應用傅氏算法的幾個問題討論

傅氏算法在數字保護中得到了廣泛的應用，但關于傅氏算法中余弦正弦系數a，b是否是信號相量的實部和虛部，作者一直感到困惑。通過分析近年發(fā)表相關傅氏算法的文獻，提出幾個問題的質疑，結合實際的工程實例和信號的物理意義，認為信號的虛部是-b即相量用表示，才能正確計算出阻抗、負序分量等。
    關鍵詞：傅氏算法；相量表示；分量 

Discussion on the Fourier algorithm application

Yuan yubo, Lu yuping , Tang guoqing

(Electrical Engineering Department of Southeast University Nanjing 210096)

    Abstract:Fourier Algorithm has been deeply applied in digital protection, however it was puzzled about whether coefficients a or b are real or image part of the phasor. After analyzing the document published in recent years, some problems query was put forward. It was concluded that the phasor could represented by form of a-jb and the correctly impedance or negative phase-sequence could be figure out by this form..
    Key words: Fourier Algorithm, Digital Protection

0  引言
    傅氏濾波算法作為故障信號模值相角提取的方法，在電力系統(tǒng)數字保護中廣泛應用，但從目前發(fā)表的文獻來看，在概念上還存在一些困惑。
    現將問題闡述如下。計算連續(xù)周期信號的基波分量的傅氏算法為：

    文獻[1-4]認為a,b分別是基波信號的實部和虛部。其實不然，確切地說，a,b應是信號的余弦和正弦分量系數。作者在開發(fā)一個繼電保護故障信息系統(tǒng)的過程中，利用了高級語言的復數類，發(fā)現根據a+jb的組合方法來表示相量，計算出的負序和正序互相顛倒，且利用電壓電流計算出的阻抗中的電抗分量為負數。如用a-jb的相量表示方法，結果就正確了。
    分析其中的原因，作者認為目前一些文獻都忽視了傅氏算法的概念，擬歸納成以下幾個問題：
    1) 傅氏算法計算出來的余弦、正弦幅度系數a,b是否是基波相量的實部和虛部。
    2) 連續(xù)周期信號與離散周期信號各自計算出來的是否一樣？相位角分別如何計算。
    針對這些問題，在此提出一些個人見解與同行討論。

1  算例
    以距離保護中計算阻抗為例(見圖1)，算法采用(2)式，分別得到電壓電流的余弦正弦系數U_a,U_b,I_a,I_b，至于如何構成相量，有兩種組合方法，在表1中詳細的表示。

    顯然，采用后面一種才能正確的計算出Z，相量表示雖然只是相差一個負號，但是物理概念確完全不一樣。
    復數形式的傅里葉級數表示為^[5]：
 
    在連續(xù)系統(tǒng)中，系數a,b包含了基波的幅值和相位信息，負頻率點和正頻率點處的對應的復系數分別為 。電路理論中用相量表示信號時，規(guī)定逆時針旋轉方向為正，正頻率是逆時針旋轉的，因此用正頻率點處的復系數來表示相量，為反映幅值將它乘以2，即用a-jb來表示基波相量。以上推證相量的實部和虛部應該為a、-b，其實這個概念的澄清對計算和分析非常重要，否則會導致計算的錯誤。下面舉例說明，圖2為一單位正弦波，數據窗取一個周波長度，分別取起始位置為1,2,3,4，表2為相應的a-jb,a+jb的計算值，圖2表明隨著數據窗的移動，相量a-jb是逆時針旋轉，而a+jb是順時針旋轉。

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    ABC三相超前滯后的關系是基于逆時針旋轉方向為正的坐標系統(tǒng)。如用順時針旋轉a +jb的相量來表示基波，計算時會導致正序和負序分量的錯位。

