叉積與點積的區(qū)別

計算幾何是算法競賽的一大塊，而叉積是計算機和的基礎。

首先叉積是計算說向量之間的叉積，那么我們可以這樣定義向量，以及向量的運算符重載。

叉積求面積： (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y)*(c.x - a.x)

[cpp]?view plaincopyprint? struct?Point?? {?? ????double?x,y;?? ????Point(double?x=0,double?y=0):x(x),y(y)?{}?? };?? typedef?Point?Vector;?? Vector?operator?+?(Vector?A,Vector?B)?{?return?Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);?}?? Vector?operator?-?(Vector?A,Vector?B)?{?return?Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);?}?? Vector?operator?*?(Vector?A,double?p)?{?return?Vector(A.x*p,A.y*p);?}?? Vector?operator?/?(Vector?A,double?p)?{?return?Vector(A.x/p,A.y/p);?}?? ?? bool?operator?<?(const?Point&?a,const?Point&?b)?? {?? ????return?a.x<b.x?||?(a.x==b.x?&&?a.y<b.y);?? }?? int?dcmp(double?x)??//?? {?? ????if(fabs(x)<esp)?return?0;?? ????else?return?x<0?-1:1;?? }?? bool?operator?==?(const?Point&?a,const?Point&?b)?? {?? ????return?dcmp(a.x-b.x)?==?0?&&?dcmp(a.y-b.y)==0;?? }??

首先在二維坐標下介紹一些定義：

點：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量：向量AB=（ x2 - x1 , y2 - y1 ）= ( x , ?y );

向量的模 |AB| = sqrt ( x*x+y*y );

向量的點積：?結果為 x1*x2 + y1*y2。

點積的結果是一個數(shù)值。

點積的集合意義：我們以向量 a 向向量 b 做垂線，則 | a | * cos（a,b）為 a 在向量 b 上的投影，即點積是一個向量在另一個向量上的投影乘以另一個向量。且滿足交換律

應用：可以根據(jù)集合意義求兩向量的夾角，cos（a,b） =（ 向量a * 向量b ） / （| a | * | b |） =??x1*x2 + y1*y2 /?（| a | * | b |）

向量的叉積：?結果為 x1*y2-x2*y1

叉積的結果也是一個向量，是垂直于向量a，b所形成的平面，如果看成三維坐標的話是在 z 軸上，上面結果是它的模。

方向判定：右手定則，（右手半握，大拇指垂直向上，四指右向量a握向b，大拇指的方向就是叉積的方向）

叉積的集合意義：1：其結果是a和b為相鄰邊形成平行四邊形的面積。

2：結果有正有負，有sin（a，b）可知和其夾角有關，夾角大于180°為負值。

3：叉積不滿足交換律

應用：

1：通過結果的正負判斷兩矢量之間的順逆時針關系

若 a x b > 0表示a在b的順時針方向上

若 a x b < 0表示a在b的逆時針方向上

若 a x b == 0表示a在b共線，但不確定方向是否相同

2：判斷折線拐向，可轉化為判斷第三點在前兩的形成直線的順逆時針方向，然后判斷拐向。

3：判斷一個點在一條直線的那一側，同樣上面的方法。

4：判斷點是否在線段上，可利用叉乘首先判斷是否共線，然后在判斷是否在其上。

5：判斷兩條直線是否想交（跨立實驗）

根據(jù)判斷點在直線那一側我們可以判斷一個線段的上的兩點分別在另一個線段的兩側，當然這是不夠的，因為我們畫圖發(fā)現(xiàn)這樣只能夠讓直線想交，而不是線段，所以我們還要對另一條線段也進行相同的判斷就ok。

代碼：

[cpp]?view plaincopyprint? ///計算點積，及向量長度，及向量夾角?? double?Dot(Vector?A,Vector?B)?{?return?A.x*B.x+A.y*B.y;?}?? double?Length(Vector?A)?{?return?sqrt(Dot(A,A));?}?? double?Angle(Vector?A,Vector?B)?{?return?acos(Dot(A,B))/Length(A)/Length(B);?}?? //計算叉積，向量逆時針旋轉,兩線段是否想交?? double?Cross(Vector?A,Vector?B)?{?return?(A.x*B.y-A.y*B.x);?}?? double?Area2(Vector?A,Vector?B,Vector?C)??{?return?Cross(B-A,C-A);?}?? Vector?Rotate(Vector?A,double?rad)?? {?? ????return?Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));?? }?? bool?Converxline(Vector?A,Vector?B,Vector?C,Vector?D)?? {?? ????//共線或平行?? ????if((Area2(A,B,C)==0&&Area2(A,B,D)==0)?||?Area2(A,B,C)*Area2(A,B,D)>0||Area2(C,D,A)*Area2(C,D,B)>0)?? ????????return?false;?? ????else?? ????????return?true;?? }