jù)采集電路
    A/D轉(zhuǎn)換器選用TLC549，它具有8位轉(zhuǎn)換結(jié)果，差分基準(zhǔn)電壓輸入，3線數(shù)據(jù)串行輸出接口，轉(zhuǎn)換時(shí)間最大達(dá)17μs，每秒訪問和轉(zhuǎn)換次數(shù)達(dá)到40 000次，全部非校準(zhǔn)誤差為±0．5LSB，低功耗，最大為15 mW。因此，該器件完全滿足系統(tǒng)40kHz采樣頻率的要求。
    圖2為系統(tǒng)音頻數(shù)據(jù)采集電路。音頻信號(hào)來源于CD或DVD碟機(jī)輸出的音樂信號(hào)，因而基本無噪音，考慮到音頻信號(hào)是交流信號(hào)，電壓范圍在±0．1 V之間，而TLC549的輸入必須是直流的，電壓范圍為0～5 V，所以還需整流和放大的預(yù)處理過程。A／D轉(zhuǎn)換后得到8位數(shù)字值音頻幅值的8位數(shù)字量。

4 音頻頻譜算法
    音頻頻譜值的計(jì)算采用快速傅里葉算法FFT(Fast Fourier Transform)，為了提高顯示器的刷新頻率，系統(tǒng)每隔10 ms讀取16次A／D轉(zhuǎn)換值，得到16點(diǎn)實(shí)數(shù)序列，緊接著完成16點(diǎn)FFT運(yùn)算得到16點(diǎn)復(fù)數(shù)序列。[!--empirenews.page--]
4．1 倒位序及其優(yōu)化算法
    基2-FTT算法將原始數(shù)據(jù)倒位序存儲(chǔ)，但運(yùn)算后的結(jié)果則按正常順序輸出。原始采樣數(shù)據(jù)放在數(shù)組float datalm[16]中，datalm[0]存放第1次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值，datalm[1]存放第2次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值，以此類推，可見第n(n=(b3b2b1b0)b)次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值存放在dataIm[n]中。倒序操作后采樣數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在float dataRe[16]中，原來第n次讀取的A／D轉(zhuǎn)換值存放在datalm[n](n=(b0b1b2b3)b)中。根據(jù)樣本大小在系統(tǒng)代碼段中建立倒序表數(shù)組，采用查表方式實(shí)現(xiàn)快速倒序操作，與移位操作等方法相比，可明顯提高運(yùn)算速度。
4．2 蝶形運(yùn)算及其優(yōu)化算法
    根據(jù)基2-FFT算法，N點(diǎn)FFT運(yùn)算可以分成log2N級(jí)，每一級(jí)都有N/2個(gè)蝶形運(yùn)算，如圖3所示。 

    蝶形運(yùn)算公式的推導(dǎo)過程如下：

    將式(1)化簡(jiǎn)成實(shí)部和虛部的形式，得到：

    可見每個(gè)蝶形運(yùn)算的輸出都是由其輸入值與某一正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的乘積累加得到的。由式(3)~式(6)編制正弦和余弦表，每次做蝶形運(yùn)算時(shí)可查表加快運(yùn)算速度。
    基2-FFT算法的基本思想是用3層循環(huán)完成全部N點(diǎn)FFT運(yùn)算：(1)最里層循環(huán)處理單獨(dú)的一個(gè)蝶形運(yùn)算，采用查表方法實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算；(2)中間層循環(huán)完成每一級(jí)的N／2個(gè)蝶形運(yùn)算；(3)最外層循環(huán)完成log2N級(jí)蝶形運(yùn)算。
    由此可看出：在每一級(jí)中，最里層循環(huán)完成N／2L個(gè)蝶形運(yùn)算；中間層循環(huán)控制最里層循環(huán)進(jìn)行2L-1次運(yùn)算。因此，中間層循環(huán)完成時(shí)，共進(jìn)行2L-1xN／2L=N／2個(gè)蝶形運(yùn)算。實(shí)際上最里層和中間層循環(huán)完成了第L級(jí)計(jì)算，最外層則最終完成log2N級(jí)蝶形運(yùn)算。
    需要加以說明的數(shù)據(jù)是：(1)在第L級(jí)中，每個(gè)蝶形的兩個(gè)輸入端相距b=2L-1一個(gè)點(diǎn)；(2)同一乘數(shù)對(duì)應(yīng)著相鄰間隔為2L個(gè)點(diǎn)的N／2L個(gè)蝶形；(3)第L級(jí)的2L-1個(gè)蝶形因子WPN中的P，可表示為P=jx25-L，其中j=0，1，2，…(2L-1-1)。
    完成16點(diǎn)FFT運(yùn)算的RAM需求量是128字節(jié)，而單片機(jī)SST89V58RD2的RAM共1 K字節(jié)：顯示器每10 ms刷新一次，而單片機(jī)SST89V58RD2的時(shí)鐘頻率是40 MHz，完成一次16點(diǎn)FFT運(yùn)算實(shí)際所需時(shí)間不到6 ms，因此該系統(tǒng)完全滿足FFT運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度要求。

5 頻譜值在VFD上的顯示
    系統(tǒng)要求將音頻信號(hào)頻譜劃分成14段，每段按14級(jí)量化，再使用VFD顯示器顯示，因此對(duì)于FFT運(yùn)算結(jié)果還要作一定轉(zhuǎn)換才能輸出到顯示器。第n點(diǎn)的FFT運(yùn)算結(jié)果是復(fù)數(shù)，實(shí)部是dataRe[n]，虛部是datalm[i]。該點(diǎn)的模值除以2／N就是對(duì)應(yīng)該頻率下信號(hào)的幅度(對(duì)于第1個(gè)點(diǎn)則是除以N)；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下信號(hào)的相位。最后的結(jié)果保存在dataRe[i]中，因?yàn)橐纛l信號(hào)頻譜被劃分成14段，所以dataRe[0]和dataRe[15]的值應(yīng)該舍去。同時(shí)，dataRe[i]可能不是整數(shù)，而VFD顯示器要求每個(gè)頻段按照14級(jí)量化，因此還需將dataRe[i]的值量化成0～14整數(shù)，最后輸出到VFD電路上顯示。

6 結(jié)束語(yǔ)
    討論了單片機(jī)實(shí)現(xiàn)音響系統(tǒng)頻譜顯示的快速傅里葉變換算法，針對(duì)SST89V58RD2單片機(jī)進(jìn)行算法優(yōu)化，并詳細(xì)論述系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法，結(jié)果證明該方法具有可行性。