關(guān)于Lasso與Boosting的體會(huì)

在港科大拿到PhD，做的是Bioinformatics方面的東西。Bioinformatics這個(gè)領(lǐng)域很亂，從業(yè)者水平參差不齊，但隨著相關(guān)技術(shù)(比如Microarray, Genotyping)的進(jìn)步，這個(gè)領(lǐng)域一直風(fēng)風(fēng)光光。因?yàn)槲冶究剖菍W(xué)計(jì)算機(jī)電子技術(shù)方面的，對(duì)這些技術(shù)本身并沒有多大的興趣，支持我一路走過來的一個(gè)重要原因是我感受到統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)(Statistical learning)的魅力。正如本科時(shí)代看過的一本網(wǎng)絡(luò)小說《悟空傳》所寫的：“你不覺得天邊的晚霞很美嗎?只有看著她，我才能堅(jiān)持向西走?！?/p>

離校前閑來無事，覺得應(yīng)該把自己的一些感受寫下來，和更多的愛好者分享。

1. 學(xué)習(xí)經(jīng)歷

先介紹一下我是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)領(lǐng)域的。我本科學(xué)自動(dòng)化，大四時(shí)接觸到一點(diǎn)智能控制的東西，比如模糊系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。研究生階段除了做點(diǎn)小硬件和小軟件，主要的時(shí)間花在研究模糊系統(tǒng)上。一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，發(fā)現(xiàn)了王立新老師的《模糊系統(tǒng)與模糊控制教材》。我至今依然認(rèn)為這是有關(guān)模糊系統(tǒng)的最好的書，邏輯性非常強(qiáng)。它解答了我當(dāng)年的很多困惑，然而真正令我心潮澎湃的是這本書的序言，讀起來有一種“飛”的感覺。后來我終于有機(jī)會(huì)來到港科大，成為立新老師的PhD學(xué)生，時(shí)長(zhǎng)一年半(因?yàn)榱⑿吕蠋熾x開港科大投身產(chǎn)業(yè)界了)。立新老師對(duì)我的指導(dǎo)很少，總結(jié)起來可能就一句話：“你應(yīng)該去看一下Breiman 和Friedman的文章。”立新老師在我心目中的位置是高高在上的，于是我就忠實(shí)地執(zhí)行了他的話。那一年半的時(shí)間里，我?guī)缀醢阉麄兊奈恼驴戳撕脦妆?。開始不怎么懂，后來才慢慢懂了，甚至有些癡迷。于是，我把與他們經(jīng)常合作的一些學(xué)者的大部分文章也拿來看了，當(dāng)時(shí)很傻很天真，就是瞎看，后來才知道他們的鼎鼎大名，Hastie, Tibshirani, Efron等。文章看得差不多了，就反復(fù)看他們的那本書“The Elements of Statistical learning”(以下簡(jiǎn)稱ESL)。說實(shí)話，不容易看明白，也沒有人指導(dǎo)，我只好把文章和書一起反復(fù)看，就這樣來來回回折騰。比如為看懂Efron的“Least angle regression”，我一個(gè)人前前后后折騰了一年時(shí)間(個(gè)人資質(zhì)太差)。當(dāng)時(shí)國(guó)內(nèi)還有人翻譯了這本書(2006年)，把名字翻譯為“統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)”。我的神啦，這也叫“基礎(chǔ)”!還要不要人學(xué)啊!難道絕世武功真的要練三五十年?其實(shí)正確的翻譯應(yīng)該叫“精要”。在我看來，這本書所記載的是絕世武功的要義，強(qiáng)調(diào)的是整體的理解，聯(lián)系和把握，絕世武功的細(xì)節(jié)在他們的文章里。

2. 關(guān)于Lasso與Boosting

由于篇幅有限，我就以Lasso和Boosting為主線講講自己的體會(huì)。故事還得從90年代說起。我覺得90年代是這個(gè)領(lǐng)域發(fā)展的一個(gè)黃金年代，因?yàn)閮煞N絕世武功都在這個(gè)時(shí)候橫空出世，他們是SVM和Boosted Trees。

