小波變換開關(guān)電流電路CAD設(shè)計(jì)
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1 系統(tǒng)框圖及設(shè)計(jì)基本原理
提出設(shè)計(jì)小波變換S I濾波器的CAD 方法, 具體見框圖1。先由用戶選擇小波基, 即確定高斯函數(shù)的參數(shù), 以及采用其第N 階導(dǎo)數(shù)作為小波基。然后, 選擇Pad 逼近的方式, 得到時(shí)域或頻域的有理分式之后, 可以利用SI濾波器的性質(zhì)來(lái)用對(duì)應(yīng)的SI單元電路的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn), 從而運(yùn)用了SI技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)和性能優(yōu)勢(shì)。
使用Mat lab編程可以實(shí)現(xiàn)該CAD 系統(tǒng), 它是一個(gè)窗口界面交互編程模式, 通過(guò)輸入數(shù)據(jù)及點(diǎn)擊菜單欄選擇相應(yīng)的菜單, 從而完成系統(tǒng)框圖設(shè)計(jì)。采用M atlab可以實(shí)現(xiàn)Pad 逼近的小波基函數(shù)有理式逼近的算法, 通過(guò)從菜單輸入高斯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)和尺度因子可以實(shí)現(xiàn)有理式表達(dá)式的CAD; 而SI電路具有模塊化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)同時(shí)開關(guān)電流濾波器的時(shí)間常數(shù)由晶體管的寬長(zhǎng)比或時(shí)鐘的頻率決定, 實(shí)現(xiàn)基本小波濾波器后只需要調(diào)節(jié)時(shí)鐘頻率即可實(shí)現(xiàn)不同尺度的其他濾波器。
圖1 系統(tǒng)框圖
1. 1 開關(guān)電流技術(shù)
S I電路由受時(shí)鐘控制的開關(guān)、電流鏡等電路構(gòu)成, 利用MOS器件柵- 源間電容存儲(chǔ)效應(yīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)電流信號(hào)的處理。在實(shí)現(xiàn)線性離散電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需要的基本單元有三個(gè): 加法器, 乘法器和貯存單元;當(dāng)用SI電路實(shí)現(xiàn)時(shí), 其分別對(duì)應(yīng)SI電路的基本單元為結(jié)點(diǎn)——電流信號(hào)的相加、比例電流鏡和S&H(取樣保持)單元, 這樣使電路的設(shè)計(jì)可以模塊化而大大簡(jiǎn)化電路的設(shè)計(jì)。利用SI基本單元可以組成積分器而實(shí)現(xiàn)不同品質(zhì)因數(shù)的濾波器, 最終達(dá)到小波變換電路設(shè)計(jì)的目的。
另外, 用信號(hào)流程圖的觀點(diǎn)來(lái)理解S I基本電路, 可以使系統(tǒng)傳輸函數(shù)的SI實(shí)現(xiàn)更明了。如通用積分器的SI電路設(shè)計(jì), 可由同向輸入, 反向輸入和放大輸入疊加構(gòu)成, 如圖2所示。
輸出電流為:
當(dāng)i1 ( z ) = - i2 ( z ) = i( z ) /2, a1 = a2 = a 構(gòu)成雙線性積分器, Z 域傳輸函數(shù)為:
圖2 通用積分器。
1. 2 小波基的選擇
高斯函數(shù)的通用表達(dá)式:
式中a是參數(shù), 定義δa(n) q 為δa ( t)的N 階導(dǎo)數(shù):
若
( a 取為一個(gè)具體值) 則函數(shù)δa (n) ( t )滿足小波的可容許性條件, 可采用δa(n) ( t )作為小波基函數(shù), 相應(yīng)的函數(shù)f ( t)在尺度為b, 位置為t處的卷積型小波變換定義為:
可以證明, 其各階導(dǎo)數(shù)也是滿足小波函數(shù)的容差條件的, 采用高斯函數(shù)及其N 階導(dǎo)數(shù)為母小波。
1. 3 有理式的Pad 逼近
Pad 逼近具有: ( 1)計(jì)算簡(jiǎn)便性——只要獲得要逼近函數(shù)的Tay lor展開, 再求線性方程組就可以獲得其有理逼近式; ( 2)應(yīng)用廣泛——只要函數(shù)可以被展成Taylor級(jí)數(shù)就可以獲得其Pad 逼近式。這兩個(gè)特點(diǎn)使Pad 逼近十分適合于小波濾波器的實(shí)現(xiàn)。濾波器的傳輸函數(shù)通常表示為有理分式, Pad 逼近就是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)獲得有理函數(shù)逼近式的一種十分有效而且簡(jiǎn)潔的方法, 其思想就是對(duì)一個(gè)給定形式的冪級(jí)數(shù)構(gòu)造一個(gè)有理函數(shù), 稱之為Pad 逼近式, 使其Taylor級(jí)數(shù)展開有盡可能多的項(xiàng)與原來(lái)的冪級(jí)數(shù)相吻合。
Pad 變換的定義 如果存在有理分式函數(shù)PL ( s) /QL ( s) ∈ RL,M (PL ( s)與QM ( s)互質(zhì))滿足:
及:
0 0 則稱PL ( s) /QM ( s)為f ( s)在RL,M 中的Pad 逼近式, 記為[ L /M ] f ( s), 或簡(jiǎn)記為[L /M ]。上面的定義給出了求已知函數(shù)f ( s)有理表達(dá)式逼近方法。若記:
