一文講透一階系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)、傳遞函數(shù)和輸出響應(yīng)

一：一階系統(tǒng)響應(yīng)定義

通常來講，一階系統(tǒng)分為電壓驅(qū)動(dòng)一階系統(tǒng)(a)以及電流驅(qū)動(dòng)一階系統(tǒng)(b)，如下圖所示：

這兩個(gè)一階系統(tǒng)在線路上是完全等效的。它們的階躍響應(yīng)如下：

電壓或者電流的上升時(shí)間在這里定義為從10%開始，上升到90%結(jié)束所需要的時(shí)間。對(duì)于一階系統(tǒng)，可以推導(dǎo)出上升時(shí)間為：

帶寬定義為AC輸入信號(hào)激勵(lì)下輸出響應(yīng)幅值降到直流信號(hào)幅值的70.7%(或-3dB)所對(duì)應(yīng)的頻率。

一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式如下：

由此可以推導(dǎo)出一階系統(tǒng)的帶寬為：

由以上數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們很容易得出一階系統(tǒng)的上升時(shí)間與帶寬的關(guān)系為：

由此可知，一階系統(tǒng)的上升時(shí)間與帶寬成反比，這也就是為什么我們經(jīng)常說帶寬變寬，系統(tǒng)響應(yīng)速度會(huì)變快的理論解釋。

二：一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的近似響應(yīng)

從一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們知道一階系統(tǒng)的幅值，相角以及群延時(shí)的表達(dá)式如下：

其中群延時(shí)是表征系統(tǒng)中頻率信號(hào)所經(jīng)歷的延時(shí)時(shí)間。

一階系統(tǒng)只有一個(gè)極點(diǎn)，接下來我們看看此一階系統(tǒng)在低頻和高頻下的行為是怎么樣的，低頻或者高頻都是相對(duì)極點(diǎn)頻率所言。對(duì)于高頻，我們假定wτ?1，此時(shí)一階系統(tǒng)的幅值、相角以及群延時(shí)近似為：

因此，對(duì)于高頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似以20dB/十倍頻的速度衰減，相移近似為-90度，群延時(shí)隨著頻率的平方減少，頻率高的信號(hào)比頻率低的信號(hào)群延時(shí)要少。[!--empirenews.page--]

對(duì)于低頻信號(hào)，即wτ?1，我們可以近似得到如下傳函：

因此，對(duì)于低頻一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的幅值近似為單位1，負(fù)的相移與頻率近似成線性關(guān)系。群延時(shí)只與時(shí)間常數(shù)有關(guān)，也就是說，極點(diǎn)會(huì)貢獻(xiàn)有限的相移。比如頻率比極點(diǎn)頻率低10倍頻的頻率點(diǎn)，極點(diǎn)會(huì)貢獻(xiàn)約-5.7度的相移。如果負(fù)的相移過大，就會(huì)引起系統(tǒng)振蕩。

三：一階系統(tǒng)階躍短時(shí)輸出響應(yīng)

接下來，我們研究一下當(dāng)一階系統(tǒng)發(fā)生階躍響應(yīng)后，在起始很短一段時(shí)間內(nèi)(遠(yuǎn)小于一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)τ)的輸出是什么樣子的。因?yàn)檫@一結(jié)論在實(shí)際工程應(yīng)用中更為常見。

我們可以借用指數(shù)函數(shù)的展開式進(jìn)行近似計(jì)算，由

我們可以得到：

因此，在階躍響應(yīng)發(fā)生后很短一段時(shí)間內(nèi)，電壓看上去隨時(shí)間是線性變化的。由此可以推出流過電容的電流近似是恒定的：

下面我們就用以上結(jié)論分析全橋整流系統(tǒng)的紋波電壓。一全橋整流系統(tǒng)如下：

此系統(tǒng)輸入為120VRMS/60Hz的正弦波，RC時(shí)間常數(shù)為(100ohm)(1000uF)=100ms，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于輸入正弦波整流后饅頭波的周期8.3ms(1/120Hz)。因此我們利用上述結(jié)論可以比較容易算出電容上的紋波電壓：

輸出電壓最大值近似為170V;

流過100ohm電阻的電流近似為常數(shù)170V/100ohm=1.7A

電容會(huì)以8.3ms的時(shí)間常數(shù)進(jìn)行放電來維持電阻上的電流(此時(shí)整流橋四個(gè)二極管全部關(guān)閉)

由I=Cdv/dt，我們就可以得到電容上的紋波電壓為：

利用LTspice或者Pspice仿真軟件，我們可以得到這一結(jié)果：

接下來會(huì)簡(jiǎn)單介紹二階系統(tǒng)。