先說SVM。大家對(duì)SVM的基本原理普遍表述為，SVM通過非線性變換把原空間映射到高維空間，然后在這個(gè)高維空間構(gòu)造線性分類器，因?yàn)樵诟呔S空間數(shù)據(jù)點(diǎn)更容易分開。甚至有部分學(xué)者認(rèn)為SVM可以克服維數(shù)災(zāi)難(curse of dimensionality)。如果這樣理解SVM的基本原理，我覺得還沒有看到問題的本質(zhì)。因?yàn)檫@個(gè)看法不能解釋下面的事實(shí)：SVM在高維空間里構(gòu)建分類器后，為什么這個(gè)分類器不會(huì)對(duì)原空間的數(shù)據(jù)集Overfitting呢?要理解SVM的成功，我覺得可以考慮以下幾個(gè)方面：第一，SVM求解最優(yōu)分類器的時(shí)候，使用了L2-norm regularization，這個(gè)是控制Overfitting的關(guān)鍵。第二，SVM不需要顯式地構(gòu)建非線性映射，而是通過Kernel trick完成，這樣大大提高運(yùn)算效率。第三，SVM的優(yōu)化問題屬于一個(gè)二次規(guī)劃(Quadratic programming)，優(yōu)化專家們?yōu)镾VM這個(gè)特殊的優(yōu)化問題設(shè)計(jì)了很多巧妙的解法，比如SMO(Sequential minimal optimization)解法。第四，Vapnika的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論為SVM提供了很好的理論背景(這點(diǎn)不能用來解釋為什么SVM這么popular，因?yàn)橛衫碚搶?dǎo)出的bound太loose)。于是SVM成功了，火得一塌糊涂!

再說Boosted Trees。它基本的想法是通過對(duì)弱分類器的組合來構(gòu)造一個(gè)強(qiáng)分類器。所謂“弱”就是比隨機(jī)猜要好一點(diǎn)點(diǎn);“強(qiáng)”就是強(qiáng)啦。這個(gè)想法可以追溯到由Leslie Valiant教授(2010年圖靈獎(jiǎng)得主)在80年代提出的probably approximately correct learning (PAC learning) 理論。不過很長(zhǎng)一段時(shí)間都沒有一個(gè)切實(shí)可行的辦法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)理想。細(xì)節(jié)決定成敗，再好的理論也需要有效的算法來執(zhí)行。終于功夫不負(fù)有心人， Schapire在1996年提出一個(gè)有效的算法真正實(shí)現(xiàn)了這個(gè)夙愿，它的名字叫AdaBoost。AdaBoost把多個(gè)不同的決策樹用一種非隨機(jī)的方式組合起來，表現(xiàn)出驚人的性能!第一，把決策樹的準(zhǔn)確率大大提高，可以與SVM媲美。第二，速度快，且基本不用調(diào)參數(shù)。第三，幾乎不Overfitting。我估計(jì)當(dāng)時(shí)Breiman和Friedman肯定高興壞了，因?yàn)檠劭粗麄兲岢龅腃ART正在被SVM比下去的時(shí)候，AdaBoost讓決策樹起死回生!Breiman情不自禁地在他的論文里贊揚(yáng)AdaBoost是最好的現(xiàn)貨方法(off-the-shelf，即“拿下了就可以用”的意思)。其實(shí)在90年代末的時(shí)候，大家對(duì)AdaBoost為什么有如此神奇的性能迷惑不解。1999年，F(xiàn)riedman的一篇技術(shù)報(bào)告“Additive logistic regression: a statistical view of boosting”解釋了大部分的疑惑(沒有解釋AdaBoost為什么不容易Overfitting，這個(gè)問題好像至今還沒有定論)，即搞清楚了AdaBoost在優(yōu)化什么指標(biāo)以及如何優(yōu)化的。基于此，F(xiàn)riedman提出了他的GBM(Gradient Boosting Machine，也叫MART或者TreeNet)。幾乎在同時(shí)，Breiman另辟蹊徑，結(jié)合他的Bagging (Bootstrap aggregating) 提出了Random Forest (今天微軟的Kinect里面就采用了Random Forest，相關(guān)論文Real-time Human Pose Recognition in Parts from Single Depth Images是CVPR2011的best paper)。