2  分析
    連續(xù)系統(tǒng)的傅里葉級數是對周期信號的分析，系數a,b是通過積分運算得到的，而離散系統(tǒng)對應于一個時間窗截斷的過程，窗外是窗內數據的周期延拓。理論證明，隨著數據窗的移動，計算的a,b值也是正弦交變的，不像周期信號傅里葉級數a,b是一個恒定的值。以基波12點采樣為例，隨著采樣數據窗的移動，a-jb相量在圓上逆時針旋轉，數據窗每往前移動一格，相量就逆時針旋轉30°。
    連續(xù)周期系統(tǒng)的相角取決于信號采用余弦模型還是正弦模型，如采用余弦模型，則連續(xù)系統(tǒng)中信號的初相角為復數a-jb的角度。φ=arctan(-b/a)。而離散系統(tǒng)中計算出來的相角是有區(qū)別的，隨著數據窗的移動，它是一個瞬時的相位計算值(ωt+φ)，該相量以角速度ω逆時針旋轉。
    在實際工程中，也常遇到類似的問題，如認為a,b是信號的實部和虛部，可能在計算功率方向時，明明是正方向短路，可是保護計算出來的卻是反方向。有些工程人員的解決手段是在取電壓電流相量時在虛部前加一個負號，保護計算就正確了，確不知道其中的物理含義。
    國內外文獻在看待這個問題時，有一些混亂，比較容易誤導讀者。如文獻[1-4]直接認a,b是信號的實部和虛部。文獻[10,12]為同一個作者寫的兩篇論文，其虛部分量的符號就不一樣。但IEEE的一篇文獻在b前面加了一個負號^[6]。國內也有文獻意識到了這個問題，在半波傅氏算法的b前加了一個負號^[7]。最近出版的文獻[8]也加了負號。但是目前仍有論文，沒有對這個問題引起重視，重復著這個筆誤^[4,9]。綜上所述，目前對該問題的困惑還存在，想當然的認為a,b就是基波信號的實部和虛部，會引起讀者的誤解，導致對傅氏算法錯誤的理解和使用。可能這些文獻只注重研究濾波器性能，還沒有用來做雙通道的比相或三相序分量的計算，問題沒有暴露出來。有些文獻用b+ja來表示信號，也是正確的，這一樣可以仿照表2分析出來。因此，在做信號的相量表示的時候，一定要注意向量的旋轉方向。

3  應用
    1)距離保護中阻抗的計算

    2) 序分量的提取
    電力系統(tǒng)中的故障大多數是不對稱的，會出現反應不對稱故障的負序電壓和負序電流，數字保護應能實時計算出負序分量。由于習慣上采用逆時針方向定義超前滯后，α⁰,α¹,α²依次逆時針方向超前相位120°。各序電流的計算見式(5)。
 
    注意信號相量表示應取a-jb，如用a+jb會導致計算出的正序分量變成負序分量。
    3) 基于相量方法的數字濾波器設計
    采樣信號在一個數據窗中的特點是，隨著數據窗的移動，數據窗內的每個采樣點的值也是變化的，單獨把數據窗內每個采樣點從x(1),x(2),...,x(12)作為信號引出來分析，每一點都是時域的采樣信號，它和原信號是一致的，不過依次超前一個采樣間隔，因此可以用相量來表示每個采樣點的信號。信號中存在的各次諧波分量如用相量表示時，除旋轉速度不同，反應到每個相量之間的超前滯后的角度也是有區(qū)別的。如每周波12點的采樣系統(tǒng)，基波相量之間相差30°，二次諧波相量相差60°，依次類推，圖3給出了基波信號的各采樣點相量表示。

    在同一個平面上，3個相量必相關，即對3個點的采樣相量，必然可找出系數使三個相量的線性組合等于零。通過基于相量方法的設計來濾除該次諧波，這在文獻[11]中已經有詳細的論述。

4 結論
    本文通過研究分析，認為傅氏算法計算出的余弦、正弦分量幅度系數a和b并非是信號相量表示的實部和虛部，在做信號的相量表示時，一定要注意向量的旋轉方向，應選正方向旋轉的相量a-jb來表示信號，這樣符合傳統(tǒng)的電工學的正方向的規(guī)定。連續(xù)周期系統(tǒng)中計算出來的a,b是一個恒定的值，且計算出來的相角也是信號的初始相角；而離散系統(tǒng)中計算出來的a,b卻隨著數據窗的移動在變化，相角是一個瞬時相位角。最后將該理論應用于距離保護中電阻電抗的計算、序分量的提取，且該物理概念也可以拓廣到基于相量法的數字濾波器設計中。文中對正確的使用傅氏算法具有一定的借鑒作用，提出的個人見解其正確與否愿與同行討論。