講解：Bezier曲線原理及實(shí)現(xiàn)代碼（c++）

一、原理：

???????貝塞爾曲線于1962年，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發(fā)表，他運(yùn)用貝塞爾曲線來為汽車的主體進(jìn)行設(shè)計。貝塞爾曲線最初由?Paul de Casteljau?于1959年運(yùn)用?de Casteljau 算法開發(fā)，以穩(wěn)定數(shù)值的方法求出貝塞爾曲線。

線性貝塞爾曲線

給定點(diǎn)?P₀、P₁，線性貝塞爾曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由下式給出：

且其等同于線性插值。

二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點(diǎn)?P₀、P₁、P₂?的函數(shù)?B(t) 追蹤：

。

TrueType?字型就運(yùn)用了以貝塞爾樣條組成的二次貝塞爾曲線。

P₀、P₁、P₂、P₃?四個點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝塞爾曲線。曲線起始于?P₀?走向?P₁，并從?P₂?的方向來到?P₃。一般不會經(jīng)過?P₁?或?P₂；這兩個點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。?P₀?和?P₁?之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn)P₃?之前，走向?P₂?方向的“長度有多長”。

曲線的參數(shù)形式為：

。

現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如?PostScript、Asymptote?和?Metafont，運(yùn)用了以貝塞爾樣條組成的三次貝塞爾曲線，用來描繪曲線輪廓。

一般化

P₀、P₁、…、P_n，其貝塞爾曲線即

。

例如?：

。

如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用??表示由點(diǎn)?P₀、P₁、…、P_n?所決定的貝塞爾曲線。則

用平常話來說，?階貝塞爾曲線之間的插值。

一些關(guān)于參數(shù)曲線的術(shù)語，有

即多項(xiàng)式

又稱作?n?階的伯恩斯坦基底多項(xiàng)式，定義 0⁰?= 1。

點(diǎn)?P_i?稱作貝塞爾曲線的控制點(diǎn)。多邊形以帶有線的貝塞爾點(diǎn)連接而成，起始于?P₀?并以?P_n?終止，稱作貝塞爾多邊形（或控制多邊形）。貝塞爾多邊形的凸包（convex hull）包含有貝塞爾曲線。

線性貝塞爾曲線函數(shù)中的?t?會經(jīng)過由?P₀?至P₁?的?B(t) 所描述的曲線。例如當(dāng)?t=0.25?時，B(t) 即一條由點(diǎn)?P₀?至?P₁?路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續(xù)?t，B(t) 描述一條由?P₀?至?P₁?的直線。

為建構(gòu)二次貝塞爾曲線，可以中介點(diǎn)?Q₀?和?Q₁?作為由 0 至 1 的?t：

由?P₀?至?P₁?的連續(xù)點(diǎn)?Q₀，描述一條線性貝塞爾曲線。由?P₁?至?P₂?的連續(xù)點(diǎn)?Q₁，描述一條線性貝塞爾曲線。由?Q₀?至?Q₁?的連續(xù)點(diǎn)?B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。?

為建構(gòu)高階曲線，便需要相應(yīng)更多的中介點(diǎn)。對于三次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點(diǎn)?Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲線描述的點(diǎn)?R₀、R₁?所建構(gòu)：

對于四次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點(diǎn)?Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次貝塞爾曲線描述的點(diǎn)?R₀、R₁、R₂，和由三次貝塞爾曲線描述的點(diǎn)?S₀、S₁?所建構(gòu)：

P(t)=(1-t)P₀+tP₁?,?。
矩陣表示為：
　　，?。
P(t)=(1-t)²P₀+2t(1-t)P₁+t²P₂,?。
矩陣表示為：
　　，?。

　　P(t)=(1-t)³P₀+3t(1-t)²P₁+3t²(1-t)P₂+t³P_3?
矩陣表示為：
，?。
（6－3－2）?
，?。?
在（6－3－2）式中，Mⁿ⁺¹是一個n＋1階矩陣，稱為n次Bezier矩陣。
?（6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我們可以得到任意次Bezier矩陣的顯式表示，例如4次和5次Bezier矩陣為：
，
?
可以證明，n次Bezier矩陣還可以表示為遞推的形式：
?（6－3－4）
?

二、算法（c++）

工程目錄是:Win32App?
vc6.0

#include

??HDC hdc;
??static POINT pt[NUM];
??TEXTMETRIC tm;
??static int cxClient,cyClient;
??HPEN hpen;
??int i,j,k,n,t;

??switch(message)
??{
??case WM_CREATE:
??????static int cxchar;
??????hdc = GetDC(hwnd);
??????GetTextMetrics(hdc,&tm);
??????cxchar = tm.tmAveCharWidth;
??????ReleaseDC(hwnd,hdc);

??case WM_SIZE:
???????cxClient = LOWORD(lparam);
??????cyClient = HIWORD(lparam);
??????return 0;
??case WM_PAINT:
???????hdc = GetDC(hwnd);
???????srand(time(0));

???????Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
??????for(i=0; i<500; i++)
??????????{
????????????SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
????????????PolyBezier(hdc,pt,NUM);
????????????for(j=0; j<NUM; j++)
????????????{
????????????????pt[j].x = rand()%cxClient;
????????????????pt[j].y = rand()%cyClient;
????????????}
????????????hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
?????????????DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
????????????PolyBezier(hdc,pt,NUM);
????????????for(k=0; k<50000000;k++);
??????????}
??????for(i=0; i<100;i++)
??????{
????????Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

????????Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;?

??????}
???????if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;??
????????SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
????????TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
????????ReleaseDC(hwnd,hdc);
??????????DeleteObject(hpen);
??????????ValidateRect(hwnd,NULL);
???return 0;

??case WM_DESTROY:
??????PostQuitMessage(0);
??????return 0;
??}
??return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}