有一個(gè)關(guān)于Gradient Boosting細(xì)節(jié)不得不提。Friedman在做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，把一棵新生成的決策樹，記為f_m，加到當(dāng)前模型之前，在這棵決策樹前乘以一個(gè)小的數(shù)，即v×f_m(比如v=0.01)，再加入到當(dāng)前模型中，往往大大提高模型的準(zhǔn)確度。他把這個(gè)叫做“Shrinkage”。接下來，Hastie，Tibshirani和Friedman進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)(我發(fā)現(xiàn)大師們都是親自動(dòng)手寫程序做實(shí)驗(yàn)的)，如果把具有Shrinkage的Gradient Boosting應(yīng)用到線性回歸中時(shí)，得到的Solution Path與Lasso的Solution Path驚人地相似(如圖所示)!他們把這一結(jié)果寫在了ESL的第一版里，并推測(cè)這二者存在著某種緊密的聯(lián)系，但精確的數(shù)學(xué)關(guān)系他們當(dāng)時(shí)也不清楚。Tibshirani說他們還請(qǐng)教了斯坦福的優(yōu)化大師(我估計(jì)是Stephen Boyd)，但還是沒有找到答案。

后來Tibshirani找到自己的恩師Efron。Tibshirani在“The Science of Bradley Efron”這本書的序言里寫道，“He sat down and pretty much single-handedly solved the problem. Along the way, he developed a new algorithm, ‘least angle regression,’ which is interesting in its own right, and sheds great statistical insight on the Lasso.”我就不逐字逐句翻譯了，大意是：Efron獨(dú)自擺平了這個(gè)問題，與此同時(shí)發(fā)明了“Least angle regression (LAR)”。Efron結(jié)論是Lasso和Boosting的確有很緊密的數(shù)學(xué)聯(lián)系，它們都可以通過修改LAR得到。更令人驚嘆的是LAR具有非常明確的幾何意義。于是，Tibshirani在序言中還有一句，“In this work, Brad shows his great mathematical power–not the twentieth century, abstract kind of math, but the old-fashioned kind: geometric insight and analysis.”讀Prof Efron的文章，可以感受到古典幾何學(xué)與現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)合之美(推薦大家讀讀Efron教授2010年的一本新書Large-Scale Inference，希望以后有機(jī)會(huì)再寫寫這方面的體會(huì))!總之，Efron的這篇文章是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的里程碑，它結(jié)束了一個(gè)時(shí)代，開啟了另一個(gè)時(shí)代。

這里，想補(bǔ)充說明一下Lasso的身世，它的全稱是The Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，讀音不是[‘l?so]而是[l?’su:]，有中文翻譯為“套索”，個(gè)人覺得這個(gè)翻譯不好，太遠(yuǎn)離它本來的含義，不如就用Lasso。Tibshrani自己說他的Lasso是受到Breiman的Non-Negative Garrote(NNG)的啟發(fā)。 Lasso把NNG的兩步合并為一步，即L1-norm regularization。Lasso的巨大優(yōu)勢(shì)在于它所構(gòu)造的模型是Sparse的，因?yàn)樗鼤?huì)自動(dòng)地選擇很少一部分變量構(gòu)造模型。現(xiàn)在，Lasso已經(jīng)家喻戶曉了，但是Lasso出生后的頭兩年卻很少有人問津。后來Tibshirani自己回憶時(shí)說，可能是由下面幾個(gè)原因造成的：1. 速度問題：當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)求解Lasso的速度太慢;2. 理解問題：大家對(duì)Lasso模型的性質(zhì)理解不夠(直到Efron的LAR出來后大家才搞明白);3. 需求問題：當(dāng)時(shí)還沒有遇到太多高維數(shù)據(jù)分析的問題，對(duì)Sparsity的需求似乎不足。Lasso的遭遇似乎在闡釋我們已經(jīng)熟知的一些道理： 1.千里馬常有，而伯樂不常有(沒有Efron的LAR，Lasso可能很難有這么大的影響力)。2.時(shí)勢(shì)造英雄(高維數(shù)據(jù)分析的問題越來越多，比如Bioinformatics領(lǐng)域)。3.金子總是會(huì)閃光的。

