雷達(dá)成像近似二維模型及其超分辨算法

時間：2010-12-24 07:08:16

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[導(dǎo)讀]現(xiàn)有的雷達(dá)成像超分辨算法是基于目標(biāo)回波信號的二維正弦信號模型，所以模型誤差，特別是距離走動誤差，將使算法性能嚴(yán)重下降或失效.為此，本文采用距離走動誤差下的一階近似雷達(dá)成像二維信號模型，提出了一種基于非線

現(xiàn)有的雷達(dá)成像超分辨算法是基于目標(biāo)回波信號的二維正弦信號模型，所以模型誤差，特別是距離走動誤差，將使算法性能嚴(yán)重下降或失效.為此，本文采用距離走動誤差下的一階近似雷達(dá)成像二維信號模型，提出了一種基于非線性最小二乘準(zhǔn)則的參數(shù)化超分辨算法.在算法中，距離走動誤差補(bǔ)償與目標(biāo)參量估計聯(lián)合進(jìn)行.文中同時給出了算法估計性能的Cramer-Rao界及仿真結(jié)果.
　　關(guān)鍵詞:距離走動誤差；補(bǔ)償；超分辨；雷達(dá)成像

A Super Resolution Radar Imaging Algorithm Based on the 2-D Approximate Model

SUN Chang-yin,BAO Zheng
(Kay Laboratory for Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071,China)

　　Abstract:The recently proposed super resolution radar imaging algorithms,which are based on the 2-D sinusoid signal model,often suffer from the motion through resolution cell error(MTRC) and failed completely.In this paper,an algorithm is proposed based on the 2-D approximate radar imaging model.By minimizing a nonlinear least-squares cost function,the algorithm combines the parameter estimation with the compensation of MTRC errors.The Cramer-Rao bounds are derived and simulation results are also presented to demonstrate the performance of the algorithm.
　　Key words:motion through resolution cell error;compensation;super resolution;radar imaging

一、引　　言
　　雷達(dá)成像基于目標(biāo)的散射點模型.雷達(dá)通常發(fā)射長時寬的線頻調(diào)(chirp)信號，然后用參考信號對回波作解線頻調(diào)(dechirp)處理，再將解線頻調(diào)的回波作橫向排列，則在一定條件下它可近似為二維正弦信號模型，通過二維傅里葉變換，可以重構(gòu)目標(biāo)的二維像；采用超分辨算法［1～3］，還可得到更精細(xì)的二維目標(biāo)像.
　　應(yīng)當(dāng)指出，上述二維模型是假設(shè)散射點在成像期間不發(fā)生超越分辨單元走動，近似認(rèn)為散射點的移動只影響回波的相移，而子回波包絡(luò)則固定不變.這種近似，只適用于小觀察角時參考點附近有限小尺寸目標(biāo)成像.
　　如果目標(biāo)較大，特別是在離參考點較遠(yuǎn)處，越分辨單元移動(MTRC)便會發(fā)生，從而使得用簡單二維模型獲得的圖像模糊.傳統(tǒng)解決的方法是按目標(biāo)轉(zhuǎn)動用極坐標(biāo)-直角坐標(biāo)插值.插值不可避免地會有誤差，而超分辨算法通常基于參數(shù)化估計，對誤差較為敏感，這會影響成像質(zhì)量.
　　本文介紹一種近似度較高的二維模型，并利用該模型通過超分辨算法成像，可獲得較好的結(jié)果.

二、維回波模型
　　設(shè)目標(biāo)有K個散射點，雷達(dá)以平面波自下向上照射目標(biāo)(圖1).目標(biāo)以參考點為原點相對雷達(dá)射線轉(zhuǎn)動，經(jīng)過N次脈沖發(fā)射，散射點Pk點移至P′k點，移動中第n次脈沖時該散射點的垂直坐標(biāo)為：

ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1　(1)

式中δθ為相鄰脈沖的轉(zhuǎn)角，總觀測角Δθ=(N-1)δθ.考慮到雷達(dá)發(fā)射的是長時寬的線頻調(diào)信號，以原點為參考作解線頻調(diào)處理，并對信號以的頻率采樣，得目標(biāo)的回波信號(離散形式)為：

　(2)

式中Ak為第k個散射點子回波信號的復(fù)振幅;fc、γ分別是雷達(dá)載頻和調(diào)頻率，c為光速；e(m,n)為加性噪聲.