QM ( s)乘以式( 3), 并比較等式兩邊1, s, s2, ……, sL +M的系數(shù), 可p, p 1, ……, pL 及q0, q1, ……, qM 的線性方程組(稱為Pad 方程組):
及:
其中規(guī)定a ≡0, n < 0; qj ? 0, j > M。對(duì)方程組( 6)、( 7)求解, 可得到PL ( s)和QM ( s)的系數(shù)。根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理, 高斯函數(shù)的時(shí)間分辨率與頻率分辨率的乘積可以達(dá)到理論的最小值, 這樣, 用高斯函數(shù)族作為小波基函數(shù), 在最大限度上解決了時(shí)寬和帶寬不相容的矛盾, 在時(shí)域和頻域均有較好的分辨率。
1. 4 雙二次積分器的性質(zhì)
在對(duì)小波函數(shù)的頻域表達(dá)式進(jìn)行Pad 變換后,就獲得其頻域的有理分式逼近。但是此時(shí)得到的表達(dá)式是S 域的, 而要運(yùn)用S I基本單元模塊電路, 就要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行變換來(lái)轉(zhuǎn)化到Z 域, 這里可通過(guò)Z域綜合法來(lái)實(shí)現(xiàn)。采用開關(guān)電流基本單元為模塊的CAD設(shè)計(jì)可使電路設(shè)計(jì)在實(shí)現(xiàn)上模塊化、直觀化,便于靈活現(xiàn)實(shí)采用不同S - Z 轉(zhuǎn)化( FD、BD、BL、LD I)時(shí)不同結(jié)構(gòu)的電路。FD (前向差分映射) , BD(后向差分映射) , LDI(無(wú)損離散積分映射) , BL(雙線性積分映射), 其中性能最好的是BL。
為了使電路的設(shè)計(jì)更加具有靈活性, 這里采用了S I雙二次濾波器的性質(zhì)。即對(duì)具有如下傳輸函數(shù)表達(dá)式的濾波器, 有:
其中w0 是濾波器的特征頻率、Q 是品質(zhì)因素。當(dāng)a0、a1、a2 為不同的值時(shí), 傳輸函數(shù)可以得到二階低通, 二階高通, 二階帶通, 二階全通濾波器函數(shù)。而式( 8)又可以由圖3所示的信號(hào)流程圖來(lái)表示。
圖3 雙二次濾波器信號(hào)流程圖
在進(jìn)行S域到Z域的傳輸函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換, 采取雙線性變換, 得到如圖4所示的流程圖, 對(duì)應(yīng)的系數(shù)就可以很容易的算出來(lái): k0 ~ k4 分別為:
其中( z+ 1) / ( z- 1)可以用開關(guān)電流雙線性積分器來(lái)實(shí)現(xiàn), 系統(tǒng)通過(guò)這種S - Z 域轉(zhuǎn)化可以得到系統(tǒng)的框圖, 這里通過(guò)把SI電路基本單元框圖如雙線性積分器作為數(shù)據(jù)庫(kù), 當(dāng)有理表達(dá)式含有該項(xiàng)時(shí)讓CAD 系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)用該結(jié)構(gòu)框圖然后級(jí)聯(lián)組成系統(tǒng)。
另外由于S - Z 是非線性變換, 還得求Z 域頻率, 即頻率預(yù)翹曲公式來(lái)處理:
其中, f s 為采樣頻率, fp 為S 域的頻率, f 為Z 域的頻率。
圖4 雙線性積分器實(shí)現(xiàn)的雙二次濾波器信號(hào)流程圖
2 舉例
設(shè)計(jì)舉例, 步驟如下:
( 1)小波基的選擇為確定高斯函數(shù)頻域表達(dá)式的參數(shù)及導(dǎo)數(shù)階數(shù)N 的值, 這里取高斯函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)為小波基; 即對(duì)小波基設(shè)置窗口選擇a= 2-2, N = 1;( 2)進(jìn)行Pad 逼近, 選擇[L /M ] Pad 逼近, 這里對(duì)Pad 逼近窗口設(shè)置為[ 3/5] Pad 逼近。就得到分子及分母的各項(xiàng)系數(shù), 寫成頻域的有理表達(dá)式, 如下:[!--empirenews.page--]
改寫成為:
( 3)有理式的分解—— Z域綜合。選擇菜單選項(xiàng)中的BL變換, 對(duì)式( 9)應(yīng)用上面介紹的框圖法,各個(gè)式子的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下。
通過(guò)可以變成H 1 ( z)的形式, 對(duì)應(yīng)一反向有損積分器與同向有損積分器并聯(lián)相加組成; H 2 ( s ) =對(duì)應(yīng)帶通濾波器, 如框圖第二行;則對(duì)應(yīng)高通, 帶通, 低通濾波器的輸出之和, 如框圖第三行; 系統(tǒng)的框圖就能很容易得到如圖5所示。
圖5 系統(tǒng)框圖
( 4)采用歸一化方法, 利用M atlab顯示原函數(shù)與逼近函數(shù)圖像對(duì)比, 可見逼近度是可以滿足一般要求的, 如圖6所示。
圖6 Pad 逼近的圖像
3 結(jié)論及結(jié)果分析
本文首次提出采用開關(guān)電流技術(shù)實(shí)現(xiàn)小波變換電路的一種CAD 方法。采用高斯函數(shù)族中的一階導(dǎo)數(shù)為母小波, 采用[ 3 /5 ] Pad 逼近得到其有理表達(dá)式。采用[ 3 /5] Pad 逼近能滿足要求, 要是想提高逼近度可采用高階Pad 逼近如[ 6 /10] Pad 逼近, 其均方差(MSE )可小至0. 19 % 10- 4, 但是相應(yīng)的會(huì)提高成本; 又利用了SI基本模塊作為單元模塊通過(guò)編程來(lái)得到系統(tǒng)框圖結(jié)構(gòu)。