LAR把Lasso (L1-norm regularization)和Boosting真正的聯(lián)系起來，如同打通了任督二脈(數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)可以參考本人的一個(gè)小結(jié)，當(dāng)然最好還是親自拜讀Efron的原著)。LAR結(jié)束了一個(gè)晦澀的時(shí)代：在LAR之前，有關(guān)Sparsity的模型幾乎都是一個(gè)黑箱，它們的數(shù)學(xué)性質(zhì)(更不要談古典的幾何性質(zhì)了)幾乎都是缺失。LAR開啟了一個(gè)光明的時(shí)代：有關(guān)Sparsity的好文章如雨后春筍般地涌現(xiàn)，比如Candes和Tao的Dantzig Selector。伯克利大學(xué)的Bin Yu教授稱“Lasso, Boosting and Dantzig are three cousins”。近年來興起的Compressed sensing(Candes & Tao, Donoho)也與LAR一脈相承，只是更加強(qiáng)調(diào)L1-norm regularization其他方面的數(shù)學(xué)性質(zhì)，比如Exact Recovery。我覺得這是一個(gè)問題的多個(gè)方面，Lasso關(guān)注的是構(gòu)建模型的準(zhǔn)確性，Compressed sensing關(guān)注的是變量選擇的準(zhǔn)確性。由此引起的關(guān)于Sparsity的研究，猶如黃河泛濫，一發(fā)不可收拾。比如Low-rank 逼近是把L1-norm從向量到矩陣的自然推廣(現(xiàn)在流行的“用戶推薦系統(tǒng)”用到的Collaborative filtering的數(shù)學(xué)原理源于此)。有興趣的童鞋可以參考我個(gè)人的小結(jié)。

還必須提到的是算法問題。我個(gè)人覺得，一個(gè)好的模型，如果沒有一個(gè)快速準(zhǔn)確的算法作為支撐的話，它最后可能什么也不是?？纯碙asso頭幾年的冷遇就知道了。LAR的成功除了它漂亮的幾何性質(zhì)之外，還有它的快速算法。LAR的算法復(fù)雜度相當(dāng)于最小二乘法的復(fù)雜度，這幾乎已經(jīng)把Lasso問題的求解推向極致。這一記錄在2007年被Friedman的Coordinate Descent(CD)刷新，至今沒人打破。Hastie教授趣稱這個(gè)為“FFT(Friedman + Fortran + Tricks)”。因?yàn)镃D對(duì)Generalized Lasso問題并不能一網(wǎng)打盡，許多凸優(yōu)化解法應(yīng)運(yùn)而生，如Gradient Projection， Proximal methods，ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers)， (Split) Bregman methods，Nesterov’s method (一階梯度法中最優(yōu)的收斂速度，Candes 的很多軟件包都根據(jù)這個(gè)方法設(shè)計(jì)) 等等。哪個(gè)方法更好呢?這個(gè)就像問“誰的武功天下第一”一樣。我只能回答“王重陽以后再也沒有天下第一了，東邪西毒南帝北丐，他們各有各的所長(zhǎng)，有的功夫是這個(gè)人擅長(zhǎng)一些，而另外幾門功夫又是另一個(gè)人更擅長(zhǎng)一些”。有關(guān)L1的算法可能還會(huì)大量涌現(xiàn)，正如優(yōu)化大師Stephen Boyd所說(2010年9月28日)：“God knows the last thing we need is another algorithm for the Lasso.”

3. 結(jié)語

最后我想以討論“模糊系統(tǒng)”和“統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)”來結(jié)尾。這個(gè)話題非常具有爭(zhēng)議，我就冒天下之大不諱吧，談一談我這幾年的學(xué)習(xí)體會(huì)。記得十年前，立新老師曾經(jīng)寫過一篇文章《模糊系統(tǒng)：挑戰(zhàn)與機(jī)遇并存——十年研究之感悟》，發(fā)表在2001年《自動(dòng)化學(xué)報(bào)》上。我2005年看到的時(shí)候，敬仰之情，猶如滔滔江水。立新老師曾經(jīng)有這么一句話：“If a method works well in practice, there must be some theoretical reasons for its success.”2005年的時(shí)候，我開始問自己什么使模糊系統(tǒng)的成功?立新老師認(rèn)為有如下幾個(gè)原因：1.模糊系統(tǒng)的通用逼近性能(Universal Approximator);2.模糊系統(tǒng)快速的構(gòu)造算法，比如他自己的WM方法，Roger Jang的ANFIS等等;3.結(jié)果的可解釋性;4.利用各種不同形式的信息。