圖1　二維雷達(dá)目標(biāo)幾何圖

　　由于觀測角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，則式(2)可近似寫成:

　(3)

式中
　　式(3)指數(shù)項中的第三項是時頻耦合項，它是線頻調(diào)信號(其模糊函數(shù)為斜橢圓)所特有的，如果采用窄脈沖發(fā)射，則該項不存在.將該項忽略，則式(3)成為常用的回波二維正弦信號模型.
　　實際上，式(3)的第三項系“距離移動”項，它與散射點的橫坐標(biāo)xk成正比，目標(biāo)區(qū)域大時必須考慮，而且這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，散射點的多普勒移動也必須考慮.為此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，則式(2)較精確的近似式可寫成：

　(4)[!--empirenews.page--]

式(4)與式(3)相比較，指數(shù)中增加了兩項，其中前一項是“多普勒移動”項，縱坐標(biāo)yk越大，影響也越大，這可以補(bǔ)充式(3)之不足；而后項是時頻耦合的多普勒移動項，由于Mγ/Fs<<fc，它的影響可以忽略.因此，可將考慮MTRC情況下，回波二維模型的一階近似式寫成：

　(5)

　　需要指出，每個散射點的參數(shù)之間存在下述關(guān)系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷達(dá)參數(shù)(fc,γ,Fs)和運(yùn)動參數(shù)(δθ)均已知，所以待估計的五個參數(shù)中只有三個是獨(dú)立的.本文假設(shè)五個參數(shù)是獨(dú)立的，而在成像計算中已考慮參數(shù)之間的關(guān)系.
　　設(shè){ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，現(xiàn)在我們要從y(m,n)中估計參量{ξk}Kk=1.

三、二維推廣的RELAX算法
　　對于(5)式所示的信號模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

則　(6)
式中

　　設(shè)ξk估計值為，則ξk的估計問題可通過優(yōu)化下述代價函數(shù)解決：

　(7)

式中‖.‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)，⊙表示矩陣的Hadamard積.
　　上式中C1的最優(yōu)化是一個多維空間的尋優(yōu)問題，十分復(fù)雜.本文將RELAX［3］算法推廣以求解.為此，首先做以下準(zhǔn)備工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已經(jīng)求出，則式(7)C1的極小化等效于下式的極小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個元素的模|Dk(m,n)|=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數(shù)相同，故C2的極小化等效于下式的極小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　對上式關(guān)于αk求極小值就獲得αk的估計值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)[!--empirenews.page--]

　　從式(12)可以看出：是Zk歸一化的二維離散傅里葉變換在{ωk,k}處的值，所以只要得到估計值{k,k,k,k}，即可通過2D-FFT獲得k.
　　將估計值k代入式(11)后，估計值{k,k,k,k}可由下式尋優(yōu)得到：

　(13)

　　由上式可見，對于固定的{μk,vk}取值,估計值{k,k}為歸一化的周期圖|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)主峰處的二維頻率值.這樣，式(13)的優(yōu)化問題歸結(jié)為：在(μk,vk)平面上可能的取值范圍內(nèi)尋找一點{k,k}，在該點處周期圖|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)的主峰值比其余各點處的主峰值都大.所以，我們通過上述二維尋優(yōu)獲得{μk,vk}的估計值{k,k}，再由式(13)得到{ωk,k}的估計值{k,k}.
　　實際中，為了加快運(yùn)算速度，二維(μk,vk)平面的尋優(yōu)可以用Matlab中的函數(shù)Fmin()實現(xiàn).
　　在做了以上的準(zhǔn)備工作以后，基于推廣的RELAX算法的參量估計步驟如下：
　　第一步：假設(shè)信號數(shù)K=1,分別利用式(13)和式(12)計算1.
　　第二步(2)：假設(shè)信號數(shù)K=2，首先將第一步計算所得到的1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)計算2；將計算的2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新計算1，這個過程反復(fù)疊代，直至收斂.
　　第三步:假設(shè)信號數(shù)K=3,首先將第二步計算所得到的1和2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)計算3；將計算的3和2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新計算1；將計算的1和3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新計算2，這個過程反復(fù)疊代，直至收斂.
　　剩余步驟：令K=K+1,上述步驟持續(xù)進(jìn)行，直到K等于待估計信號數(shù).
　　上述過程中的收斂判據(jù)與RELAX算法的收斂判據(jù)相同，即比較代價函數(shù)C1在兩次疊代過程中的變化值，如果這個變換值小于某個值，如ε=10-3，則認(rèn)為過程收斂.