下面我談?wù)勛约旱目捶?，第一，通用逼近性能?dāng)然是一個(gè)好的性質(zhì)，它表明模糊系統(tǒng)是很flexible的，但flexible的結(jié)構(gòu)太多了，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。問題往往不在flexible，而在太flexible導(dǎo)致overfitting。就如同SVM一樣，沒有L2-norm regularization，實(shí)踐中的性能就會(huì)變得很差。第二，快速算法，這是好的方法必備的，SVM，Boosting，Random Forest的算法都很快，而且可以直接用到高維，這一點(diǎn)上，我沒有看到模糊系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。第三，可解釋性：模糊系統(tǒng)對(duì)低維數(shù)據(jù)(比如2-4維)的確具有好的解釋性(因?yàn)镮F-THEN規(guī)則的前提和結(jié)論都很簡(jiǎn)潔)，但這個(gè)時(shí)候其它工具也可以做得到，比如Gradient Boosting和Random Forests(很多例子可以在ESL這本書里看到)。第四，充分的利用各種信息。立新老師指的是IF-THEN規(guī)則可以比較自由靈活的加入先驗(yàn)知識(shí)，并在他的書里面詳細(xì)給出實(shí)例。遺憾的是，這些例子都在處理低維空間的問題。如何用IF-THEN規(guī)則解構(gòu)高維空間呢?我個(gè)人看不到它們特殊的優(yōu)勢(shì)。然而，在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)里，利用不同的先驗(yàn)知識(shí)處理高維空間的例子比比皆是，比如Sparsity，group-structure，smoothness等等?，F(xiàn)在舉一個(gè)Gradient Boosting machine(GBM，也叫MART)的例子來說明我的觀點(diǎn)。根據(jù)Lasso和Boosting的關(guān)系，可以知道GBM已經(jīng)用到了Sparsity的性質(zhì)(L1-norm regularization)。GBM有兩個(gè)參數(shù)可以反映我們的先驗(yàn)知識(shí)。第一個(gè)參數(shù)是深度(depth)，控制每棵決策樹的深度 。如果深度為1，即樹樁結(jié)構(gòu)(Stump)，表明GBM將采用加法模型(Generalized Additive model)，即不考慮變量之間的交互式作用(Interaction);如果深度大于1，則考慮交互式作用。因?yàn)榻换ナ阶饔迷诜蔷€性建模中比較重要，如異或(XOR)問題，沒有考慮交互式作用將失敗得很慘，所以這個(gè)參數(shù)設(shè)置反映了對(duì)非線性建模的先驗(yàn)。第二個(gè)參數(shù)是Shrinkage的大小。假設(shè)深度選取是合理的，在噪聲比較小的時(shí)候，沒有Shrinkage會(huì)比較好;噪聲比較大的時(shí)候，有Shrinkage會(huì)好一些。實(shí)踐中，使用GBM對(duì)高維數(shù)據(jù)分析，試錯(cuò)法(Trial and error)很容易使用，因?yàn)榫瓦@兩個(gè)參數(shù)(通常depth=3～4;實(shí)際數(shù)據(jù)的噪聲往往比較大，推薦設(shè)置Shrinkage=0.01)。模型構(gòu)建好之后，GBM會(huì)告訴你哪些變量是重要的，變量之間的交互式作用如何等等，這樣模型的結(jié)果也是比較容易理解。Random Forests也有相似的功能。好了，最后借Hastie教授的一幅圖來總結(jié)一下，無疑，GBM(MART)是他們的最愛，也是我的最愛。

尾音

問： 世間是否此山最高，或者另有高處比天高?

答： 在世間自有山比此山更高，Open-mind要比天高。