四、數(shù)值模擬
　　1.算法參數(shù)估計性能模擬
　　模擬數(shù)據(jù)由式（5）產(chǎn)生，M=10,N=10，信號數(shù)K=2.信號參數(shù)和實驗條件如表1所示,為復(fù)高斯白噪聲.注意兩信號的頻率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1給出了信號參數(shù)估計均方根誤差的統(tǒng)計結(jié)果及相應(yīng)情形時的C-R界，可見，估計均方根誤差與CR界十分接近.另外表中還給出了估計均值，與真實值也非常接近.

表1　二維信號的參數(shù)估計、CRB及與均方根差的比較

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　　2.SAR成像模擬
　　雷達(dá)參數(shù)為：中心頻率f0=24.24GHz,調(diào)頻率γ=33.357×1011Hz/s,帶寬B=133.5MHz,脈沖寬度tp=40μs.四個點目標(biāo)作正方形放置，間隔50米，左下角的點作為參考點.雷達(dá)與目標(biāo)間隔1公里，觀察角Δθ=3.15，數(shù)據(jù)長度為128×128.采用FFT成像方法時，其縱向和橫向距離分辨率為ρr=ρa=1.123米，防止MTRC現(xiàn)象發(fā)生所需的目標(biāo)最大范圍為［4］：縱向尺寸Dr＜4ρ2r/λ=40米，橫向尺寸Da＜4ρ2a/λ=40米.采用常規(guī)超分辨方法時，目標(biāo)尺寸Dr=Da＞10米則出現(xiàn)明顯的性能下降.圖2、圖3分別給出了RELAX方法及本文推廣的RELAX(Extended RELAX)算法的成像結(jié)果.可以看出，由于目標(biāo)遠(yuǎn)離參考中心，已在橫向和縱向出現(xiàn)距離走動，采用常規(guī)超分辨的RELAX算法產(chǎn)生圖像模糊，對于本文算法，則得到基本正確的成像結(jié)果.圖4和圖5則比較了RELAX算法和推廣的RELAX算法的散射點強(qiáng)度估計結(jié)果，可以看到，RELAX算法由于距離走動影響，散射點（除參考點以外）的強(qiáng)度降低.對于本文算法，散射點強(qiáng)度接近真實值.

圖2　距離走動誤差下的RELAX成像結(jié)果

圖3　距離走動誤差下的

圖4　RELAX方法估計的信號強(qiáng)度推廣RELAX成像結(jié)果

圖5　推廣RELAX方法估計的信號強(qiáng)度

五、結(jié)束語
　　現(xiàn)有的雷達(dá)成像超分辨算法是基于目標(biāo)回波信號的二維正弦信號模型，所以僅適用于目標(biāo)位于參考點附近很小區(qū)域時的情形.當(dāng)目標(biāo)遠(yuǎn)離參考點時，模型誤差，特別是距離走動誤差，將使算法性能嚴(yán)重下降或失效.為此，本文提出一種基于雷達(dá)成像近似二維模型的超分辨算法,從而擴(kuò)大了超分辨算法的適用范圍.本文進(jìn)一步的工作包括SAR實測數(shù)據(jù)成像及ISAR機(jī)動目標(biāo)成像，結(jié)果將另文報道.

附錄：參數(shù)估計的C-R界
　　下面我們給出式(5)所示的二維信號參量估計的C-R界表達(dá)式.同時假設(shè)式(5)中加性噪聲為零均值高斯色噪聲，其協(xié)方差矩陣未知.令：

y=vec(Y)　(A.1)
e=vec(E)　(A.2)
dk=vec(Dk)　(A.3)

式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)為矩陣X的列向量.我們將式(5)改寫為如下向量形式：

　(A.4)

式中表示Kronecker積,Ω=［{［P1bN(1)］aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN(K)］aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
　　令Q=E(eeH)為e的協(xié)方差矩陣，則對于由式(A.4)所示的二維信號模型，其Fisher信息陣(FIM)的第ij個元素推廣的Slepian-Bangs公式為［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］　(A.5)
式中X′i表示矩陣X對第i個參數(shù)求導(dǎo)，tr(X)為矩陣的跡，Re(X)為矩陣的實部.由于Q與Ωα中的參量無關(guān)，而Ωα亦與Q的元素?zé)o關(guān)，顯然FIM為一塊對角陣.所以待估計參量的C-R界矩陣由(A.5)式的第二項得到.

令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωTTμTvT)T　(A.6)

式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T,=(1，2，…，K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［Ω　jΩ　DωΘ　DΘ　DμΘ　DvΘ］　(A.7)
式中矩陣Dω、D、Dμ、Dv的第k列分別為：［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/ωk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/k、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/μk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/vk，Θ=diag{α1　α2　…　αK}.則關(guān)于參量向量η的CRB矩陣為

CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1　(